Математика и математическое моделирование. 2022; : 14-37
Сеточный метод решения одной начально-краевой задачи для многомерного уравнения параболического типа общего вида
https://doi.org/10.24108/mathm.0222.0000284Аннотация
Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием физических процессов, приводящих к математическим моделям, в основе которых лежит уравнение параболического типа.
При решении параболических уравнений переход от одномерного случая к многомерному вызывает существенные затруднения. Сложность заключается в значительном увеличении объёма вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач.
Разностную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на каждом временном слое.
Настоящая работа посвящена построению локально-одномерной (экономичной) разностной схемы для приближенного решения уравнения параболического типа общего вида в многомерной области, основная идея которой состоит в сведении сложной задачи к последовательному решению краевых задач более простой структуры. При этом для каждой из промежуточных задач строится экономичная, безусловно устойчивая разностная схема. Для численного решения поставленной задачи строится локально-одномерная разностная схема А.А. Самарского. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи. Для двумерной задачи построен алгоритм численного решения.
Список литературы
1. Абрашин В.Н., Асмолик В.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных квазилинейных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 7. С. 1107-1117.
2. Самарский А.А. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 5. С. 787-811.
3. Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3. № 3. С. 431-466.
4. Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 638-648.
5. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 6. С. 1106-1112.
6. Фрязинов И.В. Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения многомерного уравнения параболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 6. С. 1316-1326.
7. Фрязинов И.В. Экономичные схемы для уравнения теплопроводности с краевым условием III рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 3. С. 612-626.
8. Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 7. С. 1223-1231.
9. Шхануков-Лафишев М.Х., Лафишева M.M., Нахушева Ф.М., Мамбетова А.Б. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью // Владикавказский математический журнал. 2013. Т. 15. № 4. С. 58-64.
10. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. 196 с.
11. Бештокова З.В., Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58. № 9. С. 1531-1542. DOI: 10.31857/S004446690002531-5
12. Бештокова З.В. Локально-одномерная разностная схема для решения одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения в многомерной области // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 3. С. 366-379. DOI: 10.1134/S0374064120030085
13. Бештокова З.В. К нелокальным краевым задачам для многомерного параболического уравнения с переменными коэффициентами // Вестник Тверского гос. ун-та. Сер.: Прикладная математика. 2019. Вып. 2. С. 107-122. DOI: 10.26456/vtpmk535
14. Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоёмкостью // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 2. Ч. 1. С. 763.
15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учеб. пособие. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 735 с.
16. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики: учеб. пособие. М.: Наука, 1973. 407 с.
17. Самарский A.A. Теория разностных схем: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Наука, 1983. 616 с.
18. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. № 6. С. 1218-1231.
19. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2022; : 14-37
Grid Method for Solving an Initial-Boundary-value Problem for a General Multidimensional Equation of Parabolic Type
https://doi.org/10.24108/mathm.0222.0000284Abstract
The problems concerning the physical process studies that lead to mathematical models based on a parabolic type equation are of great practical importance.
When solving the parabolic equation, a transition from the one-dimensional equation to the multidimensional one gives a rise to some difficulties. The trouble is that amount of computations significantly increases in the transition from the one-dimensional problems to the multidimensional ones In this regard a task to build the economical difference schemes for a numerical solution of multidimensional problems is a challenge.
A difference scheme that approximates the problem over time is economical, if it is unconditionally stable and the desirable number of arithmetic operations in the transition from layer to layer is proportional to the number of nodes in each time layer.
The paper dwells on the construction of a locally one-dimensional (economical) difference scheme for the approximate solution of a parabolic type equation of a general form in a multidimensional domain, the main idea of which is to reduce a complex problem to a sequential solution of boundary value problems of a simpler structure. At the same time, there is a construction of the economical, unconditionally stable difference scheme for each of the intermediate problems. To have a numerical solution of the problem, there is a construction of the locally one-dimensional difference scheme of A.A. Samarsky. Using a method of energy inequalities allows us to obtain a priori estimates in the differential and difference interpretations, whence it follow that there are the uniqueness, stability, as well as the convergence of the solution of the locally one-dimensional difference scheme to the solution of the original differential problem. For a bi-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed.
