Математика и математическое моделирование. 2018; : 1-18
Численное моделирование процессов взаимодействия и распада топологических вихрей в обращенном времени
https://doi.org/10.24108/mathm.0218.0000099Аннотация
Работа посвящена исследованию свойств Т-симметрии хорошо известной нелинейной сигма-модели (НСМ) – класса квантово-полевых систем, в которых физические поля рассматриваются как координаты некоторого многообразия. Рассматривается свойство симметрии (2+1)-мерной анизотропной О(3) НСМ (n-поле) относительно обращении времени. С геометрической точки зрения О(3) НСМ описывает динамику единичного трехкомпонентного изовектора n, который принимает значения в блоховской сфере. Изовектор n может быть идентифицирован с точкой на поверхности двумерной сферы и, следовательно, соответствует элементу группы вращений O(3). Анизотропия выбрана в направлении оси z и таким образом, состояния с нулевой энергией (вакуумные состояния) исследуемой модели эквивалентно точке (концу изовектора n) на полюсах блоховской сферы.
О(3) НСМ имеет точное решение в виде топологических-солитонов (вихрей, квазичастиц), обладающих топологическим зарядом (индексом Хопфа). В работе [8] показано, что при определенных значениях скорости их движения происходит распад взаимодействующих топологических солитонов на локализованные возмущения. При этом было выявлено свойство сохранения общей суммы топологического заряда. В настоящей работе проведены численные моделирования процессов взаимодействия и распада топологических солитонов О(3) НСМ в обращенном времени. Показано, что при обращении времени наблюдается процесс полного восстановления исходного состояния поля топологических солитонов объединением отдельных локализованных возмущений. Таким образом, в настоящей работе подтверждено свойство Т-инвариантности О(3) НСМ. Численные модели построены методами теории конечных разностных схем на основе специально разработанного алгоритма применения свойств стереографической проекции блоховской сферы на комплексную плоскость. Разработанный метод позволяет провести точные расчеты значения плотности энергии взаимодействующих вихревых полей в каждой точке расслоенного пространства. Предложен комплекс компьютерных программ, позволяющий проведение численных исследований процессов взаимодействия локализованных решений нелинейных теоретико-полевых моделей класса О(3) НСМ в обращенном времени.
Список литературы
1. Мэрион Дж.Б. Физика и физический мир: пер. с англ. / под ред. Е.М. Лейкина и С.Ю. Лукьянова М.: Мир, 1975. 623 с. [Marion J.B. Physics and the physical universe. N.Y.: Wiley, 1971. 694 p.].
2. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский; под ред. Л.П. Питаевского. 4-е изд. М.: Физматлит, 2002. 720 с.
3. Huang K. Quantum field theory: from operators to path integrals. N.Y.: Wiley, 1998. 426 p.
4. Peskin M.E., Schroeder D.V. An introduction to quantum field theory. Reading: Addison-Wesley Publ., 1995. 842 p.
5. Kudryavtsev A., Piette B., Zakrzewski W. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions // Nonlinearity. 1998. Vol. 11. No. 4. Pp. 783–795.
6. Муминов Х.Х. Многомерные динамические топологические солитоны в нелинейной анизотропной сигма-модели // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2002. Т. 45. № 10. С. 28–36.
7. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Математическое моделирование нелинейных динамических систем квантовой теории поля. Новосиб.: Изд-во СО РАН, 2017. 373 с.
8. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Взаимодействие и распад двумерных топологических солитонов О(3) векторной нелинейной сигма-модели // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2011. Т. 54. № 2. С. 110–114.
9. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Изоспиновая динамика топологических вихрей // Докл. Акад. наук Республики Таджикистан. 2016. Т. 59. № 7–8. С. 320–326.
10. Гибсон У., Поллард Б. Принципы симметрии в физике элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979. 344 с. [Gibson W.M., Pollard B.R. Symmetry principles in elementary particle physics. Camb.: Camb. Univ. Press, 1976. 380 p.].
11. Швебер С.С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля: пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 842 с. [Schweber S.S. An introduction to relativistic quantum field theory. N.Y.: Harper & Row, 1961. 905 p.].
