В данной работе рассмотрены особенности применения конечно-элементной технологии для решения задач теории упругости с односторонними связями. Тематика данного исследования с одной стороны определяется тем, что многие ответственные детали и узлы машиностроительных и энергомашиностроительных конструкций имеют выраженный контакт в пределах некоторой заданной поверхности. Для оценки прочности и ресурса таких деталей и узлов необходимо располагать надежной информацией о напряженно-деформированном состоянии. Данные о напряженно-деформированном состоянии можно получить, используя современный аппарат математического моделирования, например, конечно-элементную технологию.

Для решения задач теории упругости с односторонними связями можно использовать метод конечных элементов в традиционном классическом виде, но при этом необходимо учитывать некоторые его недостатки. Наиболее существенным является разрывная аппроксимация напряжений и деформации, а также заметно более низкий порядок сходимости аппроксимации для напряжений и деформации по сравнению с перемещениями. Повышение точности путем увеличения густоты конечно-элементной модели и/или перехода к более сложным аппроксимациям не всегда бывает оптимальным, поскольку увеличение размерности дискретной задачи приводит к значительным вычислительным затратам и использованию дорогостоящих вычислительных средств.

Одним из альтернативных вариантов при численном анализе контактных задач теории упругости является применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов, в которых напряжения и/или деформации входят в разрешающие уравнения наряду с перемещениями как равноправные неизвестные. Основным положительным обстоятельством при использовании смешанных формулировок метода конечных элементов является уменьшение погрешности аппроксимации напряжений и деформации, что и приводит к более точной оценке напряженно-деформированного состояния по сравнению с классическим подходом метода конечных элементов в форме метода перемещений. Кроме того, смешанные схемы метода конечных элементов позволяют обеспечить непрерывность аппроксимации не только перемещений, но и напряжений и деформации. Смешанные схемы решения краевых задач приводят к седловым задачам. Для их решения применяют различные итерационные методы. Одним из наиболее эффективных является модифицированный метод SSOR (метод MSSOR), в основе которого лежит метод последовательной верхней релаксации (SOR – Successive Over Relaxation).

В данной работе рассматривается один из вариантов метода конечных элементов в рамках смешанной схемы, основанной на применении функционала Рейсснера. Процедуры предложенного в работе алгоритма использованы для решения задачи о контактном взаимодействии, когда нагруженное внешними силами упругое тело конечных размеров опирается на абсолютно жесткое полупространство. Контакт происходит по выделенной контактной поверхности, которая в общем случае может менять свои размеры в процессе термомеханического нагружения. Алгоритм реализован в виде комплекса прикладных программ.  Выполненные численные исследования одностороннего контактного взаимодействия упругой пластинки и абсолютно жесткого полупространства показали достаточно высокую эффективность разработанного алгоритма и, реализующего его, программного кода.

The paper deals with the application features of the finite element technologies to solve the problems of elasticity with one-sided constraints. On the one hand, the area of this study is determined by the fact that many critical parts and assemblies of mechanical and power engineering constructions have a significant contact within some given surface. To assess the strength and the life of these parts and assemblies, reliable stress-strain state data are demandable. Data on the stress-strain state can be obtained using the contemporary mathematical modeling means, e.g., finite element technology.

To solve the problems of the theory of elasticity with one-sided constraints, a method of finite elements in a traditional classical form can be used, but it is necessary to consider some of its shortcomings. The most significant one is an approximation of the tensile stress and strain, as well as a considerably lower order of convergence of the approximation for stresses and strains as compared to displacements. Improving the accuracy through increasing a density of the finite element models and/or the transition to more complex approximations is not always optimal, because increasing a dimension of the discrete problem leads to a significant computational cost and demand for expensive computing resources.

One of the alternatives in numerical analysis of contact problems of the elasticity theory is to use the mixed variational formulations of the finite element method in which stresses and/or strains appear in the resolving equations along with displacements as equal unknown. A major positive factor when using the mixed formulations of the finite element method is reduction of the approximation error of stress and strain, which leads to a more accurate assessment of the stress-strain state in comparison with the classical approach of the finite element method in the form of the method of displacements.

Besides, mixed schemes of the finite element method enable us to ensure continuous approximation of not only displacements, but also stresses and strains. Mixed schemes to solve the boundary value problems lead to the saddle-point problems. Their solutions use various iterative techniques. One of the most effective techniques is a modified SSOR (MSSOR) method, based on the SOR (Successive Over Relaxation) one.

The paper considers one of the options of the finite element method in the framework of mixed scheme that uses a Reissner functional. The procedures of the algorithm proposed in the paper are used to solve the problem of contact interaction when an elastic body of the finite dimensions, being under a load of the external forces, relies on the absolutely rigid half-space. The contact occurs with the distinguished contact surface, which in the general case can change its size during thermo-mechanical loading. The algorithm is implemented as an application software complex. The numerical study of the one-sided contact interaction between the elastic plate and the perfectly rigid half-space has shown a fairly high efficiency of the developed algorithm and the code that implements it.