Морской гидрофизический журнал. 2019; 35: 600-620
Новый численный алгоритм для уравнений многослойной мелкой воды на основе гиперболической декомпозиции и схемы КАБАРЕ
https://doi.org/10.22449/0233-7584-2019-6-600-620Аннотация
Цель. Описание новой методики численного решения уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости со свободной границей и переменной плотностью в гидростатическом приближении – цель настоящей работы.
Методы и результаты. Алгоритм основан на методе гиперболической декомпозиции – пред-ставлении многослойной среды в виде отдельных слоев, взаимодействующих через границы раздела. Силы, действующие на верхнюю и нижнюю границы каждого слоя, трактуются как внешние, не нарушающие свойства гиперболичности системы уравнений для каждого слоя. Для решения системы гиперболических уравнений с переменной плотностью в каждом слое используется явная схема КАБАРЕ. Схема имеет второй порядок аппроксимации и обратима по времени. Ее особенностью является повышенное число степеней свободы – наряду с кон-сервативными переменными, определенными в центрах расчетных ячеек, используются пото-ковые переменные, отнесенные к серединам граней. Система уравнений многослойной мелкой воды не является безусловно гиперболической и при потере гиперболичности становится не-корректной. Гиперболическая декомпозиция не устраняет некорректности исходной системы. Для регуляризации численного решения предлагается использовать следующий набор средств: фильтрацию на каждом временном шаге потоковых переменных скорости, плотности и толщи-ны слоя; сверхнеявную аппроксимацию градиента давления; линейную искусственную вяз-кость; переход к эйлерово-лагранжевым (СЭЛ) переменным, приводящий к обмену между слоями массой и импульсом. Основным средством, стабилизирующим численное решение на больших временах, является переход к СЭЛ-переменным. Остальные приемы вспомогательные и используются для тонкой настройки.
Выводы. Показано, что для обеспечения регуляризации и гарантированной устойчивости задач необходимо не только перестраивать расчетную сетку на каждом временном шаге, но также использовать фильтрацию потоковых переменных и искусственную вязкость, моделирующую турбулентное перемешивание.
Список литературы
1. Марчук Г. И., Дымников В. П., Залесный В. Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Л. : Гидрометеоиздат, 1987. 296 с.
2. Numerical simulation of large-scale ocean circulation based on the multicomponent splitting method / V. B. Zalesny [et al.] // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2010. Vol. 25, iss. 6. Р. 581–609. https://doi.org/10.1515/RJNAMM.2010.036
3. Информационно-вычислительные технологии – новый этап развития оперативной океа-нографии / Г. И. Марчук [и др.] // Известия Российской академии наук. Физика атмосфе-ры и океана. 2013. Т. 49, № 6. С. 629–642. https://doi.org/10.7868/S0002351513060114
4. Доценко С. Ф., Залесный В. Б., Санникова Н. К. В. Модульный подход к расчету цирку-ляции и приливов в Черном море // Морской гидрофизический журнал. 2016. № 1. С. 3–19. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2016-1-3-19
5. Залесный В. Б., Гусев А. В., Фомин В. В. Численная модель негидростатической морской динамики, основанная на методах искусственной сжимаемости и многокомпонентного расщепления // Океанология. 2016. Т. 56, № 6. С. 951–971. https://doi.org/10.7868/S0030157416050178
6. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычисли-тельных комплексов / В. М. Головизнин [и др.]. М. : Изд-во МГУ, 2013. 467 с.
7. Audusse E. A multilayer Saint-Venant model: Derivation and numerical validation // Discrete & Continuous Dynamical Systems – B. 2005. Vol. 5, iss. 2. P. 189–214. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2005.5.189
8. Audusse E., Bristeau M.-O. Finite-Volume Solvers for a Multilayer Saint-Venant System // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2007. Vol. 17, no. 3. Р. 311–320. https://doi.org/10.2478/v10006-007-0025-0
9. Овсянников Л. В. Модели двухслойной "мелкой воды" // Прикладная механика и техни-ческая физика. 1979. Т. 20, № 2. С. 3–14.