12. Derode A., Roux Ph., Fink M. Robust acoustic time reversal with high-order multiple scattering // Physical Review Letters. 1995. Vol. 75. No. 23. Pp. 4206–4210. DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.4206
13. Chabchoub A., Fink M. Time-reversal generation of rogue waves // Physical Review Letters. 2014. Vol. 112. No. 12. Pp. 124101-124301. DOI: 10.1103/PhysRevLett.112.124101
14. Leutenegger T., Dual J. Detection of defects in cylindrical structures using a time reverse method and a finite-difference approach // Ultrasonics. 2002. Vol. 40. No. 1-8. Pp. 721-725. DOI: 10.1016/S0041-624X(02)00200-7
15. Kazuhisa Ogawa, Shuhei Tamate, Toshihiro Nakanishi, Hirokazu Kobayashi, Masao Kitano. Classical realization of dispersion cancellation by time-reversal method // Physical Review A. 2015. Vol. 91. No. 1. P. 013846. DOI: 10.1103/PhysRevA.91.013846
16. Midtgaard J.M., Zhigang Wu, Bruun G.M. Time-reversal-invariant topological superfluids in Bose-Fermi mixtures // Physical Review A. 2017. Vol. 96. No. 3. P. 033605. DOI: 10.1103/PhysRevA.96.033605
17. Sounas D.L., Alu A. Time-reversal symmetry bounds on the electromagnetic response of asymmetric structures // Physical Review Letters. 2017. Vol. 118. No. 15. P. 154302. DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.154302
18. Chenjie Wang, Levin M. Anomaly indicators for time-reversal symmetric topological orders // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 13. P. 136801. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.136801
19. Yuji Tachikawa, Kazuya Yonekura. Derivation of the time-reversal anomaly for (2 + 1)-dimensional topological phases // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 11. P. 111603. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.111603
20. Ningyuan Jia, Schine N., Georgakopoulos A., Ryou A., Sommer A., Simon J. Photons and polaritons in a broken-time-reversal nonplanar resonator // Physical Review A. 2018. Vol. 97. No. 1. P. 013802. DOI: 10.1103/PhysRevA.97.013802
21. Kozyryev I., Hutzler N.R. Precision measurement of time-reversal symmetry violation with laser-cooled polyatomic molecules // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 13. P. 133002. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.133002
22. Самарский А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 616 с. [Samarskij A.A. Theory of difference schemes. N.Y.: Marcel Dekker, 2001. 761 p.].
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 1-18
Numerical Modeling of Interaction and Decay Processes of Topological Vortices in Reversed Time
https://doi.org/10.24108/mathm.0218.0000099Abstract
The paper studies T-symmetry properties of the well-known nonlinear sigma model (NSM), a class of quantum field systems in which physical fields are regarded as the coordinates of a certain manifold. Considers a symmetry property of the (2+1)-dimensional anisotropic O(3) NSM (n-field) with respect to time reversal. From the geometric point of view, O(3) NSM describes the dynamics of a single three-component isovector n that takes on values in the Bloch sphere. The isovector n can be identified with a point on the surface of a two-dimensional sphere and, therefore, corresponds to the element of a rotation group O(3). The anisotropy is selected in the z-axis direction and thus, the zero-energy states (vacuum states) of the model under investigation are equivalent to the point (the end of the isovector n) at the poles of the Bloch sphere.
О(3) NSМ has an exact solution in the form of topological solitons (vortices, quasi-particles) possessing a topological charge (the Hopf index). It was shown in [8] that, for certain rate values of their motion, the interacting topological solitons decay into localized perturbations. In this case, the property of preserving the total sum of the topological charge is revealed.
In the present work, numerical modeling of interaction and decay processes of topological solitons of O(3) NSM in reversed time are carried out. It is shown that when there is time reversal, a complete restoration process of the initial state of the field of topological solitons by combining individual localized perturbations is observed. Thus, the paper confirms the property of T-invariance of O(3) NSM. To construct numerical models, are used methods of the theory of finite difference schemes, based on a specially developed algorithm for applying the properties of the stereographic projection of the Bloch sphere onto the complex plane. The developed method allows accurate calculations of the energy density of interacting vortex fields at each point of the stratified space. The paper proposes a software complex that allows us to conduct numerical studies of interaction processes of localized solutions of non-linear field-theoretical models in class O(3) NSM in reversed time.
References
1. Merion Dzh.B. Fizika i fizicheskii mir: per. s angl. / pod red. E.M. Leikina i S.Yu. Luk'yanova M.: Mir, 1975. 623 s. [Marion J.B. Physics and the physical universe. N.Y.: Wiley, 1971. 694 p.].
2. Kvantovaya elektrodinamika / V.B. Berestetskii, E.M. Lifshits, L.P. Pitaevskii; pod red. L.P. Pitaevskogo. 4-e izd. M.: Fizmatlit, 2002. 720 s.
