Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2021; : 7-16
ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ УПРАЖНЕНИЙ НА ЗАНЯТИЯХ ПО ГЕОМЕТРИИ
https://doi.org/10.18323/2221-5662-2021-4-7-16Аннотация
Геометрия является одной из сложных дисциплин, в которых многие факты взаимосвязаны. Развить представление учащихся о взаимосвязях между фактами можно, проводя сопоставление при помощи принципа двойственности. Принцип двойственности известен в проективной геометрии, математической логике. Данный принцип ярко выражен в одной из теорем новой геометрии треугольника. В традиционном курсе аналитической геометрии не изучаются факты новой геометрии треугольника. Для закрепления многих тем курса аналитической геометрии, например «Расстояние между двумя точками», «Нормальное уравнение прямой», «Угол между двумя прямыми» и др., целесообразно рассмотреть на занятиях некоторые факты новой геометрии треугольника в декартовой системе координат. Таким образом, вносится элемент новизны в повторяемый материал. В пособиях по геометрии треугольника задания решают без применения формул аналитической геометрии, а именно классическими методами либо в барицентрических координатах. В статье предлагается методика составления пар упражнений с использованием принципа двойственности в методике преподавания планиметрии. Упражнения составляются для декартовой системы координат, так как это позволяет продемонстрировать на чертежах двойственность точек. В составленных упражнениях построены два чертежа в параллельных столбцах. Точки могут быть в разных случаях вершинами треугольника, центром вписанной окружности, основанием высоты. Стороны исходного треугольника располагаются на осях координат, и их длины сторон составляют пифагорову тройку для лучшего понимания учащимися алгоритма решения задачи. Нормальное уравнение прямой показывает необходимость аналитического исследования, поскольку расстояние от ортоцентра до сторон ортотреугольника сложно проверить на чертеже из-за малой величины. На множестве таких информационных единиц устанавливаются отношения агрегации (часть – целое), отражающие геометрическое вложение компонентов.
Список литературы
1. Дружинин Б.Л. Отец проективной геометрии // Математика для школьников. 2019. № 1. С. 25-29.
2. Принцип дополнительности и материалистическая диалектика / отв. ред. Л.Б. Баженов. М.: Наука, 1976. 367 с.
3. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. М.: МЦНМО, 2004. 312 с.
4. Дворянинов С.В. Всероссийский съезд преподавателей и учителей математики 6-7 декабря 2018 года в МГУ // Математика в школе. 2019. № 2. С. 58-60.
5. Степкина М.А. Модель методики формирования готовности студентов первого курса к изучению математики в вузе // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2018. № 7. С. 42-48.
6. Сохор А.М. Об анализе внутренних связей учебного материала // Новые исследования в педагогических науках. 1965. № 4. С. 56-66.
7. Саввина О.А., Мельников Р.А., Тарасова О.В. Академик, гражданин, автор учебников-долгожителей (к 100-летию со дня рождения Алексея Васильевича Погорелова) // Математика в школе. 2019. № 1. С. 58-68.
8. Крачковский С.М. О развитии вариативного мышления при обучении математике // Математика в школе. 2014. № 10. С. 29-38.
9. Смирнов А.А. Вопросы методики программированного обучения // Новые исследования в педагогических науках. 1965. № 4. C. 9-14.
10. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. М.: Учпедгиз, 1959. 392 с.
11. Буфеев С.В., Штраус И.М. Особенности преподавания математики в лицее при МГТУ им. Н.Э. Баумана: стендовые домашние задания // Математика в школе. 2014. № 9. С. 45-48.
12. Семенов А.Л. «Две культуры» современной школы // Математика в школе. 2014. № 5. С. 21-26.
13. Эрдниев П.М. Развитие навыков самоконтроля при обучении математике. М.: Учпедгиз, 1957. 68 с.
14. Ковалева Г.И., Слета Ю.О. Содержательный компонент методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2018. № 4. С. 49-53.
15. Смирнов В.А., Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М.: МЦНМО, 2016. 264 с.
16. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. № 4. С. 56-62.
17. Харламов И.Ф. Как активизировать учение школьников. Минск: Народная асвета, 1975. 207 с.
18. Кэджори Ф. История элементарной математики с указаниями на методы преподавания. Одесса: Mathesis, 1910. 368 с.
19. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. М.: МЦНМО, 2002. 32 с.
20. Баталаев А.В. Метод целочисленного представления теорем геометрии в обучении школьников // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2016. № 2. С. 58-66.
