Математика и математическое моделирование. 2016; : 15-29
О соотношениях в универсальных лиевски нильпотентных ассоциативных алгебрах класса 3
https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855437Аннотация
Пусть R – ассоциативное коммутативное кольцо с единицей; пусть A – ассоциативная R-алгебра с единицей. Для произвольных элементов di(i = 1, … , n) алгебры A определим левонормированный коммутатор [d1, d2, … , dn] рекурсивно, полагая [d1, d2] = d1 d2 – d2 d1, [d1, … , d(n-1), dn] = [[d1, … , d(n-1)], dn] (n > 2). Для любого n > 1 обозначим через T(n) (A) двусторонний идеал в A, порожденный всеми коммутаторами [d1, d2, … , dn] для всевозможных di из A. Напомним, что алгебра A называется лиевски нильпотентной класса не выше (n-1), если T(n) (A) = 0.
Пусть теперь A = R < X > - свободная ассоциативная R-алгебра с единицей с непустым множеством X свободных порождающих. Пусть T(n) = T(n) (A). Факторалгебра A / T(n) является универсальной (или, в другой терминологии, относительно свободной) лиевски нильпотентной класса (n-1) ассоциативной R-алгеброй с единицей, порожденной множеством X. Такие универсальные алгебры и алгебры, близкие к ним, активно изучаются последние 10 лет. Для их исследования важное значение имеет информация о соотношениях между порождающими этих универсальных алгебр.
Пусть Z – кольцо целых чисел. Периодическая часть аддитивной группы Z< X > / T(4) была явно описана в [4]. Это описание опирается на следующий результат:
Пусть R – произвольное ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей. Тогда T(4) порождается, как двусторонний идеал в A, многочленами
(1) [Y1, Y2, Y3, Y4] ,
(2) [Y1, Y2, Y3] [Y4, Y5, Y6] ,
(3) [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y5] [Y3, Y4, Y2] ,
(4) [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y4] [Y3, Y2, Y5] ,
(5) ([Y1, Y2] [Y3, Y4] + [Y1, Y3] [Y2, Y4]) [Y5, Y6] ,
где для всех i элементы Yi лежат в X.
Пусть I – двусторонний идеал в A, порожденный всеми многочленами (1) – (5). В [4] было доказано, что I = T(4), то есть
i) I содержится в T(4);
ii) T(4) содержится в I.
Доказательство пункта ii) в [4] проводится довольно сложной совместной индукцией по степени некоммутативных многочленов из пяти определенных семейств. Цель данной статьи – дать новое доказательство пункта ii), более простое, чем в [4]. Наше доказательство проводится путем непосредственных вычислений с использованием ряда упрощений и не требует индукции. Более точно, доказано, что идеал T(4) порождается (как двусторонний идеал в A) коммутаторами вида [a, Y1, b, Y2], где Y1, Y2 - элементы из X и a, b – произведения элементов из X. После этого проверяется, что коммутаторы такого вида лежат в I, а потому T(4) содержится в I.
Список литературы
1. Jennings S.A. On rings whose associated Lie rings are nilpotent // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. P. 593–597. DOI: 10.1090/S0002-9904-1947-08844-3
2. Levin F., Sehgal, S. On Lie nilpotent group rings // Journal of Pure and Applied Algebra. 1985. Vol. 37. P. 33–39. DOI: 10.1016/0022-4049(85)90085-4
3. Красильников А.Н. О полугрупповой и лиевской нильпотентности ассоциативных алгебр // Математические заметки. 1997. Т. 62, № 4. С. 510–519. DOI: 10.4213/mzm1634
4. Deryabina G., Krasilnikov A. The torsion subgroup of the additive group of a Lie nilpotent associative ring of class 3 // Journal of Algebra. 2015. Vol. 428. P. 230–255. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2015.01.009
5. Kanel-Belov A., Karasik Ya., Rowen L.H. Computational Aspects of Polynomial Identities. Vol. 1. Kemer's Theorems. Boca Raton-London-New York: CRC Press, 2016, 408 p.
