Об одной дробно-дифференциальной модификации модели нелетучей нефти

Главная

Статья в Elpub

РУС ENG

Математика и математическое моделирование. 2020; : 13-27

Об одной дробно-дифференциальной модификации модели нелетучей нефти

Белевцов Н. С.

https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000228

Аннотация

Классические модели многофазной фильтрации, основанные на законе Дарси, достаточно хорошо исследованы и активно применяется в современном нефтяном инжиниринге. Однако, подобные модели не позволяют эффективно описывать процессы с эффектами степенной памяти или с эффектами пространственной нелокальности. В последние годы наблюдается значительный рост интереса к моделям с производными и интегралами дробного порядка, позволяющими учитывать подобные эффекты.

В статье рассматривается дробно-дифференциальное по пространству обобщение двухфазной модели нелетучей нефти. Данная модель построена на основе дробно-дифференциальной модификации закона фильтрации Дарси с потенциалом Рисса, который является одним из возможных обобщений понятия дробного интеграла на случай многомерного пространства. Использование такой модификации закона Дарси позволяет эффективно моделировать фильтрационные процессы в неоднородных трещиновато-пористых средах с эффектами пространственной нелокальности.

Для численного решения системы уравнений полученной модели предложено использование метода IMPES. Для этого из представленной системы уравнений выделено одно уравнение, описывающее эволюцию давления. Данное уравнение записано при условии пренебрежения изменением капиллярного давления в пределах шага по времени.

Рассмотрен частный случай уравнения на давление с потенциалом Рисса от радиальной функции, описывающий изменение давления в случае плоскорадиального течения. Для данного уравнения построено автомодельное решение с использованием метода интегрального преобразования Меллина. Получено представление данного решения в виде контурного интеграла Меллина-Барнса, что позволило записать его через функции Фокса. Показано, что в случае нулевой степени потенциала Рисса выполняется предельный переход к автомодельному решению классического уравнения теплопроводности. Построенное автомодельное решение может быть использовано в дальнейшем при программной реализации численного решения представленной модели.

Главным направлением дальнейших исследований является разработка и реализация программного вычислительного комплекса, основанного на предложенном дробно-дифференциальном обобщении двухфазной модели нелетучей нефти.

Список литературы

1. Fractional dynamics: recent advances / Ed. by J. Klafter, S.C. Lim, R. Metzler. New Jersey: World Scientific, 2012. 515 p. DOI: 10.1142/8087

2. Uchaikin V.V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems. New Jersey: World Scientific, 2013. 257 p. DOI: 10.1142/8185

3. Caffarelli L., Vazquez J.L. Nonlinear porous medium flow with fractional potential pressure // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2011. Vol. 202. No. 2. Pp. 537-565. DOI: 10.1007/s00205-011-0420-4

4. Biler P., Imbert C., Karch G. Barenblatt profiles for a nonlocal porous medium equation // Comptes Rendus Mathematique. 2011. Vol. 349. No. 11-12. Pp. 641-645. DOI: 10.1016/j.crma.2011.06.003

5. Albinali A., Ozkan E. Anomalous diffusion approach and field application for fractured nano-porous reservoirs // SPE Annual technical conf. and exhibition (Dubai, UAE, September 26-28, 2016): Papers. Houston, TX: Soc. of Petroleum Engineers, 2016. Paper number SPE-181255-MS. DOI: 10.2118/181255-MS

6. Raghavan R., Chen C., DaCunha J.J. Nonlocal diffusion in fractured rocks // SPE Reservoir Evaluation & Engineering. 2017. Vol. 20. No. 2. Pp. 383-393. DOI: 10.2118/184404-PA

7. Yamazaki K. Remarks on the method of modulus of continuity and the modified dissipative Porous Media Equation // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1909-1923. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.007

8. Arbogast T., Douglas J. Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. on Mathematical Analysis. 1990. Vol. 21. No. 4. Pp. 823-836. DOI: 10.1137/0521046

9. Samko S.G., Kilbas A.A, Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. Phil.: Gordon and Breach Science Publ., 1993. 976 p.

10. Zhangxin Chen. Formulations and numerical methods of the black oil model in porous media // SIAM J. on Numerical Analysis. 2000. Vol. 38. No. 2. Pp. 489-514. DOI: 10.1137/S0036142999304263

11. Advanced petroleum reservoir simulation: towards developing reservoir emulators / M.R. Islam a.o. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2016. 572 p.

12. Kilbas A.A., Saigo M. H-transforms: theory and applications. Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC, 2004. 389 p.

13. Belevtsov N.S., Lukashchuk S.Yu. Lie group analysis of 2‐dimensional space‐fractional model for flow in porous media // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2018. Vol. 41. No. 18. Pp. 9123-9133. DOI: 10.1002/mma.5078

14. Belevtsov N.S., Lukashchuk S.Yu. Symmetry group classification and conservation laws of the nonlinear fractional diffusion equation with the Riesz potential // Symmetry. 2020. Vol. 12. No. 1. Pp. 178-194. DOI: 10.3390/sym12010178

15. Рубин Б.С. Одномерное представление, обращение и некоторые свойства потенциалов Рисса от радиальных функций // Математические заметки. 1983. Т. 34. №. 4. С. 521-533.

16. Tables of integral transforms / Based and compiled by H. Bateman. In 2 vols. N.Y.: McGraw-Hill, 1954.

17. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amst.; Boston: Elsevier, 2006. 523 p.

Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 13-27

On a Space-Fractional Generalization of the Black Oil Model

Belevtsov N. S.

https://doi.org/10.24108/mathm.0620.0000228

Abstract

Classical multiphase filtration models, which are based on Darcy's law, are well studied and actively used in modern oil engineering. However, such models do not allow efficient describing of processes with power-law memory effects or with spatial non-locality effects. In recent years, there has been a significantly increasing interest in models with fractional derivatives and integrals that allow such effects to be taken into account.

The article considers the space-fractional generalization of the two-phase Black Oil model. This model is built on the basis of a fractional modification of the Darcy’s law with the Riesz potential, which is one of the possible generalizations of a fractional integral to the case of a multidimensional space. The use of such a modification of Darcy's law allows efficient describing of filtration processes in heterogeneous fractured porous media with the effects of spatial non-locality.

For the numerical solution of the system of equations from the obtained model, the use of the IMPES method is proposed. For this purpose, from the presented system of equations, one equation is selected that describes the evolution of pressure. This equation is written provided that the capillary pressure variation within the time step is neglected.

A special case of the pressure equation with the Riesz potential of radial function is considered, which describes the pressure variation in the case of a radial plane flow. For this equation, a self-similar solution is constructed using the Mellin integral transform method. A representation of this solution in the form of the Mellin-Barnes contour integral was obtained, which made it possible to write it in terms of the Fox functions. It is shown that in the limiting case of a zero degree of the Riesz potential, this solution coincides with the self-similar solution of the classical heat equation. The constructed self-similar solution can be further used in the software implementation of the numerical solution of the model presented

The main line of further research is to develop and implement a software computing system based on the proposed fractional generalization of the two-phase Black Oil model.

References