Морской гидрофизический журнал. 2024; 40: 165-179
Конечно-разностная аппроксимация уравнения потенциальной завихренности для стратифицированной несжимаемой жидкости и пример его использования при расчете циркуляции Черного моря. Часть I. Дифференциально-разностное уравнение потенциальной завихренности идеальной жидкости
Аннотация
Цель. Выведены дискретные уравнения абсолютной и потенциальной завихренности для трехмерной стратифицированой несжимаемой жидкости как точное следствие конечно-разностных уравнений динамики моря в поле потенциальной массовой силы в адиабатическом приближении при условии отсутствия вязкости и диффузии. Проанализированы свойства двумерных проекций уравнения абсолютной завихренности на координатные плоскости и трехмерного уравнения потенциальной завихренности.
Методы и результаты. Для определения дискретных аналогов абсолютной завихренности и потенциальной завихренности вводится дополнительная сетка, на которой выписываются конечно-разностные уравнения для компонент абсолютной завихренности и составляющих потенциальной завихренности. Получены двумерные аналоги трехмерного уравнения вихря в плоскостях (x, y), (y, z) и (x, z), обладающие свойством сохранения вихря, энергии и энстрофии (квадрата завихренности). Из разностной системы трехмерных уравнений динамики моря в адиабатическом приближении при отсутствии вязкости и диффузии выводится дискретное уравнение для потенциальной завихренности стратифицированной несжимаемой жидкости.
Выводы. В случае линейного уравнения состояния получены дискретные уравнения абсолютной завихренности и потенциальной завихренности, которые являются точным следствием конечно-разностной постановки. Уравнение потенциальной завихренности имеет дивергентный вид, двумерные аналоги уравнения завихренности на плоскостях (x, y), (y, z), (x, z) обладают двумя квадратичными инвариантами, что обеспечивает сохранение среднего волнового
числа.
Список литературы
1. Rossby C.-G. Planetary flow patterns in the atmosphere // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1940. Vol. 66, iss. S1. P. 68–87. URL: https://rmets.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.1477-870X.1940.tb00130.x
2. Ertel H. Ein neuer hydrodynamischer Wirbelsatz // Meteorologische Zeitschrift. 1942. Vol. 59, no. 9. S. 277–281.
3. Hoskins B. J., McIntyre M. E., Robertson A. W. On the use and significance of isentropic potential vorticity maps // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1985. Vol. 111, iss. 470. P. 877–946. doi: 10.1002/qj.49711147002
4. Жмур В. В., Новоселовa Е. В., Белоненко Т. В. Потенциальная завихренность в океане: подходы Эртеля и Россби с оценками для Лофотенского вихря // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2021. Т. 57, № 6. С. 721–732. EDN: SRKASA. doi: 10.31857/S0002351521050151
5. Капцов Е. И. Численная реализация инвариантной схемы для одномерных уравнений мелкой воды в лагранжевых координатах // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2019. № 108. С. 1–28. EDN: DHLHXH. doi: 10.20948/prepr-2019-108
6. Bihlo A., Popovych R. O. Invariant discretization schemes for the shallow-water equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2012. Vol. 34, no. 6. P. B810–B839. doi: 10.1137/120861187
7. Efficient discretizations for the EMAC formulation of the incompressible Navier–Stokes equations / S. Charnyi [et al.] // Applied Numerical Mathematics. 2019. Vol. 141. P. 220–233. doi: 10.1016/j.apnum.2018.11.013
8. Sorgentone C., La Cognata C., Nordstrom J. A new high order energy and enstrophy conserving Arakawa-like Jacobian differential operator // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 301. P. 167–177. doi: 10.1016/j.jcp.2015.08.028
9. Arakawa A., Lamb V. R. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equations // Monthly Weather Review. 1981. Vol. 109, iss. 1. P. 18–36. doi: 10.1175/1520-0493(1981)109<0018:APEAEC>2.0.CO;2
10. Salmon R. A general method for conserving quantities related to potential vorticity in numerical models // Nonlinearity. 2005. Vol. 18, no. 5. P. R1–R16. URL: https://www.researchgate.net/publication/228678090_A_general_method_for_conserving_quantities_related_to_potential_vorticity_in_numerical_models
11. Sugibuchi Y., Matsuo T., Sato S. Constructing invariant-preserving numerical schemes based on Poisson and Nambu brackets // JSIAM Letters. 2018. Vol. 10. P. 53–56. doi: 10.14495/jsiaml.10.53
12. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: Two-dimensional incompressible flow. Part I // Journal of Computational Physics. 1966. Vol. 1, iss. 1. P. 119–143. https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5
13. Демышев С. Г. Энергетика климатической циркуляции Черного моря. Ч. I. Дискретные уравнения скорости изменения кинетической и потенциальной энергий // Метеорология и гидрология. 2004. № 9. С. 65–80. EDN PGCNXF.
14. Демышев С. Г. Численные эксперименты по сопоставлению двух конечно-разностных схем для уравнений движения в дискретной модели гидродинамики Черного моря // Морской гидрофизический журнал. 2005. № 5. C. 47–59. EDN YURAEH.
15. Демышев С. Г. Нелинейные инварианты дискретной системы уравнений динамики моря в квазистатическом приближении // Морской гидрофизический журнал. 2023. Т. 39, № 5. С. 557–583. EDN JWSUUM.
