Качественный анализ динамических систем – мощный инструмент исследования, который используют во многих прикладных задачах. В математических моделях, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, фактически стандартом стало исследование положений равновесия: их количество и расположение в зависимости от параметров, а также вопросы локальной устойчивости. В математических моделях в различных областях химии и биологии важно также, чтобы в процессе динамики не нарушались естественные требования на возможные значения фазовых переменных (как правило, это условие неотрицательности). Более сложные исследования связаны с глобальной устойчивостью.

Необходимость в качественном анализе динамической системы возникает в силу того, что, как правило, дифференциальные уравнения не интегрируются и установить общие свойства траекторий системы путем интегрирования не получается. Впрочем, даже если система дифференциальных уравнений интегрируется, формулы могут быть настолько громоздкими, что их использование в анализе динамики системы оказывается проблематичным.

В данной работе исследуется 8-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику рака при химиотерапии и иммунотерапии. Фазовым пространством системы является неотрицательный ортант.

В работе исследуются положения равновесия системы. В системе всегда есть одно положение равновесия, но могут присутствовать еще два положения равновесия. Выявлены условия на параметры системы, при которых всегда присутствующее положение равновесия асимптотически устойчиво. При этом доказано, что асимптотическая устойчивость является глобальной.

Qualitative analysis of dynamic systems is a powerful research tool used to solve a great deal of application problems. In mathematical models described by ordinary differential equations, the study of equilibrium positions has actually become the standard: their number and location depending on the parameters, as well as issues of local stability. In mathematical models in various fields of chemistry and biology, it is also important that the natural requirements for the possible values ​​of phase variables are not violated in the process of dynamics (as a rule, this is the non-negativity condition). More sophisticated study orientation is global sustainability.

The need for a qualitative analysis of a dynamic system arises because, as a rule, differential equations are not integrated and it is impossible to define the general properties of the system trajectories by integration. However, even if the system of differential equations is integrated, the formulas can be so cumbersome that their use in the analysis of the system dynamics turns out to be a challenge.

In this paper, we study an 8-dimensional system of ordinary differential equations that describes the dynamics of cancer during chemotherapy and immunotherapy. The phase space of the system is a non-negative orthant.

The paper studies the equilibrium positions of the system. There is always one equilibrium in a system, but there may be two more equilibria. There are conditions for the system parameters found, under which the equilibrium position, being always present is asymptotically stable. Moreover, there is a provement that the asymptotic stability is global.