Математика и математическое моделирование. 2016; : 1-16
Простые кольцевые диаграммы и проблема степенной сопряжённости в группах с условиями C(3)-T(6)
https://doi.org/10.7463/mathm.0416.0852606Аннотация
В данной работе исследуется структура кольцевых диаграмм с периодическими метками над группами с условиями малого сокращения С(3)-Т(6). Подобные диаграммы используются для решения таких задач, как проблема сопряжённости слов, проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу, проблема степенной сопряжённости. В группах данного класса первые две проблемы решены положительно. Третья формулируется следующим образом: выяснить, существуют ли целые числа m, n, для которых степени слов v, w с показателями m, n соответственно сопряжены в группе G=(X;R).
Для решения этой задачи достаточно получить верхние оценки длин граничных меток диаграммы сопряжённости, или ограничить модули целых чисел n, m. Этому и посвящена данная работа.
Рассматривая диаграммы сопряжённости степеней слов, несократимых в некотором специальном смысле, удаётся разбить множество этих диаграмм на три класса. Работая с одним из этих классов и пользуясь периодичностью граничных меток диаграммы, удаётся доказать периодичность слоёв этой диаграммы, а в дальнейшем и ограничить длины границ. В другом классе достаточным оказывается ограничение длин граничных меток, поскольку диаграммы в этом классе не являются n-слойными, и их граничные метки пересекаются.
Таким образом, удаётся ограничить показатели степеней сопряжённых слов, что фактически решает поставленную задачу в рассматриваемом классе групп, но при условии, что диаграмма сопряжённости принадлежит второму из упомянутых классов. Тем самым, для окончательного решения проблемы степенной сопряжённости необходимо решить её для случая диаграмм третьего типа.
Список литературы
1. Магнус Д., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. Пер. с англ. М.: Наука, 1974.
2. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Пер. с англ. М.: Мир, 1980.
3. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М: Наука, 1989.
4. Новиков П.С. Труды Математического ин-та АН СССР. 1955. т. 44. с. 1-444.
5. Безверхний Н.В. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6). // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т.5. № 1. с. 39 - 46.
6. Безверхний Н.В. Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(3)-T(6) // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 6 - 25.
7. Безверхний Н.В. Проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в группах с условиями C(3)-T(6) // Дискретная математика. 2012. т. 24. выпуск 4. с. 27 - 46.
8. Безверхний В.Н. О нормализаторах элементов в C(p)-T(q)-группах. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого. 1994. с. 4-58.
9. Безверхний В.Н., Паршикова Е.В. Решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условиями C(4)-T(4). //Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Тула: изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. 2001. с. 120 - 139.
10. Паршикова Е.В. Проблема слабой степенной сопряжённости в группах с условием C(4)-T(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого. 2001. с. 179 - 185.
11. Безверхний Н.В. О кручении о и разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6) // Деп. ВИНИТИ 1995, 2033-В95.
12. Безверхний Н.В., Чернышева О.А. Односторонние функции, основанные на проблеме дискретного логарифмирования в группах с условиями C(3)-T(6)// Наука и образование. Научное издание МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2014. N 10. 70-101.
13. Безверхний Н.В. Кольцевые диаграммы с периодическими метками и проблема степенной сопряжённости в группах с условиями C(3)-T(6)// Наука и образование. Научное издание МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2014. N 11. 238-256.
14. Безверхний Н.В. Односторонние функции и композиция проблем сопряжённости и дискретного логарифмирования в группах с условиями C(3)-T(6)// Математика и математическое моделирование. 2015. N 5. 43-63.
15. Безверхний Н.В. Теорема о площади дисковой диаграммы над C(3)-T(6)-группой// Чебышевский сборник. Изд. Тульского пед. Ун-та им. Л.Н.Толстого. 2016. В печати.
16. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Pros. of the Edinburg Math. Soc. 1992. Vol. 35. P. 1 - 39.
17. Gersten, Short. Small cancellation theory and automatic groups // 1990. Invent. math. 102. 305 - 334.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2016; : 1-16
Simple Ring Diagrams and a Problem Of Power Conjugacy in the Groups with C (3) -T (6) Conditions
https://doi.org/10.7463/mathm.0416.0852606Abstract
In this paper we investigate the structure of the ring diagrams with periodic marks in groups with small cancellation conditions C (3) T (6). These diagrams are used to solve the tasks such as the problem of conjugate words, the problem of conjugate occurrence in cyclic subgroup, and the problem of power conjugacy. In groups of this class the first two problems are solved positively. The third is formulated as follows: to find out if there are integers of m, n, for which the degree of words v, w with indicators of m, n are respectively conjugated in the group G = (X; R).
