Математика и математическое моделирование. 2020; : 28-36
Метод самосогласованных уравнений для решения задач дифракции волн на системах рассеивателей
https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000243Аннотация
Рассматривается один из численных методов решения задач рассеяния электромагнитных волн на системах, образованных параллельно ориентированными цилиндрическими элементами – двумерных фотонных кристаллах. Метод основывается на классическом методе разделения переменных при решении волнового уравнения. Суть метода заключается в представлении поля в виде суммы первичного поля и неизвестного рассеянного на элементах среды вторичного поля. Математическое выражение для последнего записывается в виде бесконечных рядов по элементарным волновым функциям с неизвестными коэффициентами. В частности, поле, рассеянное на N элементах, ищется в виде суммы N дифракционных рядов, в которой один из рядов составлен из волновых функций одного тела, а волновые функции в остальных рядах выражены через собственные волновые функции первого тела при помощи теорем сложения. Далее из удовлетворения граничным условиям на поверхности каждого элемента получаются системы линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных – искомых коэффициентов разложения, которые разрешаются стандартными способами. Особенностью метода является использование аналитических выражений, описывающих дифракцию на одиночном элементе системы. В отличие от большинства численных методов данный подход при его использовании позволяет получить информацию об амплитудно-фазовых или спектральных характеристиках поля только в локальных точках структуры. Отсутствие необходимости определения параметров поля во всей области пространства, занимаемой рассматриваемой многоэлементной системой, обуславливает высокую эффективность данного метода. В работе сопоставляются результаты расчета спектров пропускания двумерных фотонных кристаллов рассматриваемым методом с экспериментальными данными и численными результатами, полученными с использованием других подходов. Демонстрируется их хорошее согласие.
Список литературы
1. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Physical Review Letters. 1987. Vol. 58. No. 20. Pp. 2059-2062. DOI: 10.1103/PhysRevLett.58.2059
2. Vetrov S.Ya., Pankin P.S., Timofeev I.V. The optical Tamm states at the interface between a photonic crystal and a nanocomposite containing core-shell particles // J. of Optics. 2016. Vol. 18. No. 6. P. 065106. DOI: 10.1088/2040-8978/18/6/065106
3. Шабанов В.Ф., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Оптика реальных фотонных кристаллов. Новосиб.: Изд-во СО РАН, 2005. 239 с.
4. Noda S., Fujita M., Asano T. Spontaneous-emission control by photonic crystals and nanocavities // Nature Photonics. 2007. Vol. 1. No. 8. Pp. 449-458. DOI: 10.1038/nphoton.2007.141
5. Photonic crystals: Towards nanoscale photonic devices / J.-M. Lourtioz a.o. 2nd ed. B.: Springer, 2008. 514 р.
6. Jin J.-M., Riley D.J. Finite element analysis of antennas and arrays. Hoboken: Wiley, 2009. 435 p.
7. Nagra A.S., York R.A. FDTD analysis of wave propagation in nonlinear absorbing and gain media // IEEE Trans. on Antennas and Propagation. 1998. Vol. 46. No. 3. Pp. 334-340. DOI: 10.1109/8.662652
8. Twersky V. Multiple scattering of radiation by an arbitrary configuration of parallel cylinders // J. of the Acoustical Soc. of America. 1952. Vol. 24. No. 1. Pp. 42-46. DOI: 10.1121/1.1906845
9. Иванов Е.А. К решению задачи о дифракции плоской волны на двух круговых цилиндрах в случае коротких волн // Радиотехника и электроника. 1966. Т. 11. № 5. С. 931-942.
10. Ветлужский А.Ю., Ломухин Ю.Л., Михайлова О.Г. Эффект прозрачности объемных решеток // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 7. С. 797-799.
11. You-Yu Chen, Zhen Ye. Acoustic attenuation by two-dimensional arrays of rigid cylinders // Physical Review Letters. 2001. Vol. 87. No. 18. P. 184301. DOI: 10.1103/PhysRevLett.87.184301
12. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров: пер с англ. 2-е изд. М.: Наука, 1970. 720 с. [Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook for scientists and engineers. N.Y.: McGraw-Hill, 1961. 943 p.].