6. Гришин А.В., Пчелинцев С.В. О центрах относительно свободных ассоциативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности // Математический сборник. 2015. Т. 206, № 11. С. 113–130. DOI: 10.4213/sm8474
7. Киреева Е.А. О квантовой лиевской нильпотентности ступени 2 // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. жур. 2016. № 3. С. 10–17. DOI: 10.7463/mathm.0316.0846913
8. Feigin B., Shoikhet B. On [A, A]/[A, A, A] and on a Wn-action on the consecutive commutators of free associative algebras // Mathematical Research Letters. 2007. Vol. 14, no. 5. P. 781–795. DOI: 10.4310/MRL.2007.v14.n5.a7
9. Abughazalah N., Etingof P. On properties of the lower central series of associative algebras // Journal of Algebra and its Applications. 2016. Vol. 15, iss. 10. Art. no. 1650187 (24 pages). DOI: 10.1142/S0219498816501875
10. Bhupatiraju S., Etingof P., Jordan D., Kuszmaul W., Li J. Lower central series of a free associative algebra over the integers and finite fields // Journal of Algebra. 2012. Vol. 372. P. 251–274. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2012.07.052
11. Jordan D., Orem H. An algebro-geometric construction of lower central series of associative algebras // International Mathematics Research Notices. 2015. Vol. 2015. №. 15. P. 6330–6352. DOI: 10.1093/imrn/rnu125
12. Deryabina G., Krasilnikov A. Products of commutators in a Lie nilpotent associative algebra // Journal of Algebra. 2017. Vol. 469. P. 84–95. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2016.08.031
13. Латышев В.Н. О выборе базы в одном T-идеале // Сибирский математический журнал. 1963. Т. 4, № 5. С. 1122–1127.
14. Gupta C.K., Krasil'nikov A.N. A solution of a problem of Plotkin and Vovsi and an application to varieties of groups // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). 1999. Vol. 67, iss. 3. P. 329–355. DOI: 10.1017/S1446788700002056
15. Giambruno A., Koshlukov P. On the identities of the Grassmann algebra in characteristic p>0 // Israel Journal of Mathematics. 2001. Vol. 122, iss. 1. P. 305–316. DOI: 10.1007/BF02809905
16. Воличенко И.Б. Т-идеал, порожденный элементом [X1, X2, X3, X4] // Минск: Ин-т матем. АН БССР, 1978. 13 с. (Препринт № 22).
17. Гордиенко А.С. Коразмерности коммутатора длины 4 // Успехи математических наук. 2007. Т. 62, вып. 1. С. 191–192. DOI: 10.4213/rm5696
18. Etingof P., Kim J., Ma X. On universal Lie nilpotent associative algebras // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 697–703. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2008.09.042
19. Krasilnikov A. The additive group of a Lie nilpotent associative ring // Journal of Algebra. 2013. Vol. 392. P.10–22. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2013.06.021
20. da Costa E.A., Krasilnikov A. Relations in universal Lie nilpotent associative algebras of class 4 // arXiv:1306.4294 [math.RA].
Mathematics and Mathematical Modeling. 2016; : 15-29
On Relations in the Universal Lie Nilpotent Associative Algebras of Class 3
https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855437Abstract
Let R be a unital associative and commutative ring and let A be a unital associative R-algebra. For arbitrary elements di(i = 1, … , n) of A, define a left-normed commutator [d1, d2, … , dn] recursively, supposing that [d1, d2] = d1 d2 – d2 d1, [d1, … , d(n-1), dn] = [[d1, … , d(n-1)], dn] (n > 2). For any n > 1, let T(n) (A) denote the two-sided ideal in A generated by all commutators [d1, d2, … , dn] for all di in A. Recall that an algebra A is called Lie nilpotent of class at most (n-1) if T(n) (A) = 0.
Now let A = R < X > be the free unital associative R-algebra on a non-empty set X of free generators and let T(n) = T(n) (A). The quotient algebra A / T(n) is the universal (or, in another terminology, the relatively free) unital associative R-algebra of Lie nilpotent of class (n-1) generated by a set X. Such universal algebras and their similar algebras have been intensively studying during the last decade. For their study, information about the relationships between generators of these universal algebras is of importance.
Let Z be the ring of integers. The torsion part of the additive group of Z< X > / T(4) has been explicitly described in [4]. This description is based on the following result:
Let R be an arbitrary unital associative and commutative ring. Then T(4) is generated as a two-sided ideal in A by the polynomials
(1) [Y1, Y2, Y3, Y4] ,
(2) [Y1, Y2, Y3] [Y4, Y5, Y6] ,
(3) [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y5] [Y3, Y4, Y2] ,
(4) [Y1, Y2] [Y3, Y4, Y5] + [Y1, Y4] [Y3, Y2, Y5] ,
(5) ([Y1, Y2] [Y3, Y4] + [Y1, Y3] [Y2, Y4]) [Y5, Y6]
where, for all i, Yi belongs to X.
Let I be the two-sided ideal in A generated by all polynomials (1) – (5). It has been proved in [4] that I = T(4), that is,
i) I is contained in T(4);
ii) T(4) is contained in I.