Morskoy Gidrofizicheskiy Zhurnal. 2024; 40: 165-179
Finite-Difference Approximation of the Potential Vorticity Equation for a Stratified Incompressible Fluid and an Example of its Application when Modeling the Black Sea Circulation. Part I. Finite-Difference Equation of Potential Vorticity of Ideal Fluid
Abstract
vorticity for a three-dimensional stratified incompressible fluid as an exact consequence of the finite-difference equations of sea dynamics in the field of a potential mass force in the adiabatic approximation provided that viscosity and diffusion are absent. The purpose also consists in analyzing both the features of two-dimensional projections of the absolute vorticty equation onto the coordinate planes and the three-dimensional equation of potential vorticity.
Methods and Results. In order to determine the discrete analogues of absolute and potential vorticity, introduced is the additional grid on which the finite-difference equations for the components both of absolute vorticty and potential vorticity are written down. Two-dimensional analogues of the three-dimensional equation of absolute vorticity on the planes (x, y), (y, z) and (x, z) are obtained; they possess the feature of preserving vorticity, energy and enstrophy (square of vorticiy). A discrete equation for potential vorticity of a stratified incompressible fluid is derived from the finite-difference system of three-dimensional equations of sea dynamics in the adiabatic approximation at the absence of viscosity and diffusion.
Conclusions. In the case of a linear equation of state, the discrete equations of absolute vorticity and potential vorticity which are the exact consequence of finite-difference formulation are obtained. The equation of potential vorticity is of a divergent form, and two-dimensional analogues of the absolute vorticity equation on the planes (x, y), (y, z) and (x, z) have two quadratic invariants that provide preservation of the average wave number.
References
1. Rossby C.-G. Planetary flow patterns in the atmosphere // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1940. Vol. 66, iss. S1. P. 68–87. URL: https://rmets.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/j.1477-870X.1940.tb00130.x
2. Ertel H. Ein neuer hydrodynamischer Wirbelsatz // Meteorologische Zeitschrift. 1942. Vol. 59, no. 9. S. 277–281.
3. Hoskins B. J., McIntyre M. E., Robertson A. W. On the use and significance of isentropic potential vorticity maps // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1985. Vol. 111, iss. 470. P. 877–946. doi: 10.1002/qj.49711147002
4. Zhmur V. V., Novoselova E. V., Belonenko T. V. Potentsial'naya zavikhrennost' v okeane: podkhody Ertelya i Rossbi s otsenkami dlya Lofotenskogo vikhrya // Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk. Fizika atmosfery i okeana. 2021. T. 57, № 6. S. 721–732. EDN: SRKASA. doi: 10.31857/S0002351521050151
5. Kaptsov E. I. Chislennaya realizatsiya invariantnoi skhemy dlya odnomernykh uravnenii melkoi vody v lagranzhevykh koordinatakh // Preprinty IPM im. M. V. Keldysha. 2019. № 108. S. 1–28. EDN: DHLHXH. doi: 10.20948/prepr-2019-108
6. Bihlo A., Popovych R. O. Invariant discretization schemes for the shallow-water equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2012. Vol. 34, no. 6. P. B810–B839. doi: 10.1137/120861187
7. Efficient discretizations for the EMAC formulation of the incompressible Navier–Stokes equations / S. Charnyi [et al.] // Applied Numerical Mathematics. 2019. Vol. 141. P. 220–233. doi: 10.1016/j.apnum.2018.11.013
8. Sorgentone C., La Cognata C., Nordstrom J. A new high order energy and enstrophy conserving Arakawa-like Jacobian differential operator // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 301. P. 167–177. doi: 10.1016/j.jcp.2015.08.028
9. Arakawa A., Lamb V. R. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equations // Monthly Weather Review. 1981. Vol. 109, iss. 1. P. 18–36. doi: 10.1175/1520-0493(1981)109<0018:APEAEC>2.0.CO;2
10. Salmon R. A general method for conserving quantities related to potential vorticity in numerical models // Nonlinearity. 2005. Vol. 18, no. 5. P. R1–R16. URL: https://www.researchgate.net/publication/228678090_A_general_method_for_conserving_quantities_related_to_potential_vorticity_in_numerical_models
11. Sugibuchi Y., Matsuo T., Sato S. Constructing invariant-preserving numerical schemes based on Poisson and Nambu brackets // JSIAM Letters. 2018. Vol. 10. P. 53–56. doi: 10.14495/jsiaml.10.53
12. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: Two-dimensional incompressible flow. Part I // Journal of Computational Physics. 1966. Vol. 1, iss. 1. P. 119–143. https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5
13. Demyshev S. G. Energetika klimaticheskoi tsirkulyatsii Chernogo morya. Ch. I. Diskretnye uravneniya skorosti izmeneniya kineticheskoi i potentsial'noi energii // Meteorologiya i gidrologiya. 2004. № 9. S. 65–80. EDN PGCNXF.
14. Demyshev S. G. Chislennye eksperimenty po sopostavleniyu dvukh konechno-raznostnykh skhem dlya uravnenii dvizheniya v diskretnoi modeli gidrodinamiki Chernogo morya // Morskoi gidrofizicheskii zhurnal. 2005. № 5. C. 47–59. EDN YURAEH.
15. Demyshev S. G. Nelineinye invarianty diskretnoi sistemy uravnenii dinamiki morya v kvazistaticheskom priblizhenii // Morskoi gidrofizicheskii zhurnal. 2023. T. 39, № 5. S. 557–583. EDN JWSUUM.
