Математика и математическое моделирование. 2022; : 21-30
Асимптотика собственных значений периодического оператора с двумя разбегающимися возмущениями на оси
https://doi.org/10.24108/mathm.0122.0000300Аннотация
Рассматривается периодический оператор второго порядка с двумя разбегающимися возмущениями на оси. Возмущениями являются вещественные финитные непрерывные потенциалы. Исследуется поведение собственных значений возмущённого оператора, когда расстояние между потенциалами стремится к бесконечности. Изучается вопрос существования возмущённых собственных значений в случае двукратного предельного собственного значения (простое и изолированное собственное значение периодического оператора с первым потенциалом + простое и изолированное собственное значение периодического оператора со вторым потенциалом).
Целью работы является построение первых членов асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения.
Результаты были получены с помощью методики, которая применима и для построения полных асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций. Финитность разбегающихся потенциалов, позволила выявить экспоненциальную структуру полученных асимптотик.
К основным результатам работы относятся:
- первые члены асимптотических разложений возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций;
- симметричность первых поправок асимптотик возмущённых собственных значений относительно нуля.
- экспоненциальная структура асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций.
Список литературы
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R-expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. No. 1. Рp. 7–15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. No. 3. Pp. 471–479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebkhout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol. 91. No. 1. Pp. 65–73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108. No. 2. Pp. 288–300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130. No. 2. Рp. 251–281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. No. 6. Pp. 1143–1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M. II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H_2^+: analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. No. 2. Pp. 441–483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. No. 3. Pp. 239–261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43. No. 2. Рp. 672–675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1979. Vol. 30. No. 2. Pp. 83–87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. No. 2. Pp. 155–196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. No. 7. Pp. 1371–1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. No. 3. Pp. 342–364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Головина А.М. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25. № 5. С. 32–60.
16. Головина А.М. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора // Доклады Акад. наук. 2013. T. 448. № 3. C. 258–260. DOI: 10.7868/S0869565213030043
17. Головина А.М. Исследование спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор) // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 2. С. 1–22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
18. Борисов Д.И., Головина А.М. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. № 2. С. 65–73.
19. Головина А.М. О спектре периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 2. С. 1–24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063
20. Борисов Д.И., Головина А.М. О возникновении резонансов из кратного собственного значения оператора Шрёдингера в цилиндре с разбегающимися возмущениями // Итоги науки и техники. Сер.: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т. 163. С. 3–14.
21. Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н. О бесконечной системе резонансов и собственных значений с экспоненциальными асимптотиками, порожденных разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2020. Т. 12. № 4. С. 3–19.
22. Borisov D.I., Golovina A.M. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Vol. 496. No. 2. Art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
Mathematics and Mathematical Modeling. 2022; : 21-30
Asymptotic Behavior of the Eigenvalues of a Periodic Operator with Two Distant Perturbations on the Axis
https://doi.org/10.24108/mathm.0122.0000300Abstract
We consider a second-order periodic operator with two distant perturbations on the real axis. Perturbations are real finite continuous potentials. The objective is to investigate a behavior of the eigenvalues of the perturbed operator when the distance between the potentials tends to infinity. The study issue is an existence of perturbed eigenvalues in the case of a double limiting eigenvalue (the simple and isolated eigenvalue of a periodic operator with first potential + the simple and isolated eigenvalue of a periodic operator with а second potential).
The paper aim is to construct the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions in the case of a double limiting eigenvalue.
The technique to obtain the results can also find application when constructing complete asymptotic expansions of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions. The finiteness of the distant potentials allowed us to reveal the complex exponential structure of the asymptotics obtained.
The main results include the following:
- the first terms of the asymptotic expansions of the perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions;
- symmetry of the first corrections of the asymptotics of the perturbed eigenvalues with respect to zero;
- exponential structure of the asymptotics of perturbed eigenvalues and their corresponding eigenfunctions.
References
1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular force series (1/R-expansion) // Theoretica Chimica Acta. 1976. Vol. 41. No. 1. Rp. 7–15. DOI: 10.1007/BF00558020
2. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85. No. 3. Pp. 471–479. DOI: 10.1007/BF01208725
3. Hoegh-Krohn R., Mebkhout M. The 1/r expansion for the critical multiple well problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol. 91. No. 1. Pp. 65–73. DOI: 10.1007/BF01206050
4. Klaus M. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108. No. 2. Pp. 288–300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X
5. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130. No. 2. Rp. 251–281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3
6. Morgan J.D. III, Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // Intern. J. of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17. No. 6. Pp. 1143–1166. DOI: 10.1002/qua.560170609
7. Graffi S., Grecchi V., Harrell E.M. II, Silverstone H.J. The 1R expansion for H_2^+: analyticity, summability and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165. No. 2. Pp. 441–483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7
8. Harrell E.M. Double wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75. No. 3. Pp. 239–261. DOI: 10.1007/BF01212711
9. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1981. Vol. 34. No. 4. Pp. 405-417.
10. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43. No. 2. Rp. 672–675.
11. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré. Sect. A. 1979. Vol. 30. No. 2. Pp. 83–87.
12. Borisov D.I. Asymptotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbations // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10. No. 2. Pp. 155–196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1
13. Borisov D.I. Distant perturbations of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8. No. 7. Pp. 1371–1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4
14. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // J. of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189. No. 3. Pp. 342–364. DOI: 10.1007/s10958-013-1192-1
15. Golovina A.M. O spektre periodicheskikh ellipticheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami v prostranstve // Algebra i analiz. 2013. T. 25. № 5. S. 32–60.
16. Golovina A.M. O diskretnom spektre vozmushchennogo periodicheskogo differentsial'nogo operatora // Doklady Akad. nauk. 2013. T. 448. № 3. C. 258–260. DOI: 10.7868/S0869565213030043
17. Golovina A.M. Issledovanie spektral'nykh svoistv operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami (obzor) // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2015. № 2. S. 1–22. DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859
18. Borisov D.I., Golovina A.M. O rezol'ventakh periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2012. T. 4. № 2. S. 65–73.
19. Golovina A.M. O spektre periodicheskikh operatorov s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2017. № 2. S. 1–24. DOI: 10.24108/mathm.0217.0000063
20. Borisov D.I., Golovina A.M. O vozniknovenii rezonansov iz kratnogo sobstvennogo znacheniya operatora Shredingera v tsilindre s razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory. 2019. T. 163. S. 3–14.
21. Borisov D.I., Konyrkulzhaeva M.N. O beskonechnoi sisteme rezonansov i sobstvennykh znachenii s eksponentsial'nymi asimptotikami, porozhdennykh razbegayushchimisya vozmushcheniyami // Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2020. T. 12. № 4. S. 3–19.
22. Borisov D.I., Golovina A.M. On finitely many resonances emerging under distant perturbations in multi-dimensional cylinders // J. of Mathematical Analysis and Applications. 2021. Vol. 496. No. 2. Art. no. 124809. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124809
