Машиностроение и компьютерные технологии. 2018; : 45-53
Статистическое обоснование критерия Пирсона для проверки сложной гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности
https://doi.org/10.24108/0418.0001392Аннотация
В статье изучается корректность применения критерия Пирсона при проверке гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности. Если параметры распределения неизвестны, то при вычислении теоретических частот используют их оценки [1, 2, 3]. При этом по теореме Пирсона при определении верхнего порога принятия основной гипотезы используют квантиль распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, уменьшенным на число оцениваемых параметров [7]. Однако, в случае равномерного закона применение критерия Пирсона не распространяется на сложные гипотезы, поскольку функция правдоподобия не допускает дифференцирования по параметрам, что существенно используется в доказательстве названной теоремы [7, 10,11].
В работе предложен статистический эксперимент, позволяющий изучить закон распределения статистики Пирсона для выборок из равномерного закона. Суть эксперимента состоит в том, что сначала моделируется статистически значимое количество однотипных выборок из заданного равномерного распределения, затем для каждой выборки вычисляется статистика Пирсона, а далее изучается закон распределения совокупности этих статистик. Моделирование и обработка выборок производились в пакете Mathcad 15 с использованием встроенного датчика случайных чисел и средств обработки массивов.
Во всех проведенных экспериментах гипотеза о том, что статистики Пирсона подчиняются закону хи-квадрат, была однозначно принята (уровень доверия 0,95). При этом также статистически доказано, что число степеней свободы в случае сложной гипотезы не нужно корректировать. То есть неявно используемые при вычислении статистики Пирсона оценки (максимального правдоподобия) параметров равномерного закона не влияют на число степеней свободы, которое таким образом определяется лишь количеством интервалов группировки.
Список литературы
1. Печинкин А.В., Тескин О.И., Цветкова Г.М. и др. Теория вероятностей. –М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. - 456 с.
2. Энатская Н.Ю., Хакимуллин Е.Р. Теория вероятностей и математическая статистика для инженерно-технических направлений: учебник и практикум для прикладного ба-калавриата. –М.: Издательство Юрайт, 2015. –399.
3. Боровков А.А. Теория вероятностей. –М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017. – 656с.
4. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. Одномерные непрерывные распределения в двух частях, часть 2. –М.:БИНОМ, Лаборатория знаний, 2012. - 600с.
5. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. Одномерные непрерывные распределения в двух частях, часть 1. –М.:БИНОМ, Лаборатория знаний, 2017. - 703с.
6. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. –М.: Наука,1973. - 800с
7. Крамер Г. Математические методы статистики. – Регулярная и хаотическая динамика, 2003. - 648с.
8. Сидняев Н.И., Мельникова Ю.С. Оценки статистических параметров распределений. Методические рекомендации к домашнему заданию по дисциплине «Математическая статистика». Электронное учебное издпние. –Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 40с.
9. Greenwood P. E. A guide to chi-squared testing / P. E. Greenwood, M. S. Nikulin. – New York : John Wiley & Sons, 1996. – 280 p.
10. Денисов В. И. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распре-деления с теоретическим. Ч. I. Критерии типа χ2 : метод. реком. / В. И. Денисов, Б. Ю. Лемешко, С. Н. Постовалов. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 1998. – 126 с.
11. Лемешко Б. Ю., Блинов П.Ю. Критерии проверки отклонения распределения от рав-номерного закона. Руководство по применению. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2015. – 182 с.
Mechanical Engineering and Computer Science. 2018; : 45-53
Statistical Justification of Pearson's Criterion for Testing a Complex Hypothesis on the Uniform Distribution
https://doi.org/10.24108/0418.0001392Abstract
The paper is studying the justification of the Pearson criterion for checking the hypothesis on the uniform distribution of the general totality. If the distribution parameters are unknown, then estimates of the theoretical frequencies are used [1, 2, 3]. In this case the quantile of the chi-square distribution with the number of degrees of freedom, reduced by the number of parameters evaluated, is used to determine the upper threshold of the main hypothesis acceptance [7]. However, in the case of a uniform law, the application of Pearson's criterion does not extend to complex hypotheses, since the likelihood function does not allow differentiation with respect to parameters, which is used in the proof of the theorem mentioned [7, 10, 11].
A statistical experiment is proposed in order to study the distribution of Pearson statistics for samples from a uniform law. The essence of the experiment is that at first a statistically significant number of one-type samples from a given uniform distribution is modeled, then for each sample Pearson statistics are calculated, and then the law of distribution of the totality of these statistics is studied. Modeling and processing of samples were performed in the Mathcad 15 package using the built-in random number generator and array processing facilities.
In all the experiments carried out, the hypothesis that the Pearson statistics conform to the chi-square law was unambiguously accepted (confidence level 0.95). It is also statistically proved that the number of degrees of freedom in the case of a complex hypothesis need not be corrected. That is, the maximum likelihood estimates of the uniform law parameters implicitly used in calculating Pearson statistics do not affect the number of degrees of freedom, which is thus determined by the number of grouping intervals only.
References
1. Pechinkin A.V., Teskin O.I., Tsvetkova G.M. i dr. Teoriya veroyatnostei. –M.: Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 2006. - 456 s.
2. Enatskaya N.Yu., Khakimullin E.R. Teoriya veroyatnostei i matematicheskaya statistika dlya inzhenerno-tekhnicheskikh napravlenii: uchebnik i praktikum dlya prikladnogo ba-kalavriata. –M.: Izdatel'stvo Yurait, 2015. –399.
3. Borovkov A.A. Teoriya veroyatnostei. –M.: Knizhnyi dom «LIBROKOM», 2017. – 656s.
4. Dzhonson N.L., Kots S., Balakrishnan N. Odnomernye nepreryvnye raspredeleniya v dvukh chastyakh, chast' 2. –M.:BINOM, Laboratoriya znanii, 2012. - 600s.
5. Dzhonson N.L., Kots S., Balakrishnan N. Odnomernye nepreryvnye raspredeleniya v dvukh chastyakh, chast' 1. –M.:BINOM, Laboratoriya znanii, 2017. - 703s.
6. Kendall M., St'yuart A. Statisticheskie vyvody i svyazi. –M.: Nauka,1973. - 800s
7. Kramer G. Matematicheskie metody statistiki. – Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika, 2003. - 648s.
8. Sidnyaev N.I., Mel'nikova Yu.S. Otsenki statisticheskikh parametrov raspredelenii. Metodicheskie rekomendatsii k domashnemu zadaniyu po distsipline «Matematicheskaya statistika». Elektronnoe uchebnoe izdpnie. –Moskva, MGTU im. N.E. Baumana, 2012. - 40s.
9. Greenwood P. E. A guide to chi-squared testing / P. E. Greenwood, M. S. Nikulin. – New York : John Wiley & Sons, 1996. – 280 p.
10. Denisov V. I. Prikladnaya statistika. Pravila proverki soglasiya opytnogo raspre-deleniya s teoreticheskim. Ch. I. Kriterii tipa χ2 : metod. rekom. / V. I. Denisov, B. Yu. Lemeshko, S. N. Postovalov. – Novosibirsk : Izd-vo NGTU, 1998. – 126 s.
11. Lemeshko B. Yu., Blinov P.Yu. Kriterii proverki otkloneniya raspredeleniya ot rav-nomernogo zakona. Rukovodstvo po primeneniyu. – Novosibirsk : Izd-vo NGTU, 2015. – 182 s.
