О вложении двуметрических феноменологически симметричных геометрий

Статья в Elpub

Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018; 56: 5-16

О вложении двуметрических феноменологически симметричных геометрий

Аннотация

Известна полная классификация двуметрических феноменологически симметричных геометрий двух множеств ранга (n+1, 2), где n = 1, 2,... . Функции, задающие эти геометрии, локально изотопны почти n-транзитивным действиям некоторых групп на двумерном многообразии. Доказывается, что функция, задающая двуметрическую ФС ГДМ ранга (n+2, 2), содержит как аргумент функцию, задающую некоторую двуметрическую ФС ГДМ ранга (n+1, 2). Доказательство сводится к исследованию групп преобразований. В конце доказывается, что все рассматриваемые здесь группы преобразований являются почти n-транзитивными.

Список литературы

1. Михайличенко Г.Г. Групповая симметрия физических структур. Барнаул: Барн. гос. пед. ун-т, 2003. 204 с.

2. Кыров В.А. Феноменологически симметричные локальные группы Ли преобразований пространства RS // Изв. вузов. Математика. 2009. № 7. С. 10-21.

3. Симонов А.А. Обобщение точно транзитивных групп // Изв. РАН. Серия математ. 2014. Т. 78. № 6. С. 153-178. DOI: 10.4213/im8214.

4. Кыров В.А. Проективная геометрия и теория физических структур // Изв. вузов. Математика. 2008. № 11. С. 48-59.

5. Кыров В.А. Аффинная геометрия как физическая структура // Журн. Сиб. федер. ун-та. Серия: Математика и физика. 2008. Т. 1. № 4. С. 460-464.

6. Кыров В.А. Проективная геометрия и феноменологическая симметрия // Журн. Сиб. фе-дер. ун-та. Серия: Математика и физика. 2012. Т. 5. № 1. С. 82-90.

7. Kyrov V.A. and Bogdanova R.A. The groups of motions of three-dimensional maximal mobility geometries // Siberian Mathematical J. 2018. V. 59. No. 2. P. 323-331. DOI: 10.1134/ S0037446618020155.

8. Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Группы Ли преобразований // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1988. № 20. С. 108-248.

9. Кыров В.А., Михайличенко Г.Г. К вопросу о вложении двуметрических ФС ГДМ ранга (2,2) в двуметрические ФС ГДМ ранга (3, 2) // Сб. научных статей Международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае: фундаментальные проблемы науки и образования». 2017. Барнаул: ФГБОУ ВО «Алтайский государственный университет», 2017. С. 299-304.

Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2018; 56: 5-16

On the embedding of two-dimetric phenomenologically symmetric geometries

Kyrov V. A.

Abstract

The two-dimetric phenomenologically symmetric geometry of two sets (TPS GTM) of rank (n + 1, 2), where n = 1, 2, ... , is defined on a two-dimensional and 2n-dimensional differentiable manifolds M and N by a differentiable nondegenerate function f: M х N ^ R² with an open and dense domain and the axiom of phenomenological symmetry. There is a complete classification of the TPS GTM of rank (n + 1, 2), and the functions that define these geometries are locally isotopic to n-transitive actions of certain Lie groups on a two-dimensional manifold. From this classification, it can be seen that functions of some TPS GTM of rank (n + 1, 2) contain functions of the TPS GTM of rank (n, 2) as an argument. In this paper, we introduce the definition of an embedding according to which the TPS GTM of rank (n, 2), given by the function g = (g¹, g²), is embedded in the TPS GTM of rank (n + 1, 2) with the function f = (f¹, f²) if the function f contains the function g as an argument. The problem is to find the embeddings for the TPS GTM of rank (n + 1, 2). As a result, an important theorem is proved, according to which at least one of the TPS GTM of rank (n, 2), where n = 2, 3, 4, is embedded in each of the TPS GTMs of rank (n + 1, 2). The problem is solved by the group method and is reduced to distinguishing the stationary subgroups of the transformation groups to which the previously known TPS GTMs are locally isotopic. In the process of proving the theorem, it is established that the transformation group defining the TPS GTM of rank (n + 1, 2) is a composition of the stationary subgroup defining the TPS GTM of rank (n, 2) and some subgroup. It is also proved that transformation groups that are locally isotopic to a TPS GTM of rank (n + 1, 2) are nearly n-transitive. The last property means that parameters of such a group of transformations can be expressed in terms of coordinates of a certain number of points.

References

1. Mikhailichenko G.G. Gruppovaya simmetriya fizicheskikh struktur. Barnaul: Barn. gos. ped. un-t, 2003. 204 s.

2. Kyrov V.A. Fenomenologicheski simmetrichnye lokal'nye gruppy Li preobrazovanii prostranstva RS // Izv. vuzov. Matematika. 2009. № 7. S. 10-21.

3. Simonov A.A. Obobshchenie tochno tranzitivnykh grupp // Izv. RAN. Seriya matemat. 2014. T. 78. № 6. S. 153-178. DOI: 10.4213/im8214.

4. Kyrov V.A. Proektivnaya geometriya i teoriya fizicheskikh struktur // Izv. vuzov. Matematika. 2008. № 11. S. 48-59.

5. Kyrov V.A. Affinnaya geometriya kak fizicheskaya struktura // Zhurn. Sib. feder. un-ta. Seriya: Matematika i fizika. 2008. T. 1. № 4. S. 460-464.

6. Kyrov V.A. Proektivnaya geometriya i fenomenologicheskaya simmetriya // Zhurn. Sib. fe-der. un-ta. Seriya: Matematika i fizika. 2012. T. 5. № 1. S. 82-90.

7. Kyrov V.A. and Bogdanova R.A. The groups of motions of three-dimensional maximal mobility geometries // Siberian Mathematical J. 2018. V. 59. No. 2. P. 323-331. DOI: 10.1134/ S0037446618020155.

8. Gorbatsevich V.V., Onishchik A.L. Gruppy Li preobrazovanii // Itogi nauki i tekhniki. M.: VINITI, 1988. № 20. S. 108-248.

9. Kyrov V.A., Mikhailichenko G.G. K voprosu o vlozhenii dvumetricheskikh FS GDM ranga (2,2) v dvumetricheskie FS GDM ranga (3, 2) // Sb. nauchnykh statei Mezhdunarodnoi konferentsii «Lomonosovskie chteniya na Altae: fundamental'nye problemy nauki i obrazovaniya». 2017. Barnaul: FGBOU VO «Altaiskii gosudarstvennyi universitet», 2017. S. 299-304.