Морской гидрофизический журнал. 2023; 39: 557-583
Нелинейные инварианты дискретной системы уравнений динамики моря в квазистатическом приближении
https://doi.org/10.22449/0233-7584-2023-5-557-583Аннотация
Цель. Цель работы – получение аппроксимаций, обеспечивающих наличие дискретных нелинейных инвариантов для дифференциально-разностной системы уравнений динамики моря в отсутствие внешних сил, трения и диффузии, анализ свойств полученных схем на примере расчета циркуляции Черного моря для 2011 г.
Методы и результаты. Используется метод неопределенных коэффициентов, при котором вводятся новые неизвестные, что позволяет удовлетворять дополнительным условиям. Получены схемы, которые обеспечивают сохранение одновременно температуры в первой и в K-й (K > 1) степени и солености в первой и L-й (L > 1) степени. Найденные аппроксимации температуры и солености на гранях бокса при полиномиальной зависимости плотности от температуры и солености приводят к дивергентному виду уравнения адвекции плотности. Такой вид обеспечивает выполнение закона сохранения и полной энергии, и суммы кинетической и динамической потенциальной энергии в дискретной постановке. На основе анализа циркуляции в Черном море в 2011 г. показано, что при увеличении степени инвариантов имеют место следующие эффекты: обостряются градиенты во фронтальных зонах в поле температуры, усиливаются процессы подъема более соленых вод в центре моря и опускания более пресных по его периферии, уменьшается плотность мелкомасштабных особенностей в поле вертикальной скорости.
Выводы. Получена дифференциально-разностная схема модели динамики моря в квазистатическом приближении, которая обладает рядом нелинейных инвариантов, соответствующих непрерывной задаче. Результаты проведенного расчета черноморской циркуляции для реальных условий 2011 г. показали, что наличие инвариантов степени больше двух позволяет уточнить особенности циркуляции на малых масштабах.
Список литературы
1. Noether E. Invariante variationsprobleme // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1918. Vol. 2. P. 235–257.
2. Дородницын В. А. Конечно-разностный аналог теоремы Нетер // Доклады Академии наук. 1993. Т. 328, № 6. С. 678–682.
3. Самарский А. А., Мажукин В. И., Матус П. П. Инвариантные разностные схемы для дифференциальных уравнений с преобразованием независимых переменных // Доклады Академии наук. 1997. Т. 352, № 5. С. 602–605.
4. Дородницын В. А., Капцов Е. И. Инвариантные разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, обладающих симметриями. М. : ИПМ им. М. В. Келдыша, 2014. 42 с. (Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша ; № 16). URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-16 (дата обращения: 30.09.2023).
5. Cheviakov A. F., Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I. Invariant Conservation Law-Preserving Discretizations of Linear and Nonlinear Wave Equations // Journal of Mathematical Physics. 2020. Vol. 61, iss. 8. 081504. doi:10.1063/5.0004372
6. Капцов Е. И. Численная реализация инвариантной схемы для одномерных уравнений мелкой воды в лагранжевых координатах. М. : ИПМ им. М. В. Келдыша,2019. 28 с. (Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша; № 108). doi:10.20948/prepr-2019-108
7. An energy-stable scheme for incompressible Navier-Stokes equations with periodically updated coefficient matrix / L. Lin [et al.] // Journal of Computational Physics. 2020. Vol. 418. 109624. doi:10.1016/j.jcp.2020.109624
8. Chen H., Sun S., Zhang T. Energy stability analysis of some fully discrete numerical schemes for incompressible Navier–Stokes equations on staggered grids // Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 75, iss. 1. P. 427–456. https://doi.org/10.1007/s10915-017-0543-3
9. Lin L., Yang Zh., Dong S. Numerical approximation of incompressible Navier-Stokes equations based on an auxiliary energy variable // Journal of Computational Physics. 2019. Vol. 388. P. 1–22. doi:10.1016/j.jcp.2019.03.012
10. Головизнин В. М., Самарский А. А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 86–100.
11. Афанасьев Н. А., Головизнин В. М., Соловьев А. В. Схема КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами для систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа // Вычислительные методы и программирование. 2021. Т. 22, вып. 1. С. 67–76. https://doi.org/10.26089/NumMet.v22r105
12. Validation of the low dissipation computational algorithm CABARET-MFSH for multilayer hydrostatic flows with a free surface on the lock-release experiments / V. M. Goloviznin [et al.] // Journal of Computational Physics. 2022. Vol. 463. 111239. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2022.111239
13. Grooms I., Nadeau L.-P., Smith K. S. Mesoscale eddy energy locality in an idealized ocean model // Journal of Physical Oceanography. 2013. Vol. 43, iss. 9. P. 1911–1923. https://doi.org/10.1175/JPO-D-13-036.1
14. Review on mechanical energy of ocean mesoscale eddies and associated energy sources and sinks / X. Shang [et al.] // Journal of Tropical Oceanography. 2013. Vol. 32, iss. 2. P. 24–36. doi:10.3969/j.issn.1009-5470.2013.02.003
15. Kjellsson J., Zanna L. The Impact of horizontal resolution on energy transfers in global ocean models // Fluids. 2017. Vol. 2, iss. 3. 45. https://doi.org/10.3390/fluids2030045
16. Seasonal variability of eddy kinetic energy in a global high-resolution ocean model / J. K. Rieck [et al.] // Geophysical Research Letters. 2015. Vol. 42, iss. 21. P. 9379–9386. doi:10.1002/2015GL066152
17. An estimate of the Lorenz energy cycle for the World Ocean based on the 1/10° STORM/NCEP simulation / J.-S. von Storch [et al.] // Journal of Physical Oceanography. 2012. Vol. 42, iss. 12. P. 2185–2205. https://doi.org/10.1175/JPO-D-12-079.1
18. Yang Y., San Liang X. On the seasonal eddy variability in the Kuroshio extension // Journal of Physical Oceanography. 2018. Vol. 48, iss. 8. P. 1675–1689. doi:10.1175/JPO-D-18-0058.1
19. The eddy kinetic energy budget in the Red Sea / P. Zhan [et al.] // Journal of Geophysical Research: Oceans. 2016. Vol. 121, iss. 7. P. 4732–4747. doi:10.1002/2015JC011589
20. Stepanov D. V. Mesoscale eddies and baroclinic instability over the eastern Sakhalin shelf of the Sea of Okhotsk: a model-based analysis // Ocean Dynamics. 2018. Vol. 68, iss. 10. P. 1353–1370. doi:10.1007/s10236-018-1192-2
21. Кубряков А. А., Станичный С. В. Cиноптические вихри в Черном море по данным спутниковой альтиметрии // Океанология. 2015. Т. 55, № 1. С. 65–77. EDN TGWBIX. doi:10.7868/S0030157415010104
22. Menna M., Poulain P.-M. Geostrophic currents and kinetic energies in the Black Sea estimated from merged drifter and satellite altimetry data // Ocean Science. 2014. Vol. 10, iss. 2. P. 155–165. https://doi.org/10.5194/os-10-155-2014
23. Суворов А. М., Шокурова И. Г. Годовая и междесятилетняя изменчивость доступной потенциальной энергии в Черном море // Морской гидрофизический журнал. 2004. № 2. С. 29–41.
24. Cessi P., Pinardi N., Lyubartsev V. Energetics of semienclosed basins with two-layer flows at the strait // Journal of Physical Oceanography. 2014. Vol. 44, iss. 3. P. 967–979. https://doi.org/10.1175/JPO-D-13-0129.1
25. Демышев С. Г. Энергетика климатической циркуляции Черного моря. Ч. I. Дискретные уравнения скорости изменения кинетической и потенциальной энергий // Метеорология и гидрология. 2004. № 9. С. 65–80. EDN PGCNXF.
26. Демышев С. Г. Аппроксимация силы плавучести в численной модели бароклинных течений океана // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34, № 3. С. 404–412.
27. Lorenz E. N. Available potential energy and the maintenance of the general circulation // Tellus. 1955. Vol. 7, iss. 2. P. 157–167. https://doi.org/10.3402/tellusa.v7i2.8796
28. Roquet F. Dynamical potential energy: a new approach to ocean energetics // Journal of Physical Oceanography. 2013. Vol. 43, iss. 2. P. 457–476. https://doi.org/10.1175/JPO-D-12-098.1
29. Demyshev S. G., Dymova O. A. Numerical analysis of the Black Sea currents and mesoscale eddies in 2006 and 2011 // Ocean Dynamics. 2018. Vol. 68, iss. 10. P. 1335–1352. doi:10.1007/s10236-018-1200-6
30. Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. Т. 4. Черное море. Вып. 1. Гидрометеорологические условия. СПб. : Гидрометеоиздат, 1991. 428 с.
31. Mellor G. L., Yamada T. Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems // Reviews of Geophysics. 1982. Vol. 20, iss. 4. Р. 851–875. https://doi.org/10.1029/RG020i004p00851
Morskoy Gidrofizicheskiy Zhurnal. 2023; 39: 557-583
Nonlinear Invariants of a Discrete System of the Sea Dynamics Equations in a Quasi-Static Approximation
https://doi.org/10.22449/0233-7584-2023-5-557-583Abstract
Purpose. The study is purposed at obtaining the approximations providing the presence of discrete non-linear invariants for the difference system of the sea dynamics equations in the absence of external forces, friction and diffusion, and at analyzing the features of the resulting schemes at the example of calculating the Black Sea circulation for 2011.
Methods and Results. The method of undetermined coefficients at which the new unknowns are introduced is applied, that makes it possible to satisfy the additional conditions. The schemes providing simultaneous preservation of temperature in the first and the K-th (K > 1) degrees and salinity in the first and the L-th (L > 1) degrees, were obtained. The approximations of temperature and salinity found on the box faces with a polynomial dependence of density on temperature and salinity lead to a divergent form of the density advection equation. This form provides fulfilling the law of conservation both of the total energy and the sum of kinetic and dynamic potential energy in a discrete formulation. Based on the analysis of circulation in the Black Sea in 2011, it is shown that at increase of the degree of invariants, the following effects take place: the gradients in the temperature field in the frontal zones, as well as the processes of the saltier water upwelling in the sea center and the fresher water downwelling along its periphery are intensified, and the intensity of small-scale features in the vertical velocity field decreases.
Conclusions. A discrete dynamical model in a quasi-static approximation was obtained. It has a number of nonlinear invariants corresponding to the continuous problem. The results of calculating the Black Sea circulation for real conditions in 2011 showed that presence of the degree invariants exceeding two made it possible to specify the circulation features on small scales.
References
1. Noether E. Invariante variationsprobleme // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1918. Vol. 2. P. 235–257.
2. Dorodnitsyn V. A. Konechno-raznostnyi analog teoremy Neter // Doklady Akademii nauk. 1993. T. 328, № 6. S. 678–682.
3. Samarskii A. A., Mazhukin V. I., Matus P. P. Invariantnye raznostnye skhemy dlya differentsial'nykh uravnenii s preobrazovaniem nezavisimykh peremennykh // Doklady Akademii nauk. 1997. T. 352, № 5. S. 602–605.
4. Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I. Invariantnye raznostnye skhemy dlya obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii vtorogo poryadka, obladayushchikh simmetriyami. M. : IPM im. M. V. Keldysha, 2014. 42 s. (Preprinty IPM im. M.V. Keldysha ; № 16). URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2014-16 (data obrashcheniya: 30.09.2023).
5. Cheviakov A. F., Dorodnitsyn V. A., Kaptsov E. I. Invariant Conservation Law-Preserving Discretizations of Linear and Nonlinear Wave Equations // Journal of Mathematical Physics. 2020. Vol. 61, iss. 8. 081504. doi:10.1063/5.0004372
6. Kaptsov E. I. Chislennaya realizatsiya invariantnoi skhemy dlya odnomernykh uravnenii melkoi vody v lagranzhevykh koordinatakh. M. : IPM im. M. V. Keldysha,2019. 28 s. (Preprinty IPM im. M. V. Keldysha; № 108). doi:10.20948/prepr-2019-108
7. An energy-stable scheme for incompressible Navier-Stokes equations with periodically updated coefficient matrix / L. Lin [et al.] // Journal of Computational Physics. 2020. Vol. 418. 109624. doi:10.1016/j.jcp.2020.109624
8. Chen H., Sun S., Zhang T. Energy stability analysis of some fully discrete numerical schemes for incompressible Navier–Stokes equations on staggered grids // Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 75, iss. 1. P. 427–456. https://doi.org/10.1007/s10915-017-0543-3
9. Lin L., Yang Zh., Dong S. Numerical approximation of incompressible Navier-Stokes equations based on an auxiliary energy variable // Journal of Computational Physics. 2019. Vol. 388. P. 1–22. doi:10.1016/j.jcp.2019.03.012
10. Goloviznin V. M., Samarskii A. A. Raznostnaya approksimatsiya konvektivnogo perenosa s prostranstvennym rasshchepleniem vremennoi proizvodnoi // Matematicheskoe modelirovanie. 1998. T. 10, № 1. S. 86–100.
