Достаточное условие управляемости аффинных систем с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 32-43

Достаточное условие управляемости аффинных систем с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой

Аннотация

Рассматривается проблема управляемости аффинных систем с двумерным управлением. Предполагается, что система гладкой невырожденной заменой переменных может быть преобразована к квазиканоническому виду с двумерной нулевой динамикой, определенному и регулярному на всем пространстве состояний. В этом случае управляемость исходной системы эквивалентна управляемости преобразованной системы. Для регулярной системы квазиканонического вида с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой доказано достаточное условие существования решения терминальной задачи. Получено достаточное условие управляемости для указанного класса систем. Приведен пример системы шестого порядка, управляемость которой доказывается с помощью предложенного условия.

DOI: 10.7463/mathm.0615.0823117

Список литературы

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

2. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258. № 4. С. 805-809.

3. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 c.

4. Фетисов Д.А. Исследование управляемости регулярных систем квазиканонического вида // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2006. № 3. С. 12-30.

5. Ковалев А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев. Наукова думка, 1980. 174 c.

6. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 320 c.

7. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. London: Springer-Verlag, 1995. 550 p.

8. Sun Y. Further results on global controllability of planar nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. V.55, no.8, pp. 1872-1875.

9. Крищенко А.П., Клинковский М.Г. Преобразование аффинных систем с управлением и задача стабилизации // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 11. С. 1945-1952.

10. Фетисов Д.А. Об одном методе решения терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электр. журн. 2013. №11. С. 383-400. DOI: 10.7463/1113.0622543.

11. Фетисов Д.А. Достаточное условие управляемости многомерных аффинных систем // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. №11. С. 281-293. DOI: 10.7463/1114.0737321.

12. Фетисов Д.А. Управляемость регулярных систем квазиканонического вида с двумерной нулевой динамикой и скалярным управлением // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. №10. С. 123-138. DOI: 10.7463/1012.0465329.

13. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Москва: Едиториал УРСС, 2004. 552 c.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 32-43

Sufficient Controllability Condition for Affine Systems with Two-Dimensional Control and Two-Dimensional Zero Dynamics

Fetisov D. A.

Abstract

The controllability conditions are well known if we speak about linear stationary systems: a linear stationary system is controllable if and only if the dimension of the state vector is equal to the rank of the controllability matrix. The concept of the controllability matrix is extended to affine systems, but relations between affine systems controllability and properties of this matrix are more complicated. Various controllability conditions are set for affine systems, but they deal as usual either with systems of some special form or with controllability in some small neighborhood of the concerned point. An affine system is known to be controllable if the system is equivalent to a system of a canonical form, which is defined and regular in the whole space of states. In this case, the system is said to be feedback linearizable in the space of states. However there are examples, which illustrate that a system can be controllable even if it is not feedback linearizable in any open subset in the space of states. In this article we deal with such systems.

Affine systems with two-dimensional control are considered. The system in question is assumed to be equivalent to a system of a quasicanonical form with two-dimensional zero dynamics which is defined and regular in the whole space of states. Therefore the controllability of the original system is equivalent to the controllability of the received system of a quasicanonical form. In this article the sufficient condition for an available solution of the terminal problem is proven for systems of a quasicanonical form with two-dimensional control and two-dimensional zero dynamics. The condition is valid in the case of an arbitrary time interval and arbitrary initial and finite states of the system. Therefore the controllability condition is set for systems of a quasicanonical form with two-dimensional control and two-dimensional zero dynamics. An example is given which illustrates how the proved condition can be used to prove the controllability of the six-dimensional affine system.

The obtained results can be used to solve various control problems in the dynamical systems theory.

DOI: 10.7463/mathm.0615.0823117

References

1. Kalman R., Falb P., Arbib M. Ocherki po matematicheskoi teorii sistem. M.: Mir, 1971. 400 s.

2. Zhevnin A.A., Krishchenko A.P. Upravlyaemost' nelineinykh sistem i sintez algoritmov upravleniya // Doklady AN SSSR. 1981. T. 258. № 4. S. 805-809.

3. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelineinye sistemy: geometricheskie metody analiza i sinteza. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2005. 520 c.

4. Fetisov D.A. Issledovanie upravlyaemosti regulyarnykh sistem kvazikanonicheskogo vida // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Estestvennye nauki. 2006. № 3. S. 12-30.

5. Kovalev A.M. Nelineinye zadachi upravleniya i nablyudeniya v teorii dinamicheskikh sistem. Kiev. Naukova dumka, 1980. 174 c.

6. Elkin V.I. Reduktsiya nelineinykh upravlyaemykh sistem: differentsial'no-geometricheskii podkhod. M.: Nauka, 1997. 320 c.

7. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd edition. London: Springer-Verlag, 1995. 550 p.

8. Sun Y. Further results on global controllability of planar nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. V.55, no.8, pp. 1872-1875.

9. Krishchenko A.P., Klinkovskii M.G. Preobrazovanie affinnykh sistem s upravleniem i zadacha stabilizatsii // Differentsial'nye uravneniya. 1992. T. 28. № 11. S. 1945-1952.

10. Fetisov D.A. Ob odnom metode resheniya terminal'nykh zadach dlya affinnykh sistem // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektr. zhurn. 2013. №11. S. 383-400. DOI: 10.7463/1113.0622543.

11. Fetisov D.A. Dostatochnoe uslovie upravlyaemosti mnogomernykh affinnykh sistem // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2014. №11. S. 281-293. DOI: 10.7463/1114.0737321.

12. Fetisov D.A. Upravlyaemost' regulyarnykh sistem kvazikanonicheskogo vida s dvumernoi nulevoi dinamikoi i skalyarnym upravleniem // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2012. №10. S. 123-138. DOI: 10.7463/1012.0465329.

13. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Kachestvennaya teoriya differentsial'nykh uravnenii. Moskva: Editorial URSS, 2004. 552 c.