To solve this problem it is sufficient to obtain upper bounds for the lengths of boundary marks of a conjugacy diagram, or to limit the modules of the integers n, m. This is the subject of this paper.
Exploring the diagrams of conjugacy of words degrees, irreducible in a special sense, it becomes possible to break a set of these diagrams into three classes. Working with one of these classes, and using the periodicity of boundary marks of a diagram it becomes possible to prove the periodicity of the layers in this diagram, and later on also to limit the length of the borders. In another class is a sufficient to limit the lengths of the boundary marks since the diagrams in this class are not the n-layered, and their boundary marks intersect.
Thus, it becomes possible to limit the degree indicators of the conjugate words thereby, in fact, solving the formulated problem in the considered class of groups, provided that the diagram of conjugacy belongs to the second class mentioned. Hence, the final solution of the power conjugacy problem requires its solving for the case of diagrams of the third type.
References
1. Magnus D., Karras A., Soliter D. Kombinatornaya teoriya grupp. Per. s angl. M.: Nauka, 1974.
2. Lindon R., Shupp P. Kombinatornaya teoriya grupp. Per. s angl. M.: Mir, 1980.
3. Ol'shanskii A.Yu. Geometriya opredelyayushchikh sootnoshenii v gruppakh. M: Nauka, 1989.
4. Novikov P.S. Trudy Matematicheskogo in-ta AN SSSR. 1955. t. 44. s. 1-444.
5. Bezverkhnii N.V. Razreshimost' problemy vkhozhdeniya v tsiklicheskuyu podgruppu v gruppakh s usloviem C(6). // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1999. T.5. № 1. s. 39 - 46.
6. Bezverkhnii N.V. Normal'nye formy dlya elementov beskonechnogo poryadka v gruppakh s usloviyami C(3)-T(6) // Izvestiya TulGU. Estestvennye nauki. 2010. Vyp. 1. S. 6 - 25.
7. Bezverkhnii N.V. Problema sopryazhennogo vkhozhdeniya v tsiklicheskuyu podgruppu v gruppakh s usloviyami C(3)-T(6) // Diskretnaya matematika. 2012. t. 24. vypusk 4. s. 27 - 46.
8. Bezverkhnii V.N. O normalizatorakh elementov v C(p)-T(q)-gruppakh. Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp. Mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov. Izd-vo Tul. gos. ped. un-ta im. L.N.Tolstogo. 1994. s. 4-58.
9. Bezverkhnii V.N., Parshikova E.V. Reshenie problemy vkhozhdeniya v tsiklicheskuyu podgruppu v gruppakh s usloviyami C(4)-T(4). //Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp. Mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov. Tula: izd-vo TGPU im. L.N.Tolstogo. 2001. s. 120 - 139.
10. Parshikova E.V. Problema slaboi stepennoi sopryazhennosti v gruppakh s usloviem C(4)-T(4) // Algoritmicheskie problemy teorii grupp i polugrupp. Mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov. Izd-vo Tul. gos. ped. un-ta im. L.N.Tolstogo. 2001. s. 179 - 185.
11. Bezverkhnii N.V. O kruchenii o i razreshimosti problemy vkhozhdeniya v tsiklicheskuyu podgruppu v gruppakh s usloviem C(6) // Dep. VINITI 1995, 2033-V95.
12. Bezverkhnii N.V., Chernysheva O.A. Odnostoronnie funktsii, osnovannye na probleme diskretnogo logarifmirovaniya v gruppakh s usloviyami C(3)-T(6)// Nauka i obrazovanie. Nauchnoe izdanie MGTU im. N.E.Baumana. 2014. N 10. 70-101.
13. Bezverkhnii N.V. Kol'tsevye diagrammy s periodicheskimi metkami i problema stepennoi sopryazhennosti v gruppakh s usloviyami C(3)-T(6)// Nauka i obrazovanie. Nauchnoe izdanie MGTU im. N.E.Baumana. 2014. N 11. 238-256.
14. Bezverkhnii N.V. Odnostoronnie funktsii i kompozitsiya problem sopryazhennosti i diskretnogo logarifmirovaniya v gruppakh s usloviyami C(3)-T(6)// Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 2015. N 5. 43-63.
15. Bezverkhnii N.V. Teorema o ploshchadi diskovoi diagrammy nad C(3)-T(6)-gruppoi// Chebyshevskii sbornik. Izd. Tul'skogo ped. Un-ta im. L.N.Tolstogo. 2016. V pechati.
16. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Pros. of the Edinburg Math. Soc. 1992. Vol. 35. P. 1 - 39.
17. Gersten, Short. Small cancellation theory and automatic groups // 1990. Invent. math. 102. 305 - 334.