11. Afanas'ev N. A., Goloviznin V. M., Solov'ev A. V. Skhema KABARE s uluchshennymi dispersionnymi svoistvami dlya sistem lineinykh differentsial'nykh uravnenii giperbolicheskogo tipa // Vychislitel'nye metody i programmirovanie. 2021. T. 22, vyp. 1. S. 67–76. https://doi.org/10.26089/NumMet.v22r105
12. Validation of the low dissipation computational algorithm CABARET-MFSH for multilayer hydrostatic flows with a free surface on the lock-release experiments / V. M. Goloviznin [et al.] // Journal of Computational Physics. 2022. Vol. 463. 111239. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2022.111239
13. Grooms I., Nadeau L.-P., Smith K. S. Mesoscale eddy energy locality in an idealized ocean model // Journal of Physical Oceanography. 2013. Vol. 43, iss. 9. P. 1911–1923. https://doi.org/10.1175/JPO-D-13-036.1
14. Review on mechanical energy of ocean mesoscale eddies and associated energy sources and sinks / X. Shang [et al.] // Journal of Tropical Oceanography. 2013. Vol. 32, iss. 2. P. 24–36. doi:10.3969/j.issn.1009-5470.2013.02.003
15. Kjellsson J., Zanna L. The Impact of horizontal resolution on energy transfers in global ocean models // Fluids. 2017. Vol. 2, iss. 3. 45. https://doi.org/10.3390/fluids2030045
16. Seasonal variability of eddy kinetic energy in a global high-resolution ocean model / J. K. Rieck [et al.] // Geophysical Research Letters. 2015. Vol. 42, iss. 21. P. 9379–9386. doi:10.1002/2015GL066152
17. An estimate of the Lorenz energy cycle for the World Ocean based on the 1/10° STORM/NCEP simulation / J.-S. von Storch [et al.] // Journal of Physical Oceanography. 2012. Vol. 42, iss. 12. P. 2185–2205. https://doi.org/10.1175/JPO-D-12-079.1
18. Yang Y., San Liang X. On the seasonal eddy variability in the Kuroshio extension // Journal of Physical Oceanography. 2018. Vol. 48, iss. 8. P. 1675–1689. doi:10.1175/JPO-D-18-0058.1
19. The eddy kinetic energy budget in the Red Sea / P. Zhan [et al.] // Journal of Geophysical Research: Oceans. 2016. Vol. 121, iss. 7. P. 4732–4747. doi:10.1002/2015JC011589
20. Stepanov D. V. Mesoscale eddies and baroclinic instability over the eastern Sakhalin shelf of the Sea of Okhotsk: a model-based analysis // Ocean Dynamics. 2018. Vol. 68, iss. 10. P. 1353–1370. doi:10.1007/s10236-018-1192-2
21. Kubryakov A. A., Stanichnyi S. V. Cinopticheskie vikhri v Chernom more po dannym sputnikovoi al'timetrii // Okeanologiya. 2015. T. 55, № 1. S. 65–77. EDN TGWBIX. doi:10.7868/S0030157415010104
22. Menna M., Poulain P.-M. Geostrophic currents and kinetic energies in the Black Sea estimated from merged drifter and satellite altimetry data // Ocean Science. 2014. Vol. 10, iss. 2. P. 155–165. https://doi.org/10.5194/os-10-155-2014
23. Suvorov A. M., Shokurova I. G. Godovaya i mezhdesyatiletnyaya izmenchivost' dostupnoi potentsial'noi energii v Chernom more // Morskoi gidrofizicheskii zhurnal. 2004. № 2. S. 29–41.
24. Cessi P., Pinardi N., Lyubartsev V. Energetics of semienclosed basins with two-layer flows at the strait // Journal of Physical Oceanography. 2014. Vol. 44, iss. 3. P. 967–979. https://doi.org/10.1175/JPO-D-13-0129.1
25. Demyshev S. G. Energetika klimaticheskoi tsirkulyatsii Chernogo morya. Ch. I. Diskretnye uravneniya skorosti izmeneniya kineticheskoi i potentsial'noi energii // Meteorologiya i gidrologiya. 2004. № 9. S. 65–80. EDN PGCNXF.
26. Demyshev S. G. Approksimatsiya sily plavuchesti v chislennoi modeli baroklinnykh techenii okeana // Izvestiya RAN. Fizika atmosfery i okeana. 1998. T. 34, № 3. S. 404–412.
27. Lorenz E. N. Available potential energy and the maintenance of the general circulation // Tellus. 1955. Vol. 7, iss. 2. P. 157–167. https://doi.org/10.3402/tellusa.v7i2.8796
28. Roquet F. Dynamical potential energy: a new approach to ocean energetics // Journal of Physical Oceanography. 2013. Vol. 43, iss. 2. P. 457–476. https://doi.org/10.1175/JPO-D-12-098.1
29. Demyshev S. G., Dymova O. A. Numerical analysis of the Black Sea currents and mesoscale eddies in 2006 and 2011 // Ocean Dynamics. 2018. Vol. 68, iss. 10. P. 1335–1352. doi:10.1007/s10236-018-1200-6
30. Gidrometeorologiya i gidrokhimiya morei SSSR. T. 4. Chernoe more. Vyp. 1. Gidrometeorologicheskie usloviya. SPb. : Gidrometeoizdat, 1991. 428 s.
31. Mellor G. L., Yamada T. Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems // Reviews of Geophysics. 1982. Vol. 20, iss. 4. R. 851–875. https://doi.org/10.1029/RG020i004p00851