10. Duchêne V. A note on the well-posedness of the one-dimensional multilayer shallow water model. 2013. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00922045/document (date of access: 12.07.2019).
11. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. London : Oxford University Press, 1961. 652 p.
12. Чухарев А. М., Руновский К. В., Кульша О. Е. Моделирование статистического распреде-ления турбулентных пятен в стратифицированных слоях океана // Морской гидрофизиче-ский журнал. 2017. № 5. С. 35–46. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2017-5-35-46
13. Методы расчета турбулентных течений / Дж. Ламли [и др.]. М. : Мир, 1984. 463 с.
14. A multilayer Saint-Venant system with mass exchanges for shallow water flows. Derivation and numerical validation / E. Audusse [et al.] // ESAIM: Mathematical Modelling and Numeri-cal Analysis. 2011. Vol. 45, no. 1. P. 169–200. https://doi.org/10.1051/m2an/2010036
15. A fast finite volume solver for multi-layered shallow water flows with mass exchange / E. Audusse [et al.] // Journal of Computational Physics. 2014. Vol. 272. P. 23–45. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.04.026
16. Hirt C. W., Amsden A. A., Cook J. L. An Arbitrary Lagrangian Eulerian computing method for all flow speeds // Journal of Computational Physics. 1974. Vol. 14, iss. 3. P. 227–253. https://doi.org/10.1016/0021-9991(74)90051-5
17. Ringler T. D., Randall D. A. The ZM Grid: An Alternative to the Z Grid // Monthly Weather Review. 2002. Vol. 130, no. 5. P. 1411–1422. https://doi.org/10.1175/1520-0493(2002)130<1411:TZGAAT>2.0.CO;2
18. Approximation of the hydrostatic Navier-Stokes system for density stratified flows by a multilayer model: Kinetic interpretation and numerical solution / E. Audusse [et al.] // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230, iss. 9. P. 3453–3478. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2011.01.042
19. Stewart A. L., Dellar P. J. Multilayer shallow water equations with complete Coriolis force. Part 1. Derivation on a non-traditional beta-plane // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 651. P. 387–413. https://doi.org/10.1017/S0022112009993922
20. Bermudez A., Vazquez Ma. E. Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms // Computers & Fluids. 1994. Vol. 23, iss. 8. P. 1049–1071. https://doi.org/10.1016/0045-7930(94)90004-3
21. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin : Springer-Verlag, 2009. 724 p. doi:10.1007/b79761
22. Karabasov S. A., Goloviznin V. M. Compact accurately boundary-adjusting high-resolution technique for fluid dynamics // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228, iss. 19. P. 7426–7451. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2009.06.037
23. Головизнин В. М., Канюкова В. Д., Самарская Е. А. Сверхнеявные разностные схемы газовой динамики // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 7. С. 1186–1197. URL: http://www.mathnet.ru/links/23381b18a4caaff660036527679f7476/de4901.pdf (дата обраще-ния: 12.07.2019).
24. Головизнин В. М., Исаков В. А. Применение балансно-характеристической схемы для решения уравнений мелкой воды над неровным дном // Журнал вычислительной матема-тики и математической физики. 2017. Т. 57, № 7. С. 1142–1160. https://doi.org/10.7868/S0044466917070092
25. Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М. : Мир, 1972. С. 300–304.
26. Головизнин В. М. Об одном способе введения искусственной диссипации в вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22, № 1. С. 144–150. URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf5796 (дата обращения: 11.07.2019).
27. Goloviznin V. M., Solovjov A. V., Zalesny V. B. A new algorithm for solving the shallow water equations on the sphere based on the cabaret scheme // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1128. 012091. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1128/1/012091
28. Evtushenko Y. G., Gorchakov A. Y., Goloviznin V. M. Fast automatic differentiation in problems variations four-dimensional data assimilation (4Dvar) // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1128. 012001. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1128/1/012001
29. Ведерников А. Б., Холодов А. С. Численное моделирование течений двух- и трехслойной жидкости в рамках модели мелкой воды // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 6. С. 9–18. URL: http://mi.mathnet.ru/mm2375 (дата обращения: 11.07.2019).
