Математика и математическое моделирование. 2020; : 52-64
Третья краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто
https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000222Аннотация
В последнее время при описании различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется дифференциальным уравнениям с частными производными дробного порядка, которые являются обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка. При этом возможны различные постановки.
Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы решения нагруженных уравнений в частных производных целочисленного и дробного (пористые среды) порядков, поскольку аналитические методы решения оказываются невозможными.
В данной работе исследуется начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто и условиями третьего рода. Для решения поставленной задачи в предположении существования точного решения в классе достаточно гладких функций методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи. В силу линейности рассматриваемой задачи эти неравенства позволяют утверждать сходимость приближенного решения к точному решению со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения поставленной задачи.
Список литературы
1. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus: theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. N.Y.: Academic Press, 1974. 234 p.
2. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y.: Wiley, 1993. 366 p.
3. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.
4. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 1. С. 86–94.
5. Будак Б.М., Искендеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176. № 1. С. 20–23.
6. Krall A.M The development of general differential and general differential- boundary systems // Rocky Mountain J. of Mathematics. 1975. Vol. 5. No. 4. Pp. 493–542.
7. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 5. С. 658–664.
8. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Computational Physics. 2015. Vol. 280. Pp. 424–438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031
9. Бештоков М.Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова — Капуто // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2018. № 10. С. 3–16. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_35489206_98749978.pdf (дата обращения 19.08.2020).
10. Бештоков М.Х., Эржибова Ф.А. К краевым задачам для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка // Математические труды. 2020. Т. 23. № 1. С. 16–36. DOI: 10.33048/mattrudy.2020.23.102
11. Beshtokov M.Kh., Khudalov M.Z. Difference methods of the solution of local and non-local boundary-value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order // Stability, control and differential games. Cham: Springer, 2020. Pp. 187-201. DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_17
12. Самарский А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 616 c.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 52-64
The Third Boundary Value Problem for a Loaded Thermal Conductivity Equation with a Fractional Caputo Derivative
https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000222Abstract
Recently, to describe various mathematical models of physical processes, fractional differential calculus has been widely used. In this regard, much attention is paid to partial differential equations of fractional order, which are a generalization of partial differential equations of integer order. In this case, various settings are possible.
Loaded differential equations in the literature are called equations containing values of a solution or its derivatives on manifolds of lower dimension than the dimension of the definitional domain of the desired function. Currently, numerical methods for solving loaded partial differential equations of integer and fractional (porous media) orders are widely used, since analytical solving methods for solving are impossible.
In the paper, we study the initial-boundary value problem for the loaded differential heat equation with a fractional Caputo derivative and conditions of the third kind. To solve the problem on the assumption that there is an exact solution in the class of sufficiently smooth functions by the method of energy inequalities, a priori estimates are obtained both in the differential and difference interpretations. The obtained inequalities mean the uniqueness of the solution and the continuous dependence of the solution on the input data of the problem. Due to the linearity of the problem under consideration, these inequalities allow us to state the convergence of the approximate solution to the exact solution at a rate equal to the approximation order of the difference scheme. An algorithm for the numerical solution of the problem is constructed.
References
1. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus: theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. N.Y.: Academic Press, 1974. 234 p.
2. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y.: Wiley, 1993. 366 p.
3. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.
4. Nakhushev A.M. Nagruzhennye uravneniya i ikh prilozheniya // Differentsial'nye uravneniya. 1983. T. 19. № 1. S. 86–94.
5. Budak B.M., Iskenderov A.D. Ob odnom klasse obratnykh kraevykh zadach s neizvestnymi koeffitsientami // Dokl. AN SSSR. 1967. T. 176. № 1. S. 20–23.
6. Krall A.M The development of general differential and general differential- boundary systems // Rocky Mountain J. of Mathematics. 1975. Vol. 5. No. 4. Pp. 493–542.
7. Alikhanov A.A. Apriornye otsenki reshenii kraevykh zadach dlya uravnenii drobnogo poryadka // Differentsial'nye uravneniya. 2010. T. 46. № 5. S. 658–664.
8. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Computational Physics. 2015. Vol. 280. Pp. 424–438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031
9. Beshtokov M.Kh. K kraevym zadacham dlya vyrozhdayushchikhsya psevdoparabolicheskikh uravnenii s drobnoi proizvodