Математика и математическое моделирование. 2016; : 1-14
Лапласиан Леви на четырехмерном римановом многообразии
https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855417Аннотация
Известно, что уравнения Янга-Миллса для связности эквивалентны уравнению Лапласа-Леви для параллельного переноса, соответствующего этой связности (см. работу Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Воловича [4]). Уравнение Лапласа-Леви – это уравнение Лапласа для Лапласиана Леви, который можно определить как среднее Чезаро вторых производных вдоль векторов из ортонормированного базиса некоторого гильбертова пространства. В работе автора [11] для случая четырехмерного евклидова пространства было доказано, что при определенном выборе ортонормированного базиса, уравнение Лапласа-Леви для параллельного переноса становится эквивалентным уравнениям автодуальности для связности. Связность, являющаяся решением уравнений автодуальности, называется инстантоном и является решением уравнений Янга-Миллса. В настоящей работе мы определяем лапласиан Леви для случая четырехмерного риманова многообразия. Такой оператор является обобщением, как и лапласиана Леви, введенного автором в [11], так и лапласиана Леви, введенного Л. Аккарди и О. Г. Смоляновым в [3] для риманова многообразия. В настоящей работе рассматривается случай линейного расслоения над четырехмерным римановым многообразием и уравнений Максвелла (коммутативного случая уравнений Янга-Миллса). Мы находим условия, при которых из того, что параллельный перенос гармонический функционал для введенного лапласиана Леви, следует, что соответствующая связность является решением уравнений автодуальности. Кроме того, в работе рассматривается связь введенного лапласиана Леви и оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии. Можно ожидать, что результаты работы можно обобщить на некоммутативный случай полей Янга-Миллса.
Список литературы
1. Леви П., Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. 512 c .
2. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Операторы Лапласа–Леви в пространствах функций на оснащенных гильбертовых пространствах // Математические заметки. 2002. Т. 72, № 1, C. 145-150
3. Аккарди Л., Смолянов О.Г. Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений с лапласианом Леви на бесконечномерных многообразиях // Доклады Академии наук. 2006. T. 407, № 5, C. 1-6.
4. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian Journal of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2, № 2, Pp. 235-250
5. Driver B. Classifications of Bundle Connection Pairs by Parallel Translation and Lassos // Journal of functional analysis. 1989. Vol. 83, P. 185-231. DOI: 10.1016/0022-1236(89)90035-9
6. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, № 2, P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
7. Feller M.N. The Levy Laplacian. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005, 160 p. (Ser. Cambridge Tracts in Math.; vol. 166).
8. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4. Art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025712500270
9. Волков Б.О. Лапласианы Леви и связанные с ними конструкции: дис. канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 94 с.
10. Волков Б.О. Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2015. Т. 19, № 2, C. 241–258. DOI: 10.14498/vsgtu1372
11. Волков Б.О. Лапласианы Леви и инстантоны // Труды МИАН. 2015. T. 290. C. 226–238.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2016; : 1-14
Levy Laplacian on a Four-Dimensional Riemannian Manifold
https://doi.org/10.7463/mathm.0616.0855417Abstract
It is known that the Yang-Mills equations for a connection are equivalent to the Levy-Laplace equation for the parallel transport associated with this connection (see the paper [4] by L. Accardi, P. Gibilisco and I. V. Volovich). The Levy-Laplace equation is the Laplace equation for Levy Laplacian, which can be defined as the Cesaro mean of the second-order directional derivatives along the vectors from the orthonormal basis of some Hilbert space. The author’s work [11] has proved for the case of a four-dimensional Euclidean space, that with a certain choice of the orthonormal basis, the Laplace-Levy equation for a parallel transport becomes equivalent to the self-duality equations for a connection.
A connection that is a solution to the self-duality equations is called an instanton and is a solution to the Yang-Mills equations. In the paper we define the Levy Laplacian for the case of a four-dimensional Riemannian manifold. This operator is a generalization of both the Levy Laplacian, introduced by the author in [11], and the Levy Laplacian, introduced in [3] by L. Accardi and О. G. Smolyanov for a Riemannian manifold.
In the paper we consider the case of a line bundle over a four-dimensional Riemannian manifold and Maxwell's equations (the commutative case of the Yang-Mills equations). We find the conditions, which imply that from the fact that the parallel transport is a harmonic functional for the introduced Levy Laplacian follows that the appropriate connection is a solution to the self-duality equations. In addition, the paper considers the relationship of the introduced Levy Laplacian and the Laplace-Beltrami operator on a manifold. It can be expected that the results of the paper can be generalized to the non-commutative case of Yang-Mills fields.
References
1. Levi P., Konkretnye problemy funktsional'nogo analiza. M.: Nauka, 1967. 512 c .
2. Akkardi L., Smolyanov O.G. Operatory Laplasa–Levi v prostranstvakh funktsii na osnashchennykh gil'bertovykh prostranstvakh // Matematicheskie zametki. 2002. T. 72, № 1, C. 145-150
3. Akkardi L., Smolyanov O.G. Formuly Feinmana dlya evolyutsionnykh uravnenii s laplasianom Levi na beskonechnomernykh mnogoobraziyakh // Doklady Akademii nauk. 2006. T. 407, № 5, C. 1-6.
4. Accardi L., Gibilisco P., Volovich I.V. Yang-Mills gauge fields as harmonic functions for the Levy-Laplacians // Russian Journal of Mathematical Physics. 1994. Vol. 2, № 2, Pp. 235-250
5. Driver B. Classifications of Bundle Connection Pairs by Parallel Translation and Lassos // Journal of functional analysis. 1989. Vol. 83, P. 185-231. DOI: 10.1016/0022-1236(89)90035-9
6. Leandre R., Volovich I.V. The Stochastic Levy Laplacian and Yang-Mills equation on manifolds // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2001. Vol. 4, № 2, P. 151-172. DOI: 10.1142/S0219025701000449
7. Feller M.N. The Levy Laplacian. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005, 160 p. (Ser. Cambridge Tracts in Math.; vol. 166).
8. Volkov B.O. Levy-Laplacian and the Gauge Fields // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2012. Vol. 15, № 4. Art. no. 1250027. DOI: 10.1142/S0219025712500270
9. Volkov B.O. Laplasiany Levi i svyazannye s nimi konstruktsii: dis. kand. fiz.-mat. nauk. M., 2014. 94 s.
10. Volkov B.O. Dalambertiany Levi i ikh primenenie v kvantovoi teorii // Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser. fiz.-mat. nauki. 2015. T. 19, № 2, C. 241–258. DOI: 10.14498/vsgtu1372
11. Volkov B.O. Laplasiany Levi i instantony // Trudy MIAN. 2015. T. 290. C. 226–238.