30. Kurganov A., Petrova G. Central-Upwind Schemes for Two-Layer Shallow Water Equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2009. Vol. 31, iss. 3. Р. 1742–1773. https://doi.org/10.1137/080719091
31. Елизарова Т. Г., Иванов А. В. Квазигазодинамический алгоритм численного решения двухслойных уравнений мелкой воды // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2016. № 69. 27 с. doi:10.20948/prepr-2016-69
32. Shankar N. J., Cheong H. F., Sankaranarayanan S. Multilevel finite-difference model for three-dimensional hydrodynamic circulation // Ocean Engineering. 1997. Vol. 24, iss. 9. P. 785–816. https://doi.org/10.1016/S0029-8018(96)00036-4
33. Bouchut F., Zeitlin V. A robust well-balanced scheme for multi-layer shallow water equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B. 2010. Vol. 13, iss. 4. P. 739–758. http://doi.org/10.3934/dcdsb.2010.13.739
34. Couderc F., Duran A., Vila J.-P. An explicit asymptotic preserving low Froude scheme for the multilayer shallow water model with density stratification // Journal of Computational Physics. 2017. Vol. 343. P. 235–270. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2017.04.018
Morskoy Gidrofizicheskiy Zhurnal. 2019; 35: 600-620
New Numerical Algorithm for the Multi-Layer Shallow Water Equations Based on the Hyperbolic Decomposition and the CABARET Scheme
https://doi.org/10.22449/0233-7584-2019-6-600-620Abstract
Purpose. The present article is devoted to describing a new method of numerical solution for hydrostatic approximation of incompressible hydrodynamic problems with free surfaces and variable density.
Methods and Results. The algorithm is based on the hyperbolic decomposition method, i. e. representation of a multilayer model as a sum of the one-layer models interacting by means of the reaction forces through the layers’ interfaces. The forces acting on the upper and lower interfaces of each layer are interpreted as the external ones which do not break hyperbolicity of the equations system for each layer. The explicit CABARET scheme is used to solve a system of hyperbolic equations with variable density in each layer. The scheme is of the second approximation order and the time reversibility. Its feature consists in the increased number of freedom degrees: along with the conservative-type variables referred to the centers of the calculated cells, applied are the flux-type variables related to the middle of the vertical edges of these cells. The system of the multilayer shallow water equations is not unconditionally hyperbolic, and in case hyperbolicity is lost, it becomes ill-posed. Hyperbolic decomposition does not remove incorrectness of the original system of the multilayer shallow water equations. To regularize the numerical solution, the following set of tools is propose: filtration of the flow variables at each time step; super-implicit approximation of the pressure gradient; linear artificial viscosity and transition to the Euler-Lagrangian (SEL) variables that leads to the mass and momentum exchange between the layers. Such transition to the SEL variables is the basic tool for stabilizing numerical solution at large times. The rest of the tricks are the auxiliary ones and used for fine tuning.
Conclusion. It is shown that regularizing and guaranteeing the problems’ stability requires not only reconstruction of the computational grid at each time step, but also application of the flow-type variables’ filtering and the artificial viscosity simulating turbulent mixing.References
1. Marchuk G. I., Dymnikov V. P., Zalesnyi V. B. Matematicheskie modeli v geofizicheskoi gidrodinamike i chislennye metody ikh realizatsii. L. : Gidrometeoizdat, 1987. 296 s.
