Прогрессивное цензурирование - аналог критерия Реньи для проверки модели Кокса

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 28-42

Прогрессивное цензурирование - аналог критерия Реньи для проверки модели Кокса

Аннотация

В данной работе предлагается критерий для проверки гипотезы Кокса для двух прогрессивно цензурированных выборок. Ранее, в работе [4], в качестве статистики для проверки данной гипотезы предлагался критерий типа Колмогорова-Смирнова, основанный на сравнении оценок Каплана-Мейера функции надежности по каждой выборке. Вместе с тем применение этой статистики требует проводить испытания до отказа всех систем, что не всегда является возможным. В данной работе предлагается критерий типа Реньи, позволяющий проверять гипотезу Кокса по неполным данным, что дает возможность прекращать испытания до наступления отказов всех систем. В работе предложен метод вычисления точных распределений статистики типа Реньи, основанный на модели случайного блуждания частицы по двумерному массиву ячеек. Показана сходимость асимптотического распределения предлагаемой статистики к стандартному распределению Реньи при условии справедливости проверяемой гипотезы. Предлагается метод оценки параметра модели Кокса в случае её справедливости. В качестве оценки рассматривается значение параметра, минимизирующее предлагаемую статистику критерия.

DOI: 10.7463/mathm.0515.0816640

Список литературы

1. Bagdonavichus V., Kruopis J., Nikulin M.S. Nonparametric tests for censored data. London: ISTE Ltd, 2011. 233 p.

2. Balakrishnan N., Cramer E. The Art of Progressive Censoring. Applications to Reliability and Quality. New York: Springer, 2014. 645 p.

3. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Оценки Каплана-Мейера в статистиках типа Колмогорова-Смирнова при проверке гипотез в испытаниях с переменной нагрузкой // Электромагнитные волны и электронные системы.2010.Т.15. №7.С. 18-26.

4. Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Применение оценок Каплана-Мейера для проверки степенной гипотезы Кокса по двум прогрессивно цензурированным выборкам// Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Естественные науки» [в печати]

5. Meeker W.Q., Escobar L.A., Hong Y. Using Accelerated Life Tests Results to Predict Field Reliability // Technometrics. 2009. № 51. Pp.146-161.

6. Hajek J., Sidak Z. Theory of rank tests. London: Academic Press. 2004. 438 p.

7. Тимонин В.И., Тянникова Н.Д. Метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова в случае нарушения однородности и независимости анализируемых выборок // Наука и образование.МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон.журнал. 2014. №11.С. 217-227.DOI: http://dx.doi.org/10.7463/1114.0740251

8. Maturi T.A., Coolen-Schrijner P., Coolen F.P. Nonparametric predictive comparison of lifetime data under progressive censoring // Journal Of Statistical Planning And Inference. 2010. № 140. Pp. 515-525.

9. Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. 191 с.

10. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.

11. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: URSS, 2014. 584 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 28-42

Progressive Censoring – Testing the Cox Model with Renyi Criterion

Tiannikova N. D.

Abstract

The most common problem in the reliability theory is the problem of testing the Cox’s hypothesis. This work is devoted to solving this problem in the case of two progressively censored samples. One of the features is the use of Renyi type statistics, which allows checking the Cox model in case when tests are terminated before all products failure.

For testing, there are n1 systems of the first type, which consist of serially connected m1 elements and n2 systems of the second type, which has m2 of the same elements. Considering that the systems are connected in series, the Cox’s hypothesis is tested through non-failure operation times of systems rather than elements themselves. The sample of non-failure operation times is considered as a progressively censored sample from non-failure operation times of elements of the appropriate type. Thus, when the systems fail, the non-failure operation times of all other elements are censored.

We suggest the Renyi criterion for testing the hypothesis of proportionality. Functions of elements reliability for each of the two samples are evaluated using the Kaplan-Meier estimates.The paper shows the asymptotic convergence of the proposed distribution of statistics to the standard Renyi distribution. In view of the slow convergence to limiting distributions, a method for calculating the exact distributions of Renyi type statistics is proposed. It is designed to test the Cox’s hypothesis for two progressively censored samples. The proposed method is based on the model of a random walk on a two-dimensional array of cells, and it is described in previous papers. Tables give calculated distribution values for Renyi type statistics for a wide range of values of n1, n2.

The paper also suggests the estimate method for Cox model parameter. As an estimate, is considered the value that minimizes the proposed test statistics.

DOI: 10.7463/mathm.0515.0816640

References

1. Bagdonavichus V., Kruopis J., Nikulin M.S. Nonparametric tests for censored data. London: ISTE Ltd, 2011. 233 p.

2. Balakrishnan N., Cramer E. The Art of Progressive Censoring. Applications to Reliability and Quality. New York: Springer, 2014. 645 p.

3. Timonin V.I., Ermolaeva M.A. Otsenki Kaplana-Meiera v statistikakh tipa Kolmogorova-Smirnova pri proverke gipotez v ispytaniyakh s peremennoi nagruzkoi // Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy.2010.T.15. №7.S. 18-26.

4. Timonin V.I., Tyannikova N.D. Primenenie otsenok Kaplana-Meiera dlya proverki stepennoi gipotezy Koksa po dvum progressivno tsenzurirovannym vyborkam// Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya «Estestvennye nauki» [v pechati]

5. Meeker W.Q., Escobar L.A., Hong Y. Using Accelerated Life Tests Results to Predict Field Reliability // Technometrics. 2009. № 51. Pp.146-161.

6. Hajek J., Sidak Z. Theory of rank tests. London: Academic Press. 2004. 438 p.

7. Timonin V.I., Tyannikova N.D. Metod vychisleniya tochnykh raspredelenii statistik tipa Kolmogorova-Smirnova v sluchae narusheniya odnorodnosti i nezavisimosti analiziruemykh vyborok // Nauka i obrazovanie.MGTU im. N.E. Baumana. Elektron.zhurnal. 2014. №11.S. 217-227.DOI: http://dx.doi.org/10.7463/1114.0740251

9. Koks D., Ouks D. Analiz dannykh tipa vremeni zhizni. M.: Finansy i statistika, 1988. 191 s.

10. Bol'shev L.N., Smirnov N.V. Tablitsy matematicheskoi statistiki. M.: Nauka, 1983. 416 s.

11. Gnedenko B.V., Belyaev Yu.K., Solov'ev A.D. Matematicheskie metody v teorii nadezhnosti. M.: URSS, 2014. 584 s.