Математика и математическое моделирование. 2017; : 19-31
Поведение двухкомпонентной популяционной системы в окрестности нулевого положения равновесия
https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000096Аннотация
Активное развитие клеточной терапии в последние десятилетия обусловило большой интерес к культивированию клеточных популяций в лабораторных условиях (in vitro). Одно из направлений клеточной терапии — трансплантология стволовых клеток. Необходимый для трансплантации клеточный материал получают путем культивирования клеток, взятых у пациента. Однако часто возникают проблемы, связанные с генетическими мутациями клеток в процессе культивирования, а именно — перерождение части мутировавших клеток в «бессмертные» (раковые) клетки, что делает трансплантацию такого материала небезопасной для пациента. Лабораторные исследования динамики развития клеточных популяций требуют существенных затрат, обычно такие исследования проводятся в начале культивирования, в середине процесса, и при завершении процесса культивирования. Детально судить о развитии клеточной популяции по таким данным сложно. Здесь важную роль играет математическое моделирование.
В работах [8–11] была предложена и исследована клеточная популяционная система, состоящая из двух видов клеток: нормальных (здоровых) и аномальных (анеуплоидных). Интерес к такой популяционной системе вызван тем, что, хотя анеуплоидные клетки и имеют время жизни меньшее, чем нормальные, небольшая часть анеуплоидных клеток может переродиться в практически «бессмертные» раковые клетки, популяция которых со временем может стать доминирующей.
В качественном анализе нелинейных динамических систем стандартной составляющей является информация о количестве точек покоя, их характере и расположении. Ранее [16] было проведено подробное исследование точек покоя и их возможный характер в зависимости от биологических параметров, таких как доли погибающих клеток, среднее время клеточного цикла, доли нормальных клеток, переходящих в популяцию аномальных и т.д. Однако исчерпывающий ответ по этому вопросу не был получен.
В данной работе продолжается исследование двухкомпонентной популяционной модели, рассматривавшейся ранее [9–11,16]. Исследование сосредоточено на нулевом положении равновесия. Уточняются условия устойчивости с учетом того, что динамическая система в силу ее биологического содержания должна рассматриваться в первом квадранте плоскости. Кроме того, проведено исследование нулевого положения равновесия в критических случаях, в которых метод исследования устойчивости по линейному приближению не работает.
Список литературы
1. Бочков Н.П., Никитина В.А. Цитогенетика стволовых клеток человека // Молекулярная медицина. 2008. № 3. С. 40–47.
2. Бочков Н.П., Никитина В.А., Рослова Т.А., Чаушев И.Н., Якушина И.И. Клеточная терапия наследственных болезней // Вестник Российской акад. медицинских наук (РАМН). 2008. № 10. С. 20–28.
3. Шаманская Т.В., Осипова Е.Ю., Пурбуева Б.Б., Устюгов А.Ю., Астрелина Т.А., Яковлева М.В., Румянцев С.А. Культивирование мезенхимальных стволовых клеток ex vivo в различных питательных средах (обзор литературы и собственный опыт) // Онкогематология. 2010. № 3. C. 65–71.
4. Бочков Н.П., Никитина В.А., Буяновская О.А., Воронина Е.С., Гольдштейн Д.В., Кулешов Н.П., Ржанинова А.А., Чаушев И.Н. Анеуплоидия в стволовых клетках, выделенных из жировой ткани человека // Бюллетень экспериментальной биологии и медицины. 2008. Т. 146. № 9. C. 320–323.
5. Бочков Н.П., Никитина В.А., Воронина Е.С., Кулешов Н.П. Методическое пособие по тестированию клеточных трансплантатов на генетическую безопасность // Клеточные технологии в биологии и медицине. 2009. № 4. C. 183–189.
6. Бочков Н.П., Виноградова М.С., Волков И.К., Воронина Е.С., Кулешов Н.П. Статистический анализ клонообразования в культурах стволовых клеток человека // Клеточные технологии в биологии и медицине. 2011. № 2. C. 63–66.
7. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993. 302 с.
8. Бочков Н.П., Виноградова М.С., Волков И.К., Кулешов Н.П. Математическая модель динамики суммарных численностей взаимодействующих клеточных популяций // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. № 1. С. 18–24.
9. Виноградова М.С. Качественный анализ модели функционирования взаимодействующих клеточных популяций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2011. № 11. С. 1–20. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/251409.html (дата обращения 10.11.2017).