2. Numerical simulation of large-scale ocean circulation based on the multicomponent splitting method / V. B. Zalesny [et al.] // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2010. Vol. 25, iss. 6. R. 581–609. https://doi.org/10.1515/RJNAMM.2010.036
3. Informatsionno-vychislitel'nye tekhnologii – novyi etap razvitiya operativnoi okea-nografii / G. I. Marchuk [i dr.] // Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk. Fizika atmosfe-ry i okeana. 2013. T. 49, № 6. S. 629–642. https://doi.org/10.7868/S0002351513060114
4. Dotsenko S. F., Zalesnyi V. B., Sannikova N. K. V. Modul'nyi podkhod k raschetu tsirku-lyatsii i prilivov v Chernom more // Morskoi gidrofizicheskii zhurnal. 2016. № 1. S. 3–19. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2016-1-3-19
5. Zalesnyi V. B., Gusev A. V., Fomin V. V. Chislennaya model' negidrostaticheskoi morskoi dinamiki, osnovannaya na metodakh iskusstvennoi szhimaemosti i mnogokomponentnogo rasshchepleniya // Okeanologiya. 2016. T. 56, № 6. S. 951–971. https://doi.org/10.7868/S0030157416050178
6. Novye algoritmy vychislitel'noi gidrodinamiki dlya mnogoprotsessornykh vychisli-tel'nykh kompleksov / V. M. Goloviznin [i dr.]. M. : Izd-vo MGU, 2013. 467 s.
7. Audusse E. A multilayer Saint-Venant model: Derivation and numerical validation // Discrete & Continuous Dynamical Systems – B. 2005. Vol. 5, iss. 2. P. 189–214. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2005.5.189
8. Audusse E., Bristeau M.-O. Finite-Volume Solvers for a Multilayer Saint-Venant System // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2007. Vol. 17, no. 3. R. 311–320. https://doi.org/10.2478/v10006-007-0025-0
9. Ovsyannikov L. V. Modeli dvukhsloinoi "melkoi vody" // Prikladnaya mekhanika i tekhni-cheskaya fizika. 1979. T. 20, № 2. S. 3–14.
10. Duchêne V. A note on the well-posedness of the one-dimensional multilayer shallow water model. 2013. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00922045/document (date of access: 12.07.2019).
11. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. London : Oxford University Press, 1961. 652 p.
12. Chukharev A. M., Runovskii K. V., Kul'sha O. E. Modelirovanie statisticheskogo rasprede-leniya turbulentnykh pyaten v stratifitsirovannykh sloyakh okeana // Morskoi gidrofiziche-skii zhurnal. 2017. № 5. S. 35–46. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2017-5-35-46
13. Metody rascheta turbulentnykh techenii / Dzh. Lamli [i dr.]. M. : Mir, 1984. 463 s.
14. A multilayer Saint-Venant system with mass exchanges for shallow water flows. Derivation and numerical validation / E. Audusse [et al.] // ESAIM: Mathematical Modelling and Numeri-cal Analysis. 2011. Vol. 45, no. 1. P. 169–200. https://doi.org/10.1051/m2an/2010036
15. A fast finite volume solver for multi-layered shallow water flows with mass exchange / E. Audusse [et al.] // Journal of Computational Physics. 2014. Vol. 272. P. 23–45. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.04.026
16. Hirt C. W., Amsden A. A., Cook J. L. An Arbitrary Lagrangian Eulerian computing method for all flow speeds // Journal of Computational Physics. 1974. Vol. 14, iss. 3. P. 227–253. https://doi.org/10.1016/0021-9991(74)90051-5
17. Ringler T. D., Randall D. A. The ZM Grid: An Alternative to the Z Grid // Monthly Weather Review. 2002. Vol. 130, no. 5. P. 1411–1422. https://doi.org/10.1175/1520-0493(2002)130<1411:TZGAAT>2.0.CO;2
18. Approximation of the hydrostatic Navier-Stokes system for density stratified flows by a multilayer model: Kinetic interpretation and numerical solution / E. Audusse [et al.] // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230, iss. 9. P. 3453–3478. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2011.01.042
19. Stewart A. L., Dellar P. J. Multilayer shallow water equations with complete Coriolis force. Part 1. Derivation on a non-traditional beta-plane // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 651. P. 387–413. https://doi.org/10.1017/S0022112009993922
20. Bermudez A., Vazquez Ma. E. Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms // Computers & Fluids. 1994. Vol. 23, iss. 8. P. 1049–1071. https://doi.org/10.1016/0045-7930(94)90004-3
21. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin : Springer-Verlag, 2009. 724 p. doi:10.1007/b79761
22. Karabasov S. A., Goloviznin V. M. Compact accurately boundary-adjusting high-resolution technique for fluid dynamics // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228, iss. 19. P. 7426–7451. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2009.06.037
23. Goloviznin V. M., Kanyukova V. D., Samarskaya E. A. Sverkhneyavnye raznostnye skhemy gazovoi dinamiki // Differentsial'nye uravneniya. 1983. T. 19, № 7. S. 1186–1197. URL: http://www.mathnet.ru/links/23381b18a4caaff660036527679f7476/de4901.pdf (data obrashche-niya: 12.07.2019).
