Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 13-40

Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной

Аннотация

Обратимые дифференциальные операторы возникают при решении многих математических задач. Среди них задачи преобразования и классификации систем дифференциальных уравнений с использованием C-преобразований. А именно, C-преобразованиями называются обратимые преобразования, при которых переменные одной системы выражаются через переменные и производные зависимых переменных по независимым второй системы. Отсутствие удобного описания C-преобразований сдерживает развитие теории их применения. C-Преобразования линейных систем интерпретируются как обратимые линейные дифференциальные операторы. В случае нелинейных систем линеаризация C-преобразования интерпретируется как обратимый линейный дифференциальный оператор. Поэтому исследования обратимых линейных дифференциальных операторов следует рассматривать как первый шаг к описанию C-преобразований как линейных, так и нелинейных систем. Данная работа является второй работой, посвященной описанию обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной и их обобщений. В первой работе каждому обратимому линейному дифференциальному оператору была сопоставлена таблица чисел, которая описана на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому оператору поставлена в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая называется d-схемой квадратов. При этом одному классу принадлежат те, и только те обратимые операторы, которые имеют одинаковые таблицы. Обратимый оператор определяется своей таблицей неоднозначно. В предыдущей работе приведены математические структуры, которые в совокупности с d-схемой квадратов определяют некоторые обратимые операторы из соответствующего класса. Однако описания всех обратимых операторов с данной d-схемой там не было получено. В данной работе получено полное описание всех обратимых линейных дифференциальных операторов с данной d-схемой. Кроме того, этот результат и результаты первой статьи обобщены на обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием. К таким отображениям относятся, в частности, линеаризации C-преобразований систем с управлением и отображения, определенные унимодулярными матрицами. Результаты статьи могут быть использованы для описания C-преобразований систем с управлением и классификации таких систем.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

Список литературы

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными.- М.: Мир. 1990. 536 с.

2. Aranda-Bricaire, E., Moog, C. H., and Pomet, J.-B. A Linear Algebraic Framework for Dynamic Feedback Linearization // IEEE Trans. Automatic Control. 1995. V. 40, № 1. P. 127-132.

3. Levine, J. Analysis and Control of Nonlinear Systems: A Flatness-based Approach. - New-York: Springer-Verlag, 2009. 317 p.

4. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука. 1986. 336 с.

5. Четвериков В.Н. Метод линеаризации для решения задач плоскостности и поиска оператора совместности // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С.1518-1527.

6. Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и образование. (МГТУ им. Н.Э. Баумана) (электронный журнал) 2014. № 7. С. 105-127. http://technomag.bmstu.ru/doc/718107.html DOI: 10.7463/0714.0718107

7. Четвериков В.Н. Управляемость плоских систем // Дифференциальные уравнения. 2007. Т.43, № 11. С.1518-1527.

8. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. - М.: Мир. 1970. 442 с.

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука. 1965. 431 с.

10. Chetverikov V.N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. 2004. V.16. P.903-923.

11. Спеньер Э. Алгебраическая топология. - М.: Мир. 1971. 680 с.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 13-40

Classification and Construction of Generalized Invertible Linear Differential Operators with One Independent Variable

Chetverikov V. N.

Abstract

The paper investigates invertible linear differential operators. Description of such operators is an important problem, because it is related to transformations of control systems. Namely, a C-transformation is an invertible transformation when the variables of one system are expressed in terms of variables and derivatives of dependent variables with respect to independent variables of second system. The lack of a useful description of C-transformations does not allow developing the theory of their application. C-Transformations of linear systems are represented as invertible linear differential operators. In the case of nonlinear systems, linearizations of C-transformations are interpreted as invertible linear differential operators. Therefore, the study of invertible linear differential operators should be considered as the first step to the description of C-transformations of both linear and nonlinear systems.
This paper is the second work devoted to the description of invertible linear differential operators with one independent variable and their generalizations. In the first work, a table of integers was associated to each invertible linear differential operator. These tables were described in terms of elementary geometry. Thus some elementary-geometrical model was assigned an invertible operator. This model was called a d-scheme. Invertible linear differential operators are classified by d-schemes.
An invertible operator is not uniquely determined by its d-scheme. It was shown in previous work how to construct some invertible differential operators for a given d-scheme and what mathematical structures still should be given for this construction. However, a description of all invertible operators with a given d-scheme was not there obtained.
In this work, a complete description of all invertible linear differential operators with a given d-scheme is obtained. In addition, this result and the results of the first article are generalized to invertible mappings of filtered modules generated by one differentiation. In particular, the linearizations of C-transformations and mappings determined by unimodular matrices are such generalized invertible operators.
The results of this paper can be used to describe C-transformations of control systems and to classify such systems.

DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

References

1. Gromov M. Differentsial'nye sootnosheniya s chastnymi proizvodnymi.- M.: Mir. 1990. 536 s.

2. Aranda-Bricaire, E., Moog, C. H., and Pomet, J.-B. A Linear Algebraic Framework for Dynamic Feedback Linearization // IEEE Trans. Automatic Control. 1995. V. 40, № 1. P. 127-132.

3. Levine, J. Analysis and Control of Nonlinear Systems: A Flatness-based Approach. - New-York: Springer-Verlag, 2009. 317 p.

4. Vinogradov A.M., Krasil'shchik I.S., Lychagin V.V. Vvedenie v geometriyu nelineinykh differentsial'nykh uravnenii. - M.: Nauka. 1986. 336 s.

5. Chetverikov V.N. Metod linearizatsii dlya resheniya zadach ploskostnosti i poiska operatora sovmestnosti // Differentsial'nye uravneniya. 2006. T. 42, № 10. S.1518-1527.

6. Chetverikov V.N. Klassifikatsiya i konstruirovanie obratimykh lineinykh differentsial'nykh operatorov na odnomernom mnogoobrazii // Nauka i obrazovanie. (MGTU im. N.E. Baumana) (elektronnyi zhurnal) 2014. № 7. S. 105-127. http://technomag.bmstu.ru/doc/718107.html DOI: 10.7463/0714.0718107

7. Chetverikov V.N. Upravlyaemost' ploskikh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2007. T.43, № 11. S.1518-1527.

8. Kh'yuzmoller D. Rassloennye prostranstva. - M.: Mir. 1970. 442 s.

9. Kurosh A.G. Kurs vysshei algebry. - M.: Nauka. 1965. 431 s.

10. Chetverikov V.N. Flat control systems and deformations of structures on diffieties // Forum Math. 2004. V.16. P.903-923.

11. Spen'er E. Algebraicheskaya topologiya. - M.: Mir. 1971. 680 s.