References
1. Abrashin V.N., Asmolik V.A. Lokal'no-odnomernye raznostnye skhemy dlya mnogomernykh kvazilineinykh giperbolicheskikh uravnenii // Differentsial'nye uravneniya. 1982. T. 18. № 7. S. 1107-1117.
2. Samarskii A.A. Ob odnom ekonomichnom raznostnom metode resheniya mnogomernogo parabolicheskogo uravneniya v proizvol'noi oblasti // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1962. T. 2. № 5. S. 787-811.
3. Samarskii A.A. Lokal'no-odnomernye raznostnye skhemy na neravnomernykh setkakh // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1963. T. 3. № 3. S. 431-466.
4. Samarskii A.A. Lokal'no-odnomernye raznostnye skhemy dlya mnogomernykh uravnenii giperbolicheskogo tipa proizvol'noi oblasti // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1964. T. 4. № 4. S. 638-648.
5. Fryazinov I.V. O raznostnoi approksimatsii granichnykh uslovii dlya tret'ei kraevoi zadachi // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1964. T. 4. № 6. S. 1106-1112.
6. Fryazinov I.V. Ekonomichnye skhemy povyshennogo poryadka tochnosti dlya resheniya mnogomernogo uravneniya parabolicheskogo tipa // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1969. T. 9. № 6. S. 1316-1326.
7. Fryazinov I.V. Ekonomichnye skhemy dlya uravneniya teploprovodnosti s kraevym usloviem III roda // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1972. T. 12. № 3. S. 612-626.
8. Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Lokal'no-odnomernaya skhema dlya nagruzhennogo uravneniya teploprovodnosti s kraevymi usloviyami III roda // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2009. T. 49. № 7. S. 1223-1231.
9. Shkhanukov-Lafishev M.Kh., Lafisheva M.M., Nakhusheva F.M., Mambetova A.B. Lokal'no-odnomernaya skhema dlya uravneniya teploprovodnosti s sosredotochennoi teploemkost'yu // Vladikavkazskii matematicheskii zhurnal. 2013. T. 15. № 4. S. 58-64.
10. Yanenko N.N. Metod drobnykh shagov resheniya mnogomernykh zadach matematicheskoi fiziki. Novosibirsk: Nauka. Sib. otd-nie, 1967. 196 s.
11. Beshtokova Z.V., Lafisheva M.M., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Lokal'no-odnomernye raznostnye skhemy dlya parabolicheskikh uravnenii v sredakh, obladayushchikh «pamyat'yu» // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2018. T. 58. № 9. S. 1531-1542. DOI: 10.31857/S004446690002531-5
12. Beshtokova Z.V. Lokal'no-odnomernaya raznostnaya skhema dlya resheniya odnoi nelokal'noi kraevoi zadachi dlya parabolicheskogo uravneniya v mnogomernoi oblasti // Differentsial'nye uravneniya. 2020. T. 56. № 3. S. 366-379. DOI: 10.1134/S0374064120030085
13. Beshtokova Z.V. K nelokal'nym kraevym zadacham dlya mnogomernogo parabolicheskogo uravneniya s peremennymi koeffitsientami // Vestnik Tverskogo gos. un-ta. Ser.: Prikladnaya matematika. 2019. Vyp. 2. S. 107-122. DOI: 10.26456/vtpmk535
14. Nakhusheva F.M., Vodakhova V.A., Kudaeva F.Kh., Abaeva Z.V. Lokal'no-odnomernaya raznostnaya skhema dlya uravneniya diffuzii drobnogo poryadka s sosredotochennoi teploemkost'yu // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. 2015. № 2. Ch. 1. S. 763.
15. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki: ucheb. posobie. 5-e izd. M.: Nauka, 1977. 735 s.
16. Ladyzhenskaya O.A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki: ucheb. posobie. M.: Nauka, 1973. 407 s.
17. Samarskii A.A. Teoriya raznostnykh skhem: ucheb. posobie. 2-e izd. M.: Nauka, 1983. 616 s.
18. Andreev V.B. O skhodimosti raznostnykh skhem, approksimiruyushchikh vtoruyu i tret'yu kraevye zadachi dlya ellipticheskikh uravnenii // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1968. T. 8. № 6. S. 1218-1231.
19. Samarskii A.A., Gulin A.B. Ustoichivost' raznostnykh skhem. M.: Nauka, 1973. 415 s.