13. Лозовик Ю.Л., Эйдерман С.Л. Зонная структура сверхпроводящих фотонных кристаллов // Физика твердого тела. 2008. Т. 50. № 11. С. 1944-1947.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 28-36
Self-consistent Equation Method for Solving Problems of Wave Diffraction on Scatter Systems
https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000243Abstract
The paper considers one of the numerical methods to solve problems of scattering electromagnetic waves on the systems formed by parallel-oriented cylindrical elements – two-dimensional photonic crystals. The method is based on the classical partition approach used for solving the wave equation. Тhe method principle is to represent the field as the sum of the primary field and the unknown secondary field scattered on the medium elements. The mathematical expression for the latter is written as the infinite series according to elementary wave functions with unknown coefficients. In particular, the N elements-scattered field is found as the sum of N diffraction series in which one of the series is composed of the wave functions of one body and the wave functions in the remaining series are expressed in terms of the eigenfunctions of the first body using addition theorems. Further, to meet the boundary conditions, on the surface of each element, we obtain systems of linear algebraic equations with the infinite number of unknowns – the required expansion coefficients, which are solved by standard methods. A feature of the method is the use of analytical expressions to describe diffraction on a single element of the system. In contrast to most numerical methods, this approach allows one to obtain information on the amplitude-phase or spectral characteristics of the field only at the local points of the structure. The high efficiency of this method stems from the fact that there is no need to determine the field parameters in the entire area of space occupied by the multi-element system under consideration. The paper compares the calculated results of the transmission spectra of two-dimensional photonic crystals using the considered method with the experimental data and numerical results, obtained by other approaches, and demonstrates their good agreement.
References
1. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Physical Review Letters. 1987. Vol. 58. No. 20. Pp. 2059-2062. DOI: 10.1103/PhysRevLett.58.2059
2. Vetrov S.Ya., Pankin P.S., Timofeev I.V. The optical Tamm states at the interface between a photonic crystal and a nanocomposite containing core-shell particles // J. of Optics. 2016. Vol. 18. No. 6. P. 065106. DOI: 10.1088/2040-8978/18/6/065106
3. Shabanov V.F., Vetrov S.Ya., Shabanov A.V. Optika real'nykh fotonnykh kristallov. Novosib.: Izd-vo SO RAN, 2005. 239 s.
4. Noda S., Fujita M., Asano T. Spontaneous-emission control by photonic crystals and nanocavities // Nature Photonics. 2007. Vol. 1. No. 8. Pp. 449-458. DOI: 10.1038/nphoton.2007.141
5. Photonic crystals: Towards nanoscale photonic devices / J.-M. Lourtioz a.o. 2nd ed. B.: Springer, 2008. 514 r.
6. Jin J.-M., Riley D.J. Finite element analysis of antennas and arrays. Hoboken: Wiley, 2009. 435 p.
7. Nagra A.S., York R.A. FDTD analysis of wave propagation in nonlinear absorbing and gain media // IEEE Trans. on Antennas and Propagation. 1998. Vol. 46. No. 3. Pp. 334-340. DOI: 10.1109/8.662652
8. Twersky V. Multiple scattering of radiation by an arbitrary configuration of parallel cylinders // J. of the Acoustical Soc. of America. 1952. Vol. 24. No. 1. Pp. 42-46. DOI: 10.1121/1.1906845
9. Ivanov E.A. K resheniyu zadachi o difraktsii ploskoi volny na dvukh krugovykh tsilindrakh v sluchae korotkikh voln // Radiotekhnika i elektronika. 1966. T. 11. № 5. S. 931-942.
10. Vetluzhskii A.Yu., Lomukhin Yu.L., Mikhailova O.G. Effekt prozrachnosti ob\"emnykh reshetok // Radiotekhnika i elektronika. 1998. T. 43. № 7. S. 797-799.
11. You-Yu Chen, Zhen Ye. Acoustic attenuation by two-dimensional arrays of rigid cylinders // Physical Review Letters. 2001. Vol. 87. No. 18. P. 184301. DOI: 10.1103/PhysRevLett.87.184301
12. Korn G.A., Korn T.M. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov: per s angl. 2-e izd. M.: Nauka, 1970. 720 s. [Korn G.A., Korn T.M. Mathematical handbook for scientists and engineers. N.Y.: McGraw-Hill, 1961. 943 p.].
13. Lozovik Yu.L., Eiderman S.L. Zonnaya struktura sverkhprovodyashchikh fotonnykh kristallov // Fizika tverdogo tela. 2008. T. 50. № 11. S. 1944-1947.
