Температурное состояние твердого тела помимо условий его теплообмена с окружающей средой может существенно зависеть от процессов тепловыделения (или теплопоглощения) в объеме тела. Среди возможных причин возникновения таких процессов следует отметить выделение энергии в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов,       протекание в материале твердого тела экзотермических или эндотермических химических реакций, сопровождаемых соответственно выделением или поглощением теплоты, переход в теплоту части электрической энергии при прохождении электрического тока через проводники (так называемая джоулева теплота) или энергии излучения, проникающего в тело из полупрозрачного материала, и т.п. Интенсивность этих процессов характеризуют объемной мощностью энерговыделенияю.

В обширной литературе по теории теплопроводности твердых тел приведены решения задач по определению стационарного (установившегося во времени) и нестационарного температурного состояния твердых тел (как правило, канонической формы), в которых действуют источники объемного энерговыделения. При этом в общем случае учитывается возможность изменения энерговыделения по объему тела, а при решении нестационарных задач и возможная зависимость этой величины от времени.

Однако в реальных условиях объемная мощность энерговыделения часто зависит и от локального значения температуры, причем такая зависимость может быть нелинейной. Например, интенсивность выделения или поглощения теплоты при химических реакциях пропорционально скорости их протекания, которая, в свою очередь, чувствительна к значению температуры, причем зависимость от температуры имеет экспоненциальный характер. Дополнительным фактором, усложняющим в таких случаях анализ температурного состояния твердого тела, является  зависимость от температуры и коэффициента теплопроводности материала этого тела, особенно в случае существенной неоднородности распределения в нем температуры. Учет влияния перечисленных факторов приводит к необходимости использовать методы математического моделирования,  позволяющие построить адекватную нелинейную математическую модель процесса теплопроводности в теле с объемным энерговыделением. Количественный анализ таких моделей требует, как правило, применения численных методов.

Вместе с тем для такой простой формы тела, какой является неограниченная пластина постоянной толщины, возможно при определенных допущениях получить в аналитическом виде решение нелинейной задачи теплопроводности, учитывающее зависимости от температуры коэффициента теплопроводности материала пластины и интенсивности энерговыделения. Такое решение позволяет выявить ряд существенных эффектов, влияющих на температурное состояние пластины, в том числе связанных с условиями существования установившегося распределения температуры, и может быть использовано для тестирования результатов, получаемых при помощи численных методов.

The temperature state of a solid body, in addition to the conditions of its heat exchange with the environment, can greatly depend on the heat release (or heat absorption) processes within the body volume. Among the possible causes of these processes should be noted such as a power release in the fuel elements of nuclear reactors, exothermic or endothermic chemical reactions in the solid body material, which respectively involve heat release or absorbtion, heat transfer of a part of the electric power in the current-carrying conductors (so-called Joule’s heat) or the energy radiation penetrating into the body of a semitransparent material, etc. The volume power release characterizes an intensity of these processes.

The extensive list of references to the theory of heat conductivity of solids offers solutions to problems to determine a stationary (steady over time) and non-stationary temperature state of the solids (as a rule, of the canonical form), which act as the sources of volume power release. Thus, in general case, a possibility for changing power release according to the body volume and in solving the nonstationary problems also a possible dependence of this value on the time are taken into consideration.

However, in real conditions the volume power release often also depends on the local temperature, and such dependence can be nonlinear. For example, with chemical reactions the intensity of heat release or absorption is in proportion to their rate, which, in turn, is sensitive to the temperature value, and a dependence on the temperature is exponential. A further factor that in such cases makes the analysis of the solid temperature state complicated, is dependence on the temperature and the thermal conductivity of this body material, especially when temperature distribution therein  is significantly non-uniform. Taking into account the influence of these factors requires the mathematical modeling methods, which allow us to build an adequate nonlinear mathematical model of the heat conductivity process in the volume power release body. Quantitative analysis of these models requires using the numerical methods, as a rule.

At the same time, such a simple body, which is an unlimited plate of the constant thickness allows us, under certain assumptions, to solve analatically a nonlinear heat conductivity problem taking into account  the thermal conductivity of the plate material and the power release intensity versus temperature.

This solution enables us to reveal a number of significant effects that have impact on the thermal state of the plate, including those related to conditions of available steady temperature distribution, and it can be used to test the results obtained by numerical methods.