Математика и математическое моделирование. 2022; : 1-13
О поведении дискретного спектра оператора Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости в случае двукратного предельного собственного значения
https://doi.org/10.24108/mathm.0222.0000301Аннотация
Рассматривается оператор Лапласа с двумя разбегающимися возмущениями на плоскости. Возмущениями являются вещественные финитные непрерывные потенциалы. Исследуется поведение собственных значений возмущённого оператора, когда расстояние между потенциалами стремится к бесконечности. Изучается вопрос существования возмущённых собственных значений в случае двукратного предельного собственного значения (двукратное собственное значение оператора Лапласа с первым финитным потенциалом).
Целью работы является построение первых членов асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения.
Методика, с помощью которой были получены результаты, применима и для построения полных асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций. Финитность разбегающихся потенциалов, позволила выявить сложную экспоненциально-степенную структуру полученных асимптотик.
К основным результатам работы относятся:
- первые члены асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций;
- равенство нулю первых поправок асимптотик возмущённых собственных значений.
- экспоненциально-степенная структура асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций.
Список литературы
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R-expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. No. 1. Рp. 7–15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. No. 3. Pp. 471–479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebkhout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol. 91. No. 1. Pp. 65–73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108. No. 2. Pp. 288–300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130. No. 2. Рp. 251–281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. No. 6. Pp. 1143–1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M. II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H_2^+: Analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. No. 2. Pp. 441–483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. No. 3. Pp. 239–261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43. No. 2. Рp. 672–675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1979. Vol. 30. No. 2. Pp. 83–87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. No. 2. Pp. 155–196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. No. 7. Pp. 1371–1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. No. 3. Pp. 342–364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Головина А.М. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25. № 5. С. 32–60.
16. Головина А.М. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора // Доклады Акад. наук. 2013. T. 448. № 3. C. 258–260. DOI: 10.7868/S0869565213030043
17. Golovina А.М. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian J. of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. No. 2. Pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045
18. Головина А.М. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями // Математические заметки. 2012. Т. 91. №. 3. С. 464-466. DOI: 10.4213/mzm9318
19. Борисов Д.И., Головина А.М. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 65–73.
20. Головина А.М. Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор) // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн.2015. № 2. С. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
21. Головина А.М. О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 2. С. 1-24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063
22. Борисов Д.И., Головина А.М. О возникновении резонансов из кратного собственного значения оператора Шрёдингера в цилиндре с разбегающимися возмущениями // Итоги науки и техники. Сер.: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т. 163. С. 3–14.
23. Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. О бесконечной системе резонансов и собственных значений с экспоненциальными асимптотиками, порожденных разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2020. Т. 12. № 4. С. 3-19.
24. Borisov D.I., Golovina A.M. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Vol. 496. No. 2. Art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
25. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учебник. 7-е изд. М.: Наука, 2004. 798 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2022; : 1-13
On Laplacian Discrete Spectrum Behavior with Two Distant Perturbations on the Plane in the case of a double limiting eigenvalue
https://doi.org/10.24108/mathm.0222.0000301Abstract
We consider the Laplacian with two distant perturbations on the plane. Perturbations are a real finite continuous potentials. The investigation is aimed at a behavior of the perturbed operator eigenvalues when the distance between the potentials tends to infinity. The study concerns an existence of the perturbed eigenvalues in the case of a double limiting eigenvalue (a double eigenvalue of the Laplacian with the first finite potential).
The paper aim is to construct the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions in the case of a double limiting eigenvalue.
The technique used to obtain the results is also applicable to the construction of complete asymptotic expansions of perturbed eigenvalues аnd their corresponding eigenfunctions. The finiteness of the distant potentials made it possible to reveal the complex exponential-power structure of the asymptotics obtained.
The main study results include the following:
- the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions;
- the first corrections of the asymptotics of the perturbed eigenvalues being equal to zero;
- exponential-power structure of the asymptotics of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions.
References
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R-expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. No. 1. Rp. 7–15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. No. 3. Pp. 471–479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebkhout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol. 91. No. 1. Pp. 65–73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108. No. 2. Pp. 288–300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130. No. 2. Rp. 251–281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. No. 6. Pp. 1143–1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M. II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H_2^+: Analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. No. 2. Pp. 441–483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. No. 3. Pp. 239–261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43. No. 2. Rp. 672–675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1979. Vol. 30. No. 2. Pp. 83–87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. No. 2. Pp. 155–196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. No. 7. Pp. 1371–1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. No. 3. Pp. 342–364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Golovina A.M. O spektre periodicheskikh ellipticheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami v prostranstve // Algebra i analiz. 2013. T. 25. № 5. S. 32–60.
16. Golovina A.M. O diskretnom spektre vozmushchennogo periodicheskogo differentsial'nogo operatora // Doklady Akad. nauk. 2013. T. 448. № 3. C. 258–260. DOI: 10.7868/S0869565213030043
17. Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian J. of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. No. 2. Pp. 182-192. DOI: 10.1134/S1061920812020045
18. Golovina A.M. Rezol'venty operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Matematicheskie zametki. 2012. T. 91. №. 3. S. 464-466. DOI: 10.4213/mzm9318
19. Borisov D.I., Golovina A.M. O rezol'ventakh periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2012. T. 4. № 2. S. 65–73.
20. Golovina A.M. Issledovaniya spektral'nykh svoistv operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami (obzor) // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn.2015. № 2. S. 1-22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
21. Golovina A.M. O spektre periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2017. № 2. S. 1-24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063
22. Borisov D.I., Golovina A.M. O vozniknovenii rezonansov iz kratnogo sobstvennogo znacheniya operatora Shredingera v tsilindre s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory. 2019. T. 163. S. 3–14.
23. Borisov D.I., Konyrkulzhaeva M.N. O beskonechnoi sisteme rezonansov i sobstvennykh znachenii s eksponentsial'nymi asimptotikami, porozhdennykh razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2020. T. 12. № 4. S. 3-19.
24. Borisov D.I., Golovina A.M. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Vol. 496. No. 2. Art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
25. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki: uchebnik. 7-e izd. M.: Nauka, 2004. 798 s.
