Математика и математическое моделирование. 2021; : 1-12
Функциональный метод локализации и принцип инвариантности Ла-Салля
https://doi.org/10.24108/mathm.0121.0000256Аннотация
В задачах качественного анализа динамических систем хорошо зарекомендовал себя функциональный метод локализации. Предложенный в 90-хх гг., он активно использовался в исследовании ряда известных систем дифференциальных уравнений, как автономных, так и неавтономных, дискретных систем, в том числе систем включающих управление и/или возмущения.
Суть метода состоит в построении такого множества в фазовом пространстве динамической системы, которое содержит все инвариантные компактные множества. Понятие инвариантного компактного множества включает положения равновесия, предельные циклы, аттракторы, репеллеры и другие структуры в фазовом пространстве системы, играющие важную роль в описании поведения динамической системы. Построенное множество называют локализирующим. Оно служит внешней оценкой соответствующих структур в фазовом пространстве.
Относительно недавно было установлено, что функциональный метод локализации позволяет анализировать поведение траекторий динамической системы. В частности, с помощью метода локализации можно проверять устойчивость положений равновесия.
Здесь естественным образом возникает вопрос о связи функционального метода локализации с известным принципом инвариантности Ла-Салля, который можно рассматривать как дальнейшее развитие метода функций Ляпунова для установления устойчивости. Настоящая статья посвящена обсуждению этого вопроса.
Список литературы
1. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 231 с.
2. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 12. C. 1597–1604.
3. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1858–1865.
4. Крищенко А.П., Шальнева С.С. Задача локализации для автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 11. С. 1495–1500.
5. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with applications to the Lanford system // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2006. Vol. 16. No. 11. Pp. 3249–3256. DOI: 10.1142/S0218127406016768
6. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system // Physics Letters A. 2006. Vol. 353. No. 5. Pp. 383–388. DOI: 10.1016/j.physleta.2005.12.104
7. Starkov K.E. Universal localizing bounds for compact invariant sets of natural polynomial Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2008. Vol 372. No. 41. Pp. 6269–6272. DOI: 10.1016/j.physleta.2008.07.073
8. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets on nonlinear time-varying systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering in Applied Sciences and Engineering. 2008. Vol. 18. No. 5. Pp. 1599-1604. DOI: 10.1142/S021812740802121X
9. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 1. С. 47–53.
10. Канатников А.Н., Коровин С.К., Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов дискретных систем // Доклады Академии наук. 2010. Т. 431. № 3. С. 323–325.
11. Канатников А.Н. Локализация инвариантных компактов в неопределенных дискретных системах // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 7. С. 987–992.
12. Канатников А.Н. Локализирующие множества для инвариантных компактов непрерывных динамических систем с возмущением // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. № 11. С. 1483–1492.
13. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Локализирующие множества и поведение траекторий // Доклады Академии наук. 2016. Т. 470. № 2. С. 133–136. DOI: 10.7868/S0869565216260042
14. Канатников А.Н. Локализирующие множества и поведение траекторий неавтономных систем // Дифференциальные уравнения. 2019. Т. 55. № 11. С. 1465–1475. DOI: 10.1134/S0374064119110037
15. Крищенко А.П. Анализ асимптотической устойчивости автономных систем методом локализации инвариантных компактов // Доклады Академии наук. 2016. Т. 469. № 1. С. 17–20. DOI: 10.7868/S086956521619004X
16. Крищенко А.П. Построение функций Ляпунова методом локализации инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 11. С. 1447–1452. DOI: 10.1134/S0374064117110036
17. Канатников А.Н. Устойчивость положений равновесия дискретных систем и локализация инвариантных компактов // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. № 11. С. 1440–1444. DOI: 10.1134/S037406411811002X
18. Халил Х.К. Нелинейные системы: пер. с англ. 3-е изд. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютер. исслед., 2009. 812 с. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].
Mathematics and Mathematical Modeling. 2021; : 1-12
Functional Method of Localization and LaSalle Invariance Principle
https://doi.org/10.24108/mathm.0121.0000256Abstract
A functional method of localization has proved to be good in solving the qualitative analysis problems of dynamic systems. Proposed in the 90s, it was intensively used when studying a number of well-known systems of differential equations, both of autonomous and of non-autonomous discrete systems, including systems that involve control and / or disturbances.
