Математика и математическое моделирование. 2017; : 1-24
О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями
https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000063Аннотация
В произвольной области многомерного пространства рассматривается произвольный периодический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений. Возмущениями являются произвольные локализованные операторы. Разбегающиеся возмущения вводятся с помощью операторов сдвига, возмущающих операторов и некоторых весовых функций, удовлетворяющих некоторому набору условий.
Целью работы является изучение спектра возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых расположены возмущений.
Подобная постановка задачи является достаточно общей и ранее не исследованной. Во всех предыдущих работах рассматривались лишь спектральные свойства дифференциальных операторов с разбегающимися возмущениями.
К основным результатам работы относят следующие:
- инвариантность существенного спектра возмущённого оператора относительно возмущений.
- существование простого и изолированного собственного значения возмущённого оператора, сходящегося к простому и изолированному собственному значению предельного оператора.
- полные асимптотические ряды для возмущённого собственного значения и возмущённой собственной функции.
- доказательство равномерной сходимости данных рядов и вывод явных формул для их коэффициентов.
Методика, с помощью которой были получены результаты работы, заключается в сведении уравнения на собственные значения к регулярно возмущённому операторному уравнению в специальном гильбертовом пространстве. Малость возмущения удалось описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера, позволяет свести задачу к анализу некоторого операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции.
Список литературы
1. Borisov D. Asymtotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. № 2. Pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
2. Borisov D., Exner P. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // J. of Physics A: Mathematical and General. 2004. Vol. 37. No. 10. Pp. 3411-3428. DOI: 10.1088/0305-4470/37/10/007
3. Borisov D. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. № 7. Pp.1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
4. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. № 3. Pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725
5. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. № 3. Pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711
6. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The multiple well problem: asymptotic behavior of the eigenvalues and resonances // Trends and developments in the Eighties. Singapore: World Scientific, 1985. Pp. 244-272.
7. Tamura H. Existence of bound states for double well potentials and the Efimov effect // Functional-analytic methods for partial differential equations. B.; N.Y.: Springer, 1990. Pp. 173-186. DOI: 10.1007/BFb0084905
8. Aktosun T., Klaus M., Van der Mee C. On the number of bound states for the one-dimensional Schrödinger equation // J. of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39. № 9. Pp. 4249-4256. DOI: 10.1063/1.532510
9. Morgan J. D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. № 6. Pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
10. Graffi S., Harrell E.M.II, Grecchi V., Silverstone H.J. The 1/R expansion for H_2^+: analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. № 2. Pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
11. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R- expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. № 1. Pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020
12. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.
13. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1979. Vol. 30. № 2. Pp. 83-87.
14. Pinchover Y. On the localization of binding for Schrödinger operators and its extension to elliptic operators // J. d’Analyse Mathematique. 1995. Vol. 66. No. 1. Pp. 57-83. DOI: 10.1007/BF02788818
15. Harrell E.M., Klaus M. On the double-well problem for Dirac operators // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1983. Vol. 38. № 2. Pp. 153-166.
16. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Symmetry in nonlinear mathematical physics: 4th Intern. Conf. (Kyiv, Ukraine, July 9-15): Proc. Pt. 2. Kyiv, 2002. Pp. 672-675.
17. Kondej S., Veseliĉ I. Lower bounds on the lowest spectral gap of singular potential Hamiltonians // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. № 1. Pp. 109-134. DOI: 10.1007/s00023-006-0302-8
18. Головина А.М. Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор) // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 2. С. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
19. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. № 3. Pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
20. Головина А.М. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25. № 5. С. 32-60.
21. Головина А.М. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448. № 3. С. 258-260. DOI: 10.7868/S0869565213030043
22. Golovina А.М. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. № 2. Pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045
23. Головина А.М. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 3. С. 464-466. DOI: 10.4213/mzm9318
24. Головина А.М. Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями: дис. … канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2013. 116 с.
25. Головина А.М. Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2013. 18 с.
26. Борисов Д.И., Головина А.М. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 65-73.
27. Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 4. С. 3-32. DOI: 10.4213/sm1545
28. Гадыльшин Р.Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теоретическая и математическая физика. 2002. Т. 132. № 1. С. 97-104. DOI: 10.4213/tmf349
29. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с. [Kato T. Perturbation theory for linear operators. B.; N.Y.: Springer, 1966. 592 p.].
30. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1-2. 2-е изд. М.: Наука, 1967-1968.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 1-24
On the Spectrum of Periodic Operators with Distant Perturbations
https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000063Abstract
We consider an arbitrary periodic operator with a finite number of distant perturbations in an arbitrary domain of a multidimensional space. The perturbations are arbitrary localized operators. We introduce distant perturbations through shift operators, perturbing operators, and certain weight functions that satisfy a set of the certain conditions.
The main aim of the paper is to study the spectrum of a perturbed operator when the distances between domains in which perturbations are located tend to infinity. The formulation of theses problem is quite general and has not been investigated before. Inprevious papers only the spectral properties of differential operators with distant perturbations were considered.
