Математика и математическое моделирование. 2017; : 1-18
Полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона в слое
https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000082Аннотация
Хорошо известно, что задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре имеет единственное полиномиальное решение (гармонический полином) в случае, если заданным граничным значением является след произвольного полинома на сфере. С.М.Никольский обобщил этот результат на случай краевой задачи первого рода для линейного дифференциального самосопряженного оператора порядка 2l с постоянными коэффициентами (в частности полигармонического) и для области, которая является эллипсоидом в Rn Для полигармонического уравнения в шаре (однородного и неоднородного) алгоритм построения полиномиального решения задачи Дирихле на основе формулы Альманси предложен В.В.Карачиком.
В данной работе рассматривается уравнение Пуассона с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гиперплоскостями. Показано, что краевая задача Дирихле и смешанная краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет единственное решение в классе функций полиномиального роста, которое является полиномом. Приведен алгоритм построения этого полиномиального решения и рассмотрены примеры. В частности получены формулы, дающие точные значения некоторых интегралов (в том числе и многомерных) и сумм тригонометрических рядов.
Список литературы
1. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 4-е изд. М.: Наука, 1966. 443 с.
2. Стейн И.М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.[Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. 297 p.].
3. Никольский С.М. Краевая задача для многочленов // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 223-236.
4. Никольский С.М. Еще о краевой задаче с многочленами // Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 286-288.
5. Карачик В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170. DOI: 10.7868/S0044466914070072
6. Волков Е.А. Критерий разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на специальных треугольниках и прямоугольнике в алгебраических многочленах // Тр. Математического ин-та им. В.А.Стеклова. 1999. Т. 227. С. 122-136.
7. Волков Е.А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Тр. Математического ин-та им. В.А.Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.
8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в многомерном бесконечном слое // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2015. № 1. С. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13
9. Алгазин О.Д., Копаев А.В. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э.Баумана. Электрон. журн. 2015. № 4. С. 41-53. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943
10. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 318 с.
11. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 575 с.
12. Widder D.V. Functions harmonic in a strip // Proc. of the Amer. Mathematical Soc. 1961. Vol. 12. No. 1. Pp. 67-72. DOI: 10.2307/2034126
13. , Brawn F.T. The Green and Poisson kernels for the strip R^n×]0,1[ // J. of the London Mathematical Soc. 1970. Vol. 2. Iss. Pt. 3. Pp. 439-454. DOI: 10.1112/jlms/2.Part_3.439
14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 798 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 1-18
Polynomial Solutions of the Boundary Value Problems for the Poisson Equation in a Layer
https://doi.org/10.24108/mathm.0517.0000082Abstract
It is well known that the Dirichlet problem for the Laplace equation in a ball has a unique polynomial solution (harmonic polynomial) in the case if the given boundary value is the trace of an arbitrary polynomial on the sphere. S.M.Nikol'skii generalized this result in the case of a boundary value problem of the first kind for a linear differential self-adjoint operator of the order 2l with constant coefficients (in particular polyharmonic) and for a domain that is an ellipsoid in Rn. For a polyharmonic equation in a ball (homogeneous and inhomogeneous), V.V. Karachik proposed the Almansi formula-based algorithm to construct a polynomial solution of the Dirichlet problem.
The paper considers the Poisson equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional infinite layer bounded by two hyper-planes. Shows that the Dirichlet boundary value problem and the mixed Dirichlet-Neumann boundary value problem with polynomial boundary conditions have a unique solution in the class of functions of polynomial growth, and this solution is a polynomial. Gives an algorithm for constructing this polynomial solution and considers examples. In particular, presents formulas to give exact values of certain integrals (including multi-dimensional ones) and sums of trigonometric series.
References
1. Sobolev S.L. Uravneniya matematicheskoi fiziki. 4-e izd. M.: Nauka, 1966. 443 s.
2. Stein I.M., Veis G. Vvedenie v garmonicheskii analiz na evklidovykh prostranstvakh. M.: Mir, 1974. 333 s.[Stein E.M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton: Princeton Univ. Press, 1971. 297 p.].
3. Nikol'skii S.M. Kraevaya zadacha dlya mnogochlenov // Tr. Matematicheskogo in-ta im. V.A. Steklova. 1999. T. 227. S. 223-236.
4. Nikol'skii S.M. Eshche o kraevoi zadache s mnogochlenami // Tr. Matematicheskogo in-ta im. V.A. Steklova. 2001. T. 232. S. 286-288.
5. Karachik V.V. Postroenie polinomial'nykh reshenii zadachi Dirikhle dlya poligarmonicheskogo uravneniya v share // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2014. T. 54. № 7. S. 1149-1170. DOI: 10.7868/S0044466914070072
6. Volkov E.A. Kriterii razreshimosti kraevykh zadach dlya uravnenii Laplasa i Puassona na spetsial'nykh treugol'nikakh i pryamougol'nike v algebraicheskikh mnogochlenakh // Tr. Matematicheskogo in-ta im. V.A.Steklova. 1999. T. 227. S. 122-136.
7. Volkov E.A. O razreshimosti v klasse mnogochlenov zadachi Dirikhle dlya uravneniya Laplasa na proizvol'nom mnogougol'nike // Tr. Matematicheskogo in-ta im. V.A.Steklova. 2001. T. 232. S. 102-114.
8. Algazin O.D., Kopaev A.V. Reshenie smeshannoi kraevoi zadachi dlya uravneniya Laplasa v mnogomernom beskonechnom sloe // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki. 2015. № 1. S. 3-13. DOI: 10.18698/1812-3368-2015-1-3-13
9. Algazin O.D., Kopaev A.V. Reshenie zadachi Dirikhle dlya uravneniya Puassona v mnogomernom beskonechnom sloe // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E.Baumana. Elektron. zhurn. 2015. № 4. S. 41-53. DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943
10. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike. 2-e izd. M.: Nauka, 1979. 318 s.
11. Polyanin A.D. Spravochnik po lineinym uravneniyam matematicheskoi fiziki. M.: Fizmatlit, 2001. 575 s.
12. Widder D.V. Functions harmonic in a strip // Proc. of the Amer. Mathematical Soc. 1961. Vol. 12. No. 1. Pp. 67-72. DOI: 10.2307/2034126
13. , Brawn F.T. The Green and Poisson kernels for the strip R^n×]0,1[ // J. of the London Mathematical Soc. 1970. Vol. 2. Iss. Pt. 3. Pp. 439-454. DOI: 10.1112/jlms/2.Part_3.439
14. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady. Elementarnye funktsii. M.: Nauka, 1981. 798 s.
