Журналов:     Статей:        

Математика и математическое моделирование. 2016; : 1-8

К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости

Алгазин О. Д., Копаев А. В.

https://doi.org/10.7463/mathm.0216.0843737

Аннотация

В статье решается краевая задача с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, которое является уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газодинамике. Ограниченное решение задачи ищется в полуплоскости, состоящей из верхней полуплоскости (в которой уравнение эллиптично) и примыкающей к ней полосы (в которой уравнение гиперболично). На границе области задается наклонная производная в направлении одной из характеристик. На границе верхней полуплоскости, которая является линией изменения типа уравнения, задаются условия сопряжения четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представляется по формуле Даламбера, а в верхней полуплоскости, где уравнение эллиптично, ограниченное решение представляется интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сводится к краевой задаче Римана для голоморфных функций. Решение этой задачи получено в явном виде. Таким образом, решение задачи с наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе получено в явном виде для случая полуплоскости с точностью до постоянного слагаемого. В конце статьи приводится пример решения задачи, подтверждающий теоретические выкладки.

Список литературы

1. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1953. Т.41. С. 3-59.

2. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия вузов. Математика. 2016. № 6. С. 61-72.

3. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Vafodorova G.O. On an Integral Representation of the Neumann-Tricomi Problem for the Lavrent'ev-Bitsadze Equation // Differential Equations. 2015. Vol. 51. No. 8, pp. 1065-1071. DOI: 0.1134/S0012266115080108

4. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференциальные уравнения и динамические системы. Сборник статей // Тр. МИАН. 2012. Т. 278. С. 242-249.

5. Сабитов К.Б., Хаджи И.А. Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью // Известия вузов. Математика. 2011. № 5. С. 44-52.

6. Сербина Л.И. Решение одной начально-краевой задачи теории фильтрации с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2003. Вып. 19. С.16-21. DOI: 10.14498/vsgtu133

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2016; : 1-8

Towards the Oblique Derivative Problem for the Lavrentyev – Bitsadze Equation in the Half-Plane

Algazin O. D., Kopaev A. V.

https://doi.org/10.7463/mathm.0216.0843737

Abstract

The article solves the boundary value problem with an oblique derivative for the Lavrentyev – Bitsadze equation, which is an equation of the mixed elliptic-hyperbolic type. The mixed type equations are used in transonic gas dynamics. A restricted solution to the problem is sought in the half plane, consisting of the upper half plane (where the equation is elliptic) and adjacent band (where the equation is hyperbolic). At the boundary of the domain an oblique derivative towards one of the characteristics is specified. At the boundary of the upper half plane, which is a line of equation type alteration, the matching conditions of the fourth kind are set. In the hyperbolicity band the solution is represented by d’Alembert formula, and in the upper half plane, where the equation is elliptic, the restricted solution is represented by Poisson integral of unknown density. For unknown Poisson integral density a singular integral equation is obtained, which is reduced to the Riemann boundary value problem for holomorphic functions. The solution of this problem is obtained in an explicit form. Thus, the solution to the problem with an oblique derivative for the Lavrentyev – Bitsadze equation was obtained in an explicit form for the case of the half plane accurate to a constant summand. An example of solving the problem to prove the theoretical calculations is provided at the end of the article.

References

1. Bitsadze A.V. K probleme uravnenii smeshannogo tipa // Tr. MIAN SSSR. 1953. T.41. S. 3-59.

2. Sabitov K.B., Novikova V.A. Nelokal'naya zadacha A.A. Dezina dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze // Izvestiya vuzov. Matematika. 2016. № 6. S. 61-72.

3. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Vafodorova G.O. On an Integral Representation of the Neumann-Tricomi Problem for the Lavrent'ev-Bitsadze Equation // Differential Equations. 2015. Vol. 51. No. 8, pp. 1065-1071. DOI: 0.1134/S0012266115080108

4. Soldatov A.P. O zadachakh tipa Dirikhle dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze. Differentsial'nye uravneniya i dinamicheskie sistemy. Sbornik statei // Tr. MIAN. 2012. T. 278. S. 242-249.

5. Sabitov K.B., Khadzhi I.A. Kraevaya zadacha dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze s neizvestnoi pravoi chast'yu // Izvestiya vuzov. Matematika. 2011. № 5. S. 44-52.

6. Serbina L.I. Reshenie odnoi nachal'no-kraevoi zadachi teorii fil'tratsii s nelokal'nymi kraevymi usloviyami // Vestn. Sam. gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki. 2003. Vyp. 19. S.16-21. DOI: 10.14498/vsgtu133

7. Gakhov F.D. Kraevye zadachi. M.: Nauka. 1977. 640 s.