The main results are as follows:
- invariance of the essential spectrum of the perturbed operator with regard to distant perturbations;
- the existence of a simple and isolated eigenvalue of a perturbed operator that converges to a simple and isolated eigenvalue of the limit operator.
- complete asymptotic series for the perturbed eigenvalue and the perturbed eigenfunction.
- proof of uniform convergence of these series and derivation of explicit formulas for their coefficients.
The technique used to obtain the results is to reduce the eigenvalue equation to a regularly perturbed operator equation in a special Hilbert space. The perturbation smallness was described by two small characteristic parameters. The adapted version of the Birman-Schwinger method then applied allows us to reduce the problem to the analysis of an operator equation and to search of some holomorphic function zeros.
References
1. Borisov D. Asymtotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. № 2. Pp. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
2. Borisov D., Exner P. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // J. of Physics A: Mathematical and General. 2004. Vol. 37. No. 10. Pp. 3411-3428. DOI: 10.1088/0305-4470/37/10/007
3. Borisov D. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. № 7. Pp.1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
4. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. № 3. Pp. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725
5. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. № 3. Pp. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711
6. Hoegh-Krohn R., Mebknout M. The multiple well problem: asymptotic behavior of the eigenvalues and resonances // Trends and developments in the Eighties. Singapore: World Scientific, 1985. Pp. 244-272.
7. Tamura H. Existence of bound states for double well potentials and the Efimov effect // Functional-analytic methods for partial differential equations. B.; N.Y.: Springer, 1990. Pp. 173-186. DOI: 10.1007/BFb0084905
8. Aktosun T., Klaus M., Van der Mee C. On the number of bound states for the one-dimensional Schrödinger equation // J. of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39. № 9. Pp. 4249-4256. DOI: 10.1063/1.532510
9. Morgan J. D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. № 6. Pp. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
10. Graffi S., Harrell E.M.II, Grecchi V., Silverstone H.J. The 1/R expansion for H_2^+: analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. № 2. Pp. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
11. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R- expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. № 1. Pp. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020
12. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.
13. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1979. Vol. 30. № 2. Pp. 83-87.
14. Pinchover Y. On the localization of binding for Schrödinger operators and its extension to elliptic operators // J. d’Analyse Mathematique. 1995. Vol. 66. No. 1. Pp. 57-83. DOI: 10.1007/BF02788818
15. Harrell E.M., Klaus M. On the double-well problem for Dirac operators // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A: Physique Theorique. 1983. Vol. 38. № 2. Pp. 153-166.
16. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Symmetry in nonlinear mathematical physics: 4th Intern. Conf. (Kyiv, Ukraine, July 9-15): Proc. Pt. 2. Kyiv, 2002. Pp. 672-675.
17. Kondej S., Veseliĉ I. Lower bounds on the lowest spectral gap of singular potential Hamiltonians // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. № 1. Pp. 109-134. DOI: 10.1007/s00023-006-0302-8
18. Golovina A.M. Issledovaniya spektral'nykh svoistv operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami (obzor) // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2015. № 2. S. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
19. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. № 3. Pp. 342-364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
20. Golovina A.M. O spektre periodicheskikh ellipticheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami v prostranstve // Algebra i analiz. 2013. T. 25. № 5. S. 32-60.
21. Golovina A.M. O diskretnom spektre vozmushchennogo periodicheskogo differentsial'nogo operatora // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 448. № 3. S. 258-260. DOI: 10.7868/S0869565213030043
22. Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. № 2. Pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045
23. Golovina A.M. Rezol'venty operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Matematicheskie zametki. 2012. T. 91. Vyp. 3. S. 464-466. DOI: 10.4213/mzm9318
24. Golovina A.M. Rezol'venty i spektry periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami: dis. … kand. fiz.-mat. nauk. Ufa, 2013. 116 s.
25. Golovina A.M. Rezol'venty i spektry periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami: avtoref. dis. … kand. fiz.-mat. nauk. Ufa, 2013. 18 s.
26. Borisov D.I., Golovina A.M. O rezol'ventakh periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2012. T. 4. № 2. S. 65-73.
27. Borisov D.I. Diskretnyi spektr pary nesimmetrichnykh volnovodov, soedinennykh oknom // Matematicheskii sbornik. 2006. T. 197. № 4. S. 3-32. DOI: 10.4213/sm1545
28. Gadyl'shin R.R. O lokal'nykh vozmushcheniyakh operatora Shredingera na osi // Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika. 2002. T. 132. № 1. S. 97-104. DOI: 10.4213/tmf349
29. Kato T. Teoriya vozmushchenii lineinykh operatorov. M.: Mir, 1972. 740 s. [Kato T. Perturbation theory for linear operators. B.; N.Y.: Springer, 1966. 592 p.].
30. Markushevich A.I. Teoriya analiticheskikh funktsii. T. 1-2. 2-e izd. M.: Nauka, 1967-1968.