The proof of the item ii) in [4] is based on a relatively sophisticated simultaneous induction according to degree of non-commutative polynomials that belong to five certain families. The aim of the present article is to give a new proof of ii) that is simpler than that of given in [4]. In our proof we make use of various simplifications and straightforward calculations and do not use induction. More precisely, we prove that the ideal T(4) is generated (as a two-sided ideal in A) by the commutators of the form [a, Y1, b, Y2] where Y1, Y2 are elements of X and a, b are products of elements of X. Then we check that the commutators of such a form belong to I, therefore T(4) is contained in I.
References
1. Jennings S.A. On rings whose associated Lie rings are nilpotent // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. P. 593–597. DOI: 10.1090/S0002-9904-1947-08844-3
2. Levin F., Sehgal, S. On Lie nilpotent group rings // Journal of Pure and Applied Algebra. 1985. Vol. 37. P. 33–39. DOI: 10.1016/0022-4049(85)90085-4
3. Krasil'nikov A.N. O polugruppovoi i lievskoi nil'potentnosti assotsiativnykh algebr // Matematicheskie zametki. 1997. T. 62, № 4. S. 510–519. DOI: 10.4213/mzm1634
4. Deryabina G., Krasilnikov A. The torsion subgroup of the additive group of a Lie nilpotent associative ring of class 3 // Journal of Algebra. 2015. Vol. 428. P. 230–255. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2015.01.009
5. Kanel-Belov A., Karasik Ya., Rowen L.H. Computational Aspects of Polynomial Identities. Vol. 1. Kemer's Theorems. Boca Raton-London-New York: CRC Press, 2016, 408 p.
6. Grishin A.V., Pchelintsev S.V. O tsentrakh otnositel'no svobodnykh assotsiativnykh algebr s tozhdestvom lievoi nil'potentnosti // Matematicheskii sbornik. 2015. T. 206, № 11. S. 113–130. DOI: 10.4213/sm8474
7. Kireeva E.A. O kvantovoi lievskoi nil'potentnosti stupeni 2 // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhur. 2016. № 3. S. 10–17. DOI: 10.7463/mathm.0316.0846913
8. Feigin B., Shoikhet B. On [A, A]/[A, A, A] and on a Wn-action on the consecutive commutators of free associative algebras // Mathematical Research Letters. 2007. Vol. 14, no. 5. P. 781–795. DOI: 10.4310/MRL.2007.v14.n5.a7
9. Abughazalah N., Etingof P. On properties of the lower central series of associative algebras // Journal of Algebra and its Applications. 2016. Vol. 15, iss. 10. Art. no. 1650187 (24 pages). DOI: 10.1142/S0219498816501875
10. Bhupatiraju S., Etingof P., Jordan D., Kuszmaul W., Li J. Lower central series of a free associative algebra over the integers and finite fields // Journal of Algebra. 2012. Vol. 372. P. 251–274. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2012.07.052
11. Jordan D., Orem H. An algebro-geometric construction of lower central series of associative algebras // International Mathematics Research Notices. 2015. Vol. 2015. №. 15. P. 6330–6352. DOI: 10.1093/imrn/rnu125
12. Deryabina G., Krasilnikov A. Products of commutators in a Lie nilpotent associative algebra // Journal of Algebra. 2017. Vol. 469. P. 84–95. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2016.08.031
13. Latyshev V.N. O vybore bazy v odnom T-ideale // Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1963. T. 4, № 5. S. 1122–1127.
14. Gupta C.K., Krasil'nikov A.N. A solution of a problem of Plotkin and Vovsi and an application to varieties of groups // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). 1999. Vol. 67, iss. 3. P. 329–355. DOI: 10.1017/S1446788700002056
15. Giambruno A., Koshlukov P. On the identities of the Grassmann algebra in characteristic p>0 // Israel Journal of Mathematics. 2001. Vol. 122, iss. 1. P. 305–316. DOI: 10.1007/BF02809905
16. Volichenko I.B. T-ideal, porozhdennyi elementom [X1, X2, X3, X4] // Minsk: In-t matem. AN BSSR, 1978. 13 s. (Preprint № 22).
17. Gordienko A.S. Korazmernosti kommutatora dliny 4 // Uspekhi matematicheskikh nauk. 2007. T. 62, vyp. 1. S. 191–192. DOI: 10.4213/rm5696
18. Etingof P., Kim J., Ma X. On universal Lie nilpotent associative algebras // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321. P. 697–703. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2008.09.042
19. Krasilnikov A. The additive group of a Lie nilpotent associative ring // Journal of Algebra. 2013. Vol. 392. P.10–22. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2013.06.021
20. da Costa E.A., Krasilnikov A. Relations in universal Lie nilpotent associative algebras of class 4 // arXiv:1306.4294 [math.RA].