3. Huang K. Quantum field theory: from operators to path integrals. N.Y.: Wiley, 1998. 426 p.
4. Peskin M.E., Schroeder D.V. An introduction to quantum field theory. Reading: Addison-Wesley Publ., 1995. 842 p.
5. Kudryavtsev A., Piette B., Zakrzewski W. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions // Nonlinearity. 1998. Vol. 11. No. 4. Pp. 783–795.
6. Muminov Kh.Kh. Mnogomernye dinamicheskie topologicheskie solitony v nelineinoi anizotropnoi sigma-modeli // Dokl. Akad. nauk Respubliki Tadzhikistan. 2002. T. 45. № 10. S. 28–36.
7. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Matematicheskoe modelirovanie nelineinykh dinamicheskikh sistem kvantovoi teorii polya. Novosib.: Izd-vo SO RAN, 2017. 373 s.
8. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Vzaimodeistvie i raspad dvumernykh topologicheskikh solitonov O(3) vektornoi nelineinoi sigma-modeli // Dokl. Akad. nauk Respubliki Tadzhikistan. 2011. T. 54. № 2. S. 110–114.
9. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Izospinovaya dinamika topologicheskikh vikhrei // Dokl. Akad. nauk Respubliki Tadzhikistan. 2016. T. 59. № 7–8. S. 320–326.
10. Gibson U., Pollard B. Printsipy simmetrii v fizike elementarnykh chastits. M.: Atomizdat, 1979. 344 s. [Gibson W.M., Pollard B.R. Symmetry principles in elementary particle physics. Camb.: Camb. Univ. Press, 1976. 380 p.].
11. Shveber S.S. Vvedenie v relyativistskuyu kvantovuyu teoriyu polya: per. s angl. M.: Izd-vo inostr. lit., 1963. 842 s. [Schweber S.S. An introduction to relativistic quantum field theory. N.Y.: Harper & Row, 1961. 905 p.].
12. Derode A., Roux Ph., Fink M. Robust acoustic time reversal with high-order multiple scattering // Physical Review Letters. 1995. Vol. 75. No. 23. Pp. 4206–4210. DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.4206
13. Chabchoub A., Fink M. Time-reversal generation of rogue waves // Physical Review Letters. 2014. Vol. 112. No. 12. Pp. 124101-124301. DOI: 10.1103/PhysRevLett.112.124101
14. Leutenegger T., Dual J. Detection of defects in cylindrical structures using a time reverse method and a finite-difference approach // Ultrasonics. 2002. Vol. 40. No. 1-8. Pp. 721-725. DOI: 10.1016/S0041-624X(02)00200-7
15. Kazuhisa Ogawa, Shuhei Tamate, Toshihiro Nakanishi, Hirokazu Kobayashi, Masao Kitano. Classical realization of dispersion cancellation by time-reversal method // Physical Review A. 2015. Vol. 91. No. 1. P. 013846. DOI: 10.1103/PhysRevA.91.013846
16. Midtgaard J.M., Zhigang Wu, Bruun G.M. Time-reversal-invariant topological superfluids in Bose-Fermi mixtures // Physical Review A. 2017. Vol. 96. No. 3. P. 033605. DOI: 10.1103/PhysRevA.96.033605
17. Sounas D.L., Alu A. Time-reversal symmetry bounds on the electromagnetic response of asymmetric structures // Physical Review Letters. 2017. Vol. 118. No. 15. P. 154302. DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.154302
18. Chenjie Wang, Levin M. Anomaly indicators for time-reversal symmetric topological orders // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 13. P. 136801. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.136801
19. Yuji Tachikawa, Kazuya Yonekura. Derivation of the time-reversal anomaly for (2 + 1)-dimensional topological phases // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 11. P. 111603. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.111603
20. Ningyuan Jia, Schine N., Georgakopoulos A., Ryou A., Sommer A., Simon J. Photons and polaritons in a broken-time-reversal nonplanar resonator // Physical Review A. 2018. Vol. 97. No. 1. P. 013802. DOI: 10.1103/PhysRevA.97.013802
21. Kozyryev I., Hutzler N.R. Precision measurement of time-reversal symmetry violation with laser-cooled polyatomic molecules // Physical Review Letters. 2017. Vol. 119. No. 13. P. 133002. DOI: 10.1103/PhysRevLett.119.133002
22. Samarskii A.A. Teoriya raznostnykh skhem: ucheb. posobie. 3-e izd. M.: Nauka, 1989. 616 s. [Samarskij A.A. Theory of difference schemes. N.Y.: Marcel Dekker, 2001. 761 p.].