The method essence is to construct a set containing all invariant compact sets in the phase space of a dynamical system. A concept of the invariant compact set includes equilibrium positions, limit cycles, attractors, repellers, and other structures in the phase space of a system that play an important role in describing the behavior of a dynamical system. The constructed set is called localizing and represents an external assessment of the appropriate structures in the phase space.
Relatively recently, it was found that the functional localization method allows one to analyze a behavior of the dynamical system trajectories. In particular, the localization method can be used to check the stability of the equilibrium positions.
Here naturally emerges an issue of the relationship between the functional localization method and the well-known La Salle invariance principle, which can be regarded as a further development of the method of Lyapunov functions for establishing stability. The article discusses this issue.
References
1. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskikh sistem. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2011. 231 s.
2. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov dinamicheskikh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2005. T. 41. № 12. C. 1597–1604.
3. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya predel'nykh tsiklov // Differentsial'nye uravneniya. 1995. T. 31. № 11. S. 1858–1865.
4. Krishchenko A.P., Shal'neva S.S. Zadacha lokalizatsii dlya avtonomnykh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 1998. T. 34. № 11. S. 1495–1500.
5. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of nonlinear systems with applications to the Lanford system // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2006. Vol. 16. No. 11. Pp. 3249–3256. DOI: 10.1142/S0218127406016768
6. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets of the Lorenz system // Physics Letters A. 2006. Vol. 353. No. 5. Pp. 383–388. DOI: 10.1016/j.physleta.2005.12.104
7. Starkov K.E. Universal localizing bounds for compact invariant sets of natural polynomial Hamiltonian systems // Physics Letters A. 2008. Vol 372. No. 41. Pp. 6269–6272. DOI: 10.1016/j.physleta.2008.07.073
8. Krishchenko A.P., Starkov K.E. Localization of compact invariant sets on nonlinear time-varying systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering in Applied Sciences and Engineering. 2008. Vol. 18. No. 5. Pp. 1599-1604. DOI: 10.1142/S021812740802121X
9. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov neavtonomnykh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 1. S. 47–53.
10. Kanatnikov A.N., Korovin S.K., Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov diskretnykh sistem // Doklady Akademii nauk. 2010. T. 431. № 3. S. 323–325.
11. Kanatnikov A.N. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov v neopredelennykh diskretnykh sistemakh // Differentsial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 7. S. 987–992.
12. Kanatnikov A.N. Lokaliziruyushchie mnozhestva dlya invariantnykh kompaktov nepreryvnykh dinamicheskikh sistem s vozmushcheniem // Differentsial'nye uravneniya. 2012. T. 48. № 11. S. 1483–1492.
13. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Lokaliziruyushchie mnozhestva i povedenie traektorii // Doklady Akademii nauk. 2016. T. 470. № 2. S. 133–136. DOI: 10.7868/S0869565216260042
14. Kanatnikov A.N. Lokaliziruyushchie mnozhestva i povedenie traektorii neavtonomnykh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2019. T. 55. № 11. S. 1465–1475. DOI: 10.1134/S0374064119110037
15. Krishchenko A.P. Analiz asimptoticheskoi ustoichivosti avtonomnykh sistem metodom lokalizatsii invariantnykh kompaktov // Doklady Akademii nauk. 2016. T. 469. № 1. S. 17–20. DOI: 10.7868/S086956521619004X
16. Krishchenko A.P. Postroenie funktsii Lyapunova metodom lokalizatsii invariantnykh kompaktov // Differentsial'nye uravneniya. 2017. T. 53. № 11. S. 1447–1452. DOI: 10.1134/S0374064117110036
17. Kanatnikov A.N. Ustoichivost' polozhenii ravnovesiya diskretnykh sistem i lokalizatsiya invariantnykh kompaktov // Differentsial'nye uravneniya. 2018. T. 54. № 11. S. 1440–1444. DOI: 10.1134/S037406411811002X
18. Khalil Kh.K. Nelineinye sistemy: per. s angl. 3-e izd. M.; Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», In-t komp'yuter. issled., 2009. 812 s. [Khalil H.K. Nonlinear systems. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002. 750 p.].