Science Vector of Togliatti State University. Series: Pedagogy, Psychology. 2021; : 7-16
USING THE DUALITY PRINCIPLE WHEN CONSTRUCTING EXERCISES AT THE GEOMETRY LESSONS
https://doi.org/10.18323/2221-5662-2021-4-7-16Abstract
Geometry is one of the complex disciplines where many facts are interconnected. It is possible to develop the idea of facts interrelations through correlation using the duality principle. The duality principle is known in projective geometry, mathematical logic. This principle is clearly pronounced in one of the theorems of new triangle geometry. The traditional analytical geometry course does not study the facts of new triangle geometry. To reinforce many topics of the analytical geometry course, for example, “The distance between two points”, “The symmetrical form of the equation of a line”, “The angle between two lines”, it is reasonable to consider some facts from the new triangle geometry in the Cartesian coordinate system. Thus, an element of novelty is introduced to the reviewed material. The guidebooks on triangle geometry solve tasks through classical approaches or applying barycentric coordinates not using analytical geometry formulas. The paper proposes the constructing technique for the couples of exercises using the duality principle in the plane geometry teaching methods. Tasks are constructed for the Cartesian coordinate system as this allows demonstrating the duality of points in the drawings. In the composed exercises, two drawings are constructed in parallel columns. In different cases, the points can be the triangle-apexes, an orthocenter, or a height base. The initial triangle sides are located on the axes of coordinates, and their side lengths set up Pythagorean triple for better understanding the task-solving algorithm by the students. The symmetrical form of the equation of a line shows the necessity of analytical study since it is difficult to check the distance from the orthocenter to the orthotriangle sides in the drawings due to the small value. For many such information units, the aggregation relationships (whole-part) are set up, reflecting the geometric embedding of components.
References
1. Druzhinin B.L. Otets proektivnoi geometrii // Matematika dlya shkol'nikov. 2019. № 1. S. 25-29.
2. Printsip dopolnitel'nosti i materialisticheskaya dialektika / otv. red. L.B. Bazhenov. M.: Nauka, 1976. 367 s.
3. Ponarin Ya.P. Elementarnaya geometriya. T. 1: Planimetriya, preobrazovaniya ploskosti. M.: MTsNMO, 2004. 312 s.
4. Dvoryaninov S.V. Vserossiiskii s\"ezd prepodavatelei i uchitelei matematiki 6-7 dekabrya 2018 goda v MGU // Matematika v shkole. 2019. № 2. S. 58-60.
5. Stepkina M.A. Model' metodiki formirovaniya gotovnosti studentov pervogo kursa k izucheniyu matematiki v vuze // Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2018. № 7. S. 42-48.
6. Sokhor A.M. Ob analize vnutrennikh svyazei uchebnogo materiala // Novye issledovaniya v pedagogicheskikh naukakh. 1965. № 4. S. 56-66.
7. Savvina O.A., Mel'nikov R.A., Tarasova O.V. Akademik, grazhdanin, avtor uchebnikov-dolgozhitelei (k 100-letiyu so dnya rozhdeniya Alekseya Vasil'evicha Pogorelova) // Matematika v shkole. 2019. № 1. S. 58-68.
8. Krachkovskii S.M. O razvitii variativnogo myshleniya pri obuchenii matematike // Matematika v shkole. 2014. № 10. S. 29-38.
9. Smirnov A.A. Voprosy metodiki programmirovannogo obucheniya // Novye issledovaniya v pedagogicheskikh naukakh. 1965. № 4. C. 9-14.
10. Chichigin V.G. Metodika prepodavaniya geometrii. M.: Uchpedgiz, 1959. 392 s.
11. Bufeev S.V., Shtraus I.M. Osobennosti prepodavaniya matematiki v litsee pri MGTU im. N.E. Baumana: stendovye domashnie zadaniya // Matematika v shkole. 2014. № 9. S. 45-48.
12. Semenov A.L. «Dve kul'tury» sovremennoi shkoly // Matematika v shkole. 2014. № 5. S. 21-26.
13. Erdniev P.M. Razvitie navykov samokontrolya pri obuchenii matematike. M.: Uchpedgiz, 1957. 68 s.
14. Kovaleva G.I., Sleta Yu.O. Soderzhatel'nyi komponent metodiki obucheniya uchashchikhsya osnovnoi shkoly analizu usloviya planimetricheskoi zadachi // Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2018. № 4. S. 49-53.
15. Smirnov V.A., Smirnova I.M. Geometriya na kletchatoi bumage. M.: MTsNMO, 2016. 264 s.
16. Aleksandrov A.D. O geometrii // Matematika v shkole. 1980. № 4. S. 56-62.
17. Kharlamov I.F. Kak aktivizirovat' uchenie shkol'nikov. Minsk: Narodnaya asveta, 1975. 207 s.
18. Kedzhori F. Istoriya elementarnoi matematiki s ukazaniyami na metody prepodavaniya. Odessa: Mathesis, 1910. 368 s.
19. Myakishev A.G. Elementy geometrii treugol'nika. M.: MTsNMO, 2002. 32 s.
20. Batalaev A.V. Metod tselochislennogo predstavleniya teorem geometrii v obuchenii shkol'nikov // Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2016. № 2. S. 58-66.