24. Goloviznin V. M., Isakov V. A. Primenenie balansno-kharakteristicheskoi skhemy dlya resheniya uravnenii melkoi vody nad nerovnym dnom // Zhurnal vychislitel'noi matema-tiki i matematicheskoi fiziki. 2017. T. 57, № 7. S. 1142–1160. https://doi.org/10.7868/S0044466917070092
25. Rikhtmaier R. D., Morton K. Raznostnye metody resheniya kraevykh zadach. M. : Mir, 1972. S. 300–304.
26. Goloviznin V. M. Ob odnom sposobe vvedeniya iskusstvennoi dissipatsii v variatsionno-raznostnye skhemy magnitnoi gidrodinamiki // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1982. T. 22, № 1. S. 144–150. URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf5796 (data obrashcheniya: 11.07.2019).
27. Goloviznin V. M., Solovjov A. V., Zalesny V. B. A new algorithm for solving the shallow water equations on the sphere based on the cabaret scheme // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1128. 012091. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1128/1/012091
28. Evtushenko Y. G., Gorchakov A. Y., Goloviznin V. M. Fast automatic differentiation in problems variations four-dimensional data assimilation (4Dvar) // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1128. 012001. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1128/1/012001
29. Vedernikov A. B., Kholodov A. S. Chislennoe modelirovanie techenii dvukh- i trekhsloinoi zhidkosti v ramkakh modeli melkoi vody // Matematicheskoe modelirovanie. 1990. T. 2, № 6. S. 9–18. URL: http://mi.mathnet.ru/mm2375 (data obrashcheniya: 11.07.2019).
30. Kurganov A., Petrova G. Central-Upwind Schemes for Two-Layer Shallow Water Equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2009. Vol. 31, iss. 3. R. 1742–1773. https://doi.org/10.1137/080719091
31. Elizarova T. G., Ivanov A. V. Kvazigazodinamicheskii algoritm chislennogo resheniya dvukhsloinykh uravnenii melkoi vody // Preprinty IPM im. M. V. Keldysha. 2016. № 69. 27 s. doi:10.20948/prepr-2016-69
32. Shankar N. J., Cheong H. F., Sankaranarayanan S. Multilevel finite-difference model for three-dimensional hydrodynamic circulation // Ocean Engineering. 1997. Vol. 24, iss. 9. P. 785–816. https://doi.org/10.1016/S0029-8018(96)00036-4
33. Bouchut F., Zeitlin V. A robust well-balanced scheme for multi-layer shallow water equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B. 2010. Vol. 13, iss. 4. P. 739–758. http://doi.org/10.3934/dcdsb.2010.13.739
34. Couderc F., Duran A., Vila J.-P. An explicit asymptotic preserving low Froude scheme for the multilayer shallow water model with density stratification // Journal of Computational Physics. 2017. Vol. 343. P. 235–270. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2017.04.018