10. Виноградова М.С. Динамическая модель клеточной популяционной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 12. С. 175–192. DOI: 10.7463/1213.0646463
11. Виноградова М.С. Исследование нелинейной модели развития клеточной популяционной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 8. С. 123–138. DOI: 10.7463/0814.0720269
12. Duesberg P., Mandrioli D., McCormack A., Nicholson J.M. Is carcinogenesis a form of speciation? // Cell Cycle. 2011. Vol. 10. No. 13. Pp. 2100–2114. DOI: 10.4161/cc.10.13.16352
13. Duesberg P., Li R., Fabarius A., Hehlmann R. Aneuploidy and cancer: From correlation to causation // Infection and inflammation: Impacts on oncogenesis / Ed. by Dittmar T., Zaenker K.S., Schmidt A. Basel etc.: Karger, 2006. Pp. 16–44. DOI: 10.1159/000092963
14. Duesberg P., Fabarius A., Hehlmann R. Aneuploidy, the primary cause of the multilateral genomic instability of neoplastic and preneoplastic cells // IUBMB Life. 2004. Vol. 56. No. 2. Pp. 65–81. DOI: 10.1080/15216540410001667902
15. Тимошевский В.А., Назаренко С.А. Биологическая индикация мутагенных воздействий и генетической нестабильности у человека путем учета числовых хромосомных нарушений // Информационный вестник ВОГиС. 2006. Т. 10. № 3. C. 530–539.
16. Виноградова М.С. Анализ сценариев развития клеточной популяционной системы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 11. С. 607–622. DOI: 10.7463/1114.0735732
17. Халил Х.К. Нелинейные системы: пер. с англ. 3-е изд. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ин-т компьютерных исследований, 2009. 812 с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2002. 750 p.].
18. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. М. Методы качественной теории в нелинейной динамике: пер. с англ. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исслед., 2003. 428 c. [Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics (Part I). Singapore; L.: World Scientific, 1998].
Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 19-31
The Behavior of a Two-Component Population System in Vicinity of the Zero Equilibrium Point
https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000096Abstract
A clinical behaviour of the cell-based therapy in recent decades has encouraged a great interest in the culture of cell populations in vitro. One of the directions of cell therapy is transplantation of stem cells. The cell material for transplantation is obtained by culturing the patient’s cells. However, there are often problems because of the genetic mutations of cells in the process of culture, namely, the degeneration of a portion of mutated cells into "immortal" (cancerous) cells, which makes the transplantation of such material unsafe for a patient. To study development dynamics of the cell populations in vitro is quite costly. Such studies are, usually, conducted at the beginning of culture, in the middle of the process, and when completing the process of culture. It is difficult to judge t the cell population development in detail by such data. Here mathematical modelling is of importance.
The papers [8-11] propose a cell population system consisting of two types of cells, namely normal (healthy) and abnormal (aneuploid) cells. Interest in such a population system is due to the fact that, although the aneuploid cells have a life time less than the normal ones, a small portion of the aneuploid cells can degenerate into practically "immortal" cancer cells, whose population may, eventually, become dominant.
In the qualitative analysis of the nonlinear dynamic systems, a standard component is information on the number of rest points, their nature and location. Earlier, [16] a detailed study of the rest points and their possible nature was performed depending on the biological parameters, such as the proportion of dead cells, the average time of the cell cycle, the proportions of normal cells becoming the population of abnormal ones, etc. However, there is no exhaustive answer, yet, concerning this issue
The paper continues to study the two-component population model considered earlier [9-11, 16]. The study focuses on the zero equilibrium point. The conditions of stability are specified taking into account the fact that the dynamic system, by virtue of its biological content, must be considered in the first quadrant of the plane. In addition, a study of the zero equilibrium point has been conducted in critical cases in which the method to investigate linear approximation stability the does not work.
References
1. Bochkov N.P., Nikitina V.A. Tsitogenetika stvolovykh kletok cheloveka // Molekulyarnaya meditsina. 2008. № 3. S. 40–47.
2. Bochkov N.P., Nikitina V.A., Roslova T.A., Chaushev I.N., Yakushina I.I. Kletochnaya terapiya nasledstvennykh boleznei // Vestnik Rossiiskoi akad. meditsinskikh nauk (RAMN). 2008. № 10. S. 20–28.
