Математика и математическое моделирование. 2017; : 25-38
Неклассические лапласианы Леви в стохастическом анализе
https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000060Аннотация
Лапласиан Леви и связанные с ними конструкции наиболее изучены в стохастическом исчислении Хиды (белошумном анализе). Это обусловлено тем, что естественная область определения (классического) лапласиана Леви в стохастическом анализе над мерой Винера является подпространством пространства белошумных обобщенных функционалов. Интерес же к детерминистскому лапласиану Леви обусловлен его связью с калибровочными полями. А именно, уравнения Янга-Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа-Леви для параллельного переноса (см. работу Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [10], а также работы [11,18]). В статье [19] автора был введен лапласиан Леви, определенный на Соболевском классе над мерой Винера, и рассмотрена его связь со стохастическим параллельным переносом и уравнениями Максвелла, которые являются линейным случаем уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе строится специальное пространство Хиды-Кубо-Такенаки и семейство неклассических лапласианов Леви, действующих на обобщенных белошумных функционалах. Это семейство включает в себя семейство экзотических лапласианов Леви, которое, в свою очередь, включает в себя классический лапласиан Леви. В работе показано, что один из неклассических лапласианов Леви, не являющийся при этом экзотическим, с точностью до естественного изоморфизма совпадает с лапласианом Леви, введенным в статье [19]. Кроме того, в настоящей работе доказывается формула, связывающая различные элементы семейства неклассических лапласианов Леви с помощью оператора вторичного квантования. При этом используется идея из работ [6,7]. Можно ожидать, что результаты настоящей работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса. Также можно ожидать, что результаты останутся верны для пространств Хиды-Кубо-Такенаки общего вида.
Список литературы
1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. 510 c. [Levy P. Probleme concrets d’analyse fonctionnelle. 2. ed. P.: Gauthier-Villars, 1951. 484 p.].
2. Авербух В. И., Смолянов О. Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 6. С. 201–258. DOI: 10.1070/RM1967v022n06ABEH003761
3. Accardi L., Smolyanov O.G. On Laplacians and traces // Rendiconti del Seminario Matematico dell’Universita di Bari. 1993. Vol. 250. Pp. 1–25.
4. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Классические и неклассические лапласианы Леви // Доклады Академии наук. 2007. Т. 417. № 1. C. 7-11.
5. Аккарди Л., Смолянов О. Г. Обобщенные лапласианы Леви и чезаровские средние // Доклады Академии наук. 2009. Т. 424. № 5. C. 583-587.
6. Accardi L., Ji U.C., Saito K. Eхоtiс Laplacians and derivatives of white noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2011. Vol. 14. № 1. Pp. 1-14. DOI: 10.1142/S0219025711004262
7. Accardi L., Ji U.C., Saito K. The Exotic (higher order Levy) Laplacians generate the Markov processes given by distribution derivatives of white noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16. No. 3. Pp. 1350020-1/26. DOI: 10.1142/S0219025713500203
8. Accardi L., Ji U.C., Saito K. Higher order multi-dimensional extensions of Cesaro theorem // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2015. Vol. 18. № 4. P. 1550030 [14 p.]. DOI: 10.1142/S0219025715500307
9. Volkov B.O. Hierarchy of Levy-Laplacians and quantum stochastic processes // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16. No. 4. Pp. 1350027-1/20. DOI: 10.1142/S0219025713500276
10. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian J. of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2. № 2. Pp. 235-250.
11. Leandre R., Volovich I.V. The stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4. No. 2. Pp. 161-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
12. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. B.; N.Y.: Springer, 2006. 382 p.
13. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. 352 c.
14. Obata N. White noise calculus and Fock space. B.; N.Y.: Springer, 1994. 183 p.
15. Kuo H.-H. White noise distribution theory. Boca Raton: CRC Press, 1996. 378 p.
16. Волков Б.О. Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции: дис. …канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 94 с.
17. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19. № 2. C. 241–258. DOI: 10.14498/vsgtu1372
18. Волков Б. О. Лапласианы Леви и инстантоны // Труды Математического ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2015. T. 290. C. 226–238. DOI: 10.1134/S037196851503019X
19. Волков Б.О. Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла // Математика и математическое моделирование. 2015. № 6. С. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138
Mathematics and Mathematical Modeling. 2017; : 25-38
Non-classical Levy Laplacians in the Stochastic Analysis
https://doi.org/10.24108/mathm.0217.0000060Abstract
The Levy Laplacian and the related constructions are the most studied in the Hida stochastic calculus (white noise analysis). This is due to the fact that the natural domain of the (classical) Levy Laplacian in the stochastic analysis over the Wiener measure is a subspace of the space of white noise generalized functional. The interest in the deterministic Levy Laplacian results from its connection with the gauge fields. Namely, the Yang-Mills equations for the connection are equivalent to the Levy Laplace equation for the parallel transport (see the paper [10] by Accardi, Gibilisco and Volovich and also [11,18]). The paper [19] introduces the Levy-Laplacian, defined on the Sobolev class over the Wiener measure, and considers its connection with the stochastic parallel transport and Maxwell’s equations, which are a linear case of the Yang-Mills equations. In this paper we construct a special Hida-Kubo-Takenaka space and a family of non-classical Levy Laplacians, which action is based on the generalized white noise functional. This family includes the family of exotic Levy Laplacians, which, in turn, includes the classical Levy Laplacian. We show that one of the non-classical Levy Laplacians, which is non-exotic, agrees with the Levy Laplacian, introduced in [19], up to the natural isomorphism. Moreover, using the second quantization operator we prove a formula connecting various elements of the family of non-classical Levy Laplacians. In this case, we use the idea from the papers [6, 7]. One expects that the paper results can be extended to the non-commutative case of the Yang-Mills fields. One also expects that the results remain true for the Hida-Kubo-Takenaka spaces of a general form.
References
1. Levi P. Konkretnye problemy funktsional'nogo analiza. M.: Nauka, 1967. 510 c. [Levy P. Probleme concrets d’analyse fonctionnelle. 2. ed. P.: Gauthier-Villars, 1951. 484 p.].
2. Averbukh V. I., Smolyanov O. G. Teoriya differentsirovaniya v lineinykh topologicheskikh prostranstvakh // Uspekhi matematicheskikh nauk. 1967. T. 22. № 6. S. 201–258. DOI: 10.1070/RM1967v022n06ABEH003761
3. Accardi L., Smolyanov O.G. On Laplacians and traces // Rendiconti del Seminario Matematico dell’Universita di Bari. 1993. Vol. 250. Pp. 1–25.
4. Akkardi L., Smolyanov O. G. Klassicheskie i neklassicheskie laplasiany Levi // Doklady Akademii nauk. 2007. T. 417. № 1. C. 7-11.
5. Akkardi L., Smolyanov O. G. Obobshchennye laplasiany Levi i chezarovskie srednie // Doklady Akademii nauk. 2009. T. 424. № 5. C. 583-587.
6. Accardi L., Ji U.C., Saito K. Ekhotis Laplacians and derivatives of white noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2011. Vol. 14. № 1. Pp. 1-14. DOI: 10.1142/S0219025711004262
7. Accardi L., Ji U.C., Saito K. The Exotic (higher order Levy) Laplacians generate the Markov processes given by distribution derivatives of white noise // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16. No. 3. Pp. 1350020-1/26. DOI: 10.1142/S0219025713500203
8. Accardi L., Ji U.C., Saito K. Higher order multi-dimensional extensions of Cesaro theorem // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2015. Vol. 18. № 4. P. 1550030 [14 p.]. DOI: 10.1142/S0219025715500307
9. Volkov B.O. Hierarchy of Levy-Laplacians and quantum stochastic processes // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2013. Vol. 16. No. 4. Pp. 1350027-1/20. DOI: 10.1142/S0219025713500276
10. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian J. of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2. № 2. Pp. 235-250.
11. Leandre R., Volovich I.V. The stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4. No. 2. Pp. 161-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
12. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. B.; N.Y.: Springer, 2006. 382 p.
13. Bogachev V.I. Gaussovskie mery. M.: Nauka, 1997. 352 c.
14. Obata N. White noise calculus and Fock space. B.; N.Y.: Springer, 1994. 183 p.
15. Kuo H.-H. White noise distribution theory. Boca Raton: CRC Press, 1996. 378 p.
16. Volkov B.O. Laplasiany Levi i svyazannye s nimi konstruktsii: dis. …kand. fiz.-mat. nauk. M., 2014. 94 s.
17. Volkov B.O. Dalambertiany Levi i ikh primenenie v kvantovoi teorii // Vestnik Samarskogo gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2015. T. 19. № 2. C. 241–258. DOI: 10.14498/vsgtu1372
18. Volkov B. O. Laplasiany Levi i instantony // Trudy Matematicheskogo in-ta im. V.A. Steklova RAN. 2015. T. 290. C. 226–238. DOI: 10.1134/S037196851503019X
19. Volkov B.O. Stokhasticheskie laplasian i dalambertian Levi i uravneniya Maksvella // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 2015. № 6. S. 1-16. DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138
