Математика и математическое моделирование. 2017; : 83-94
О приближении значений гипергеометрических функций специального вида
https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000091Аннотация
В исследованиях арифметических свойств значений гипергеометрических функций можно выделить два направления: метод Зигеля и методы, основанные на эффективном построении линейной приближающей формы. Известны также методы, сочетающие оба названных подхода. Методом Зигеля получены наиболее общие результаты, относящиеся к упомянутым задачам. Этим методом во многих случаях удалось установить алгебраическую независимость значений соответствующих функций. Хотя эффективные методы не позволяют получать столь общие утверждения, они все же обладают некоторыми достоинствами. Среди этих достоинств можно выделить по крайней мере два: большая точность получаемых количественных результатов и возможность рассмотрения гипергеометрических функций с иррациональными параметрами.
В настоящей работе эффективная конструкция применяется для получения оценки меры линейной независимости значений гипергеометрических функций над мнимым квадратичным полем. Сами функции выбираются специальным образом, чтобы можно было продемонстрировать новый подход к эффективному построению линейной приближающей формы. Этот подход позволяет также распространить известные способы эффективного построения линейных приближающих форм для полилогарифмов на функции более общего вида.
Для получения арифметического результата потребовалось также установить линейную независимость изучаемых функций над полем рациональных дробей. Непосредственно применить известные теоремы, дающие соответствующие достаточные (а в ряде случаев и необходимые) условия, по-видимому, нельзя. По этой причине был разработан специальный технический прием, позволивший решить эту задачу.
В работе получены арифметические результаты о значениях целых функций, но с соответствующими изменениями можно переформулировать доказанные теоремы и для случая гипергеометрических рядов с конечным радиусом сходимости. В перспективе можно будет рассмотреть и случай иррациональных параметров, но здесь предстоит еще преодолеть ряд трудностей, характерных для задач такого типа.
Список литературы
1. Фельдман Н.И. Об одной линейной форме // Acta Arithmetica. 1972. Vol. 21. Pp. 347-355. DOI: 10.4064/aa-21-1-347-355
2. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 1. С. 19-28.
3. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Математический сборник. 1991. Т. 182. № 2. С. 283-302.
4. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-214. DOI: 10.1017/CBO9780511897184.013
5. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1. No. 2. Pp. 27-32.
6. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Основы алгебры: учебник. М.: Физматлит; Наука, 1994. 318 с.
7. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1978. № 6. С. 25-32.
8. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1979. № 1. С. 26-30.
9. Василенко О.Н. О приближении гипергеометрических функций и их значений // Диофантовы приближения. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 10-16.
10. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 1. С 191-206.
11. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций // Диофантовы приближения. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 34-41.
12. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.
13. Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций // Диофантовы приближения. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 3-12.
14. Василенко О.Н. Арифметические свойства значений полилогарифмов // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1985. № 1. С. 42-45.
15. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера с иррациональным параметром // Математические заметки. 1991. Т. 49. № 2. С. 55-63.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 83-94
On Approximation of Hyper-geometric Function Values of a Special Class
https://doi.org/10.24108/mathm.0617.0000091Abstract
Investigations of arithmetic properties of the hyper-geometric function values make it possible to single out two trends, namely, Siegel’s method and methods based on the effective construction of a linear approximating form. There are also methods combining both approaches mentioned. The Siegel’s method allows obtaining the most general results concerning the abovementioned problems. In many cases it was used to establish the algebraic independence of the values of corresponding functions. Although the effective methods do not allow obtaining propositions of such generality they have nevertheless some advantages. Among these advantages one can distinguish at least two: a higher precision of the quantitative results obtained by effective methods and a possibility to study the hyper-geometric functions with irrational parameters.
In this paper we apply the effective construction to estimate a measure of the linear independence of the hyper-geometric function values over the imaginary quadratic field. The functions themselves were chosen by a special way so that it could be possible to demonstrate a new approach to the effective construction of a linear approximating form. This approach makes it possible also to extend the well-known effective construction methods of the linear approximating forms for poly-logarithms to the functions of more general type.
To obtain the arithmetic result we had to establish a linear independence of the functions under consideration over the field of rational functions. It is apparently impossible to apply directly known theorems containing sufficient (and in some cases needful and sufficient) conditions for the system of functions appearing in the theorems mentioned. For this reason, a special technique has been developed to solve this problem.
The paper presents the obtained arithmetic results concerning the values of integral functions, but, with appropriate alterations, the theorems proved can be adapted to the case of the hyper-geometric series with a finite radius of convergence. Subsequently, it will be possible to consider also a case of the irrational parameters, but there are still a number of difficulties, which are specific for the problems of such type and which are to be overcome.
References
1. Fel'dman N.I. Ob odnoi lineinoi forme // Acta Arithmetica. 1972. Vol. 21. Pp. 347-355. DOI: 10.4064/aa-21-1-347-355
2. Galochkin A.I. Otsenki snizu lineinykh form ot znachenii nekotorykh gipergeometricheskikh funktsii // Matematicheskie zametki. 1970. T. 8. № 1. S. 19-28.
3. Ivankov P.L. Ob arifmeticheskikh svoistvakh znachenii gipergeometricheskikh funktsii // Matematicheskii sbornik. 1991. T. 182. № 2. S. 283-302.
4. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-214. DOI: 10.1017/CBO9780511897184.013
5. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1. No. 2. Pp. 27-32.
6. Kostrikin A.I. Vvedenie v algebru: Osnovy algebry: uchebnik. M.: Fizmatlit; Nauka, 1994. 318 s.
7. Galochkin A.I. O diofantovykh priblizheniyakh znachenii nekotorykh tselykh funktsii s algebraicheskimi koeffitsientami. I // Vestnik MGU. Ser. 1: Matematika, mekhanika. 1978. № 6. S. 25-32.
8. Galochkin A.I. O diofantovykh priblizheniyakh znachenii nekotorykh tselykh funktsii s algebraicheskimi koeffitsientami. II // Vestnik MGU. Ser. 1: Matematika, mekhanika. 1979. № 1. S. 26-30.
9. Vasilenko O.N. O priblizhenii gipergeometricheskikh funktsii i ikh znachenii // Diofantovy priblizheniya. Ch. 1. M.: Izd-vo MGU, 1985. S. 10-16.
10. Ivankov P.L. O lineinoi nezavisimosti znachenii nekotorykh funktsii // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1995. T. 1. № 1. S 191-206.
11. Ivankov P.L. Otsenki snizu lineinykh form ot znachenii gipergeometricheskikh funktsii // Diofantovy priblizheniya. Ch. 2. M.: Izd-vo MGU, 1986. S. 34-41.
12. Shidlovskii A.B. Transtsendentnye chisla. M.: Nauka, 1987. 447 s.
13. Vasilenko O.N. O lineinoi nezavisimosti znachenii nekotorykh funktsii // Diofantovy priblizheniya. Ch. 2. M.: Izd-vo MGU, 1986. S. 3-12.
14. Vasilenko O.N. Arifmeticheskie svoistva znachenii polilogarifmov // Vestnik MGU. Ser. 1: Matematika, mekhanika. 1985. № 1. S. 42-45.
15. Ivankov P.L. Otsenki snizu lineinykh form ot znachenii funktsii Kummera s irratsional'nym parametrom // Matematicheskie zametki. 1991. T. 49. № 2. S. 55-63.
