В статье рассмотрена смешанная начально- краевая задача для уравнения параболического типа с неоднородными граничными  условиями.  Классические методы поиска аналитического решения таких задач на первом этапе предусматривают замену переменной, приводящую к задаче с однородными краевыми условиями. В справочной литературе ([1]) приведены, как правило, простейшие виды замены переменной, при которых новая и старая неизвестные функции различаются на линейное по пространственной переменной слагаемое.  Вид этого добавочного слагаемого  зависит от типа краевых условий, но никак не связан с рассматриваемым уравнением. Причем в случае второй краевой задачи приходится использовать квадратичный добавок, поскольку линейная замена  для этого типа условий может не существовать. В учебной литературе ([2]- [4]) обычно ограничиваются рассмотрением только первой краевой задачи в общей постановке.

В работе рассмотрена  замена переменной, принципиально учитывающая вид линейного дифференциального оператора.  Именно, в качестве добавочного слагаемого предложено использовать параметрически зависящее от времени решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получаемого из исходного уравнения в частных производных методом разделения переменных Фурье.

Доказано существование предлагаемой замены для краевых условий любого типа на примере  нестационарного уравнения теплопроводности при наличии теплообмена с окружающей средой.  В этом случае добавочное слагаемое представляет собой линейную комбинацию гиперболических  функций. Показано, что кроме «нечувствительности» к типу краевых условий к преимуществам новой замены в сравнении с традиционной линейной (или квадратичной) заменой следует отнести значительно более простую структуру получаемого решения. Именно, описанный подход  позволяет получить решение с четко выделенной стационарной компонентой в случае, если стационарность имеет место, при значениях временной переменной, превышающей время релаксации.

Этот эффект распространяется не только на уравнения параболического типа , но также наблюдается и  в уравнениях, описывающих колебательные процессы при наличии затухания. Также показано, что в простейшем частном случае уравнения с постоянными коэффициентами  при  отсутствии теплообмена с окружающей средой предлагаемая  замена становится необходимо линейной и совпадает с классической.

Использование предложенного подхода позволит расширить спектр учебных и учебно- исследовательских задач в процессе изучения курса «Уравнения математической физики» и руководстве курсовой работой студентов различных инженерных специальностей.

The paper considers a mixed initial-boundary value problem for a parabolic equation with nonhomogeneous boundary conditions. The classical approach to search for analytical solution of such problems in the first phase involves variable substitution, leading to a problem with homogeneous boundary conditions. Reference materials [1] give, as a rule, the simplest types of variable substitutions where new and old unknown functions differ by a term, linear in the spatial variable. The form of this additive term depends on the type of the boundary conditions, but is in no way related to the equation under consideration. Moreover, in the case of the second boundary-value problem, it is necessary to use a quadratic additive, since a linear substitution for this type of conditions may be unavailable. The courseware [2] - [4], usually, ends only with the first boundary-value problem generally formulated.

The paper considers a substitution that takes into account, in principle, the form of a linear differential operator. Namely, as an additive term, it is proposed to use the parametrically time-dependent solution of the boundary value problem for an ordinary differential equation obtained from the original partial differential equation by the method of separation of the Fourier variables.

The existence of the proposed substitution for boundary conditions of any type is proved by the example of a non-stationary heat-transfer equation with the heat exchange available with the surrounding medium. In this case, the additive term is a linear combination of hyperbolic functions. It is shown that, in addition to the "insensitivity" to the type of boundary conditions, the advantages of a new substitution in comparison with the traditional linear (or quadratic) one include a much simpler structure of the solution obtained. Just the described approach allows us to obtain a solution with a clearly distinguished stationary component, in case a stationarity occurs, for values of the time variable that exceeds relaxation time.

This effect extends not only to parabolic equations, but is also observed in equations describing oscillatory processes with damping. It is also shown that in the simplest particular case of an equation with constant coefficients without heat exchange with the surrounding medium, the proposed substitution becomes appropriately linear and coincides with the classical one.

The use of the proposed approach allows students majoring in engineering to expand a range of educational and research tasks while learning a course in partial differential equations.