3. Shamanskaya T.V., Osipova E.Yu., Purbueva B.B., Ustyugov A.Yu., Astrelina T.A., Yakovleva M.V., Rumyantsev S.A. Kul'tivirovanie mezenkhimal'nykh stvolovykh kletok ex vivo v razlichnykh pitatel'nykh sredakh (obzor literatury i sobstvennyi opyt) // Onkogematologiya. 2010. № 3. C. 65–71.
4. Bochkov N.P., Nikitina V.A., Buyanovskaya O.A., Voronina E.S., Gol'dshtein D.V., Kuleshov N.P., Rzhaninova A.A., Chaushev I.N. Aneuploidiya v stvolovykh kletkakh, vydelennykh iz zhirovoi tkani cheloveka // Byulleten' eksperimental'noi biologii i meditsiny. 2008. T. 146. № 9. C. 320–323.
5. Bochkov N.P., Nikitina V.A., Voronina E.S., Kuleshov N.P. Metodicheskoe posobie po testirovaniyu kletochnykh transplantatov na geneticheskuyu bezopasnost' // Kletochnye tekhnologii v biologii i meditsine. 2009. № 4. C. 183–189.
6. Bochkov N.P., Vinogradova M.S., Volkov I.K., Voronina E.S., Kuleshov N.P. Statisticheskii analiz klonoobrazovaniya v kul'turakh stvolovykh kletok cheloveka // Kletochnye tekhnologii v biologii i meditsine. 2011. № 2. C. 63–66.
7. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Matematicheskie modeli biologicheskikh produktsionnykh protsessov. M.: Izd-vo MGU, 1993. 302 s.
8. Bochkov N.P., Vinogradova M.S., Volkov I.K., Kuleshov N.P. Matematicheskaya model' dinamiki summarnykh chislennostei vzaimodeistvuyushchikh kletochnykh populyatsii // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki. 2011. № 1. S. 18–24.
9. Vinogradova M.S. Kachestvennyi analiz modeli funktsionirovaniya vzaimodeistvuyushchikh kletochnykh populyatsii // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2011. № 11. S. 1–20. Rezhim dostupa: http://technomag.edu.ru/doc/251409.html (data obrashcheniya 10.11.2017).
10. Vinogradova M.S. Dinamicheskaya model' kletochnoi populyatsionnoi sistemy // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 12. S. 175–192. DOI: 10.7463/1213.0646463
11. Vinogradova M.S. Issledovanie nelineinoi modeli razvitiya kletochnoi populyatsionnoi sistemy // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2014. № 8. S. 123–138. DOI: 10.7463/0814.0720269
12. Duesberg P., Mandrioli D., McCormack A., Nicholson J.M. Is carcinogenesis a form of speciation? // Cell Cycle. 2011. Vol. 10. No. 13. Pp. 2100–2114. DOI: 10.4161/cc.10.13.16352
13. Duesberg P., Li R., Fabarius A., Hehlmann R. Aneuploidy and cancer: From correlation to causation // Infection and inflammation: Impacts on oncogenesis / Ed. by Dittmar T., Zaenker K.S., Schmidt A. Basel etc.: Karger, 2006. Pp. 16–44. DOI: 10.1159/000092963
14. Duesberg P., Fabarius A., Hehlmann R. Aneuploidy, the primary cause of the multilateral genomic instability of neoplastic and preneoplastic cells // IUBMB Life. 2004. Vol. 56. No. 2. Pp. 65–81. DOI: 10.1080/15216540410001667902
15. Timoshevskii V.A., Nazarenko S.A. Biologicheskaya indikatsiya mutagennykh vozdeistvii i geneticheskoi nestabil'nosti u cheloveka putem ucheta chislovykh khromosomnykh narushenii // Informatsionnyi vestnik VOGiS. 2006. T. 10. № 3. C. 530–539.
16. Vinogradova M.S. Analiz stsenariev razvitiya kletochnoi populyatsionnoi sistemy // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2014. № 11. S. 607–622. DOI: 10.7463/1114.0735732
17. Khalil Kh.K. Nelineinye sistemy: per. s angl. 3-e izd. M.; Izhevsk: NITs "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika", In-t komp'yuternykh issledovanii, 2009. 812 s. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2002. 750 p.].
18. Shil'nikov L.P., Shil'nikov A.L., Turaev D.V., Chua L. M. Metody kachestvennoi teorii v nelineinoi dinamike: per. s angl. M.-Izhevsk: In-t komp'yuternykh issled., 2003. 428 c. [Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics (Part I). Singapore; L.: World Scientific, 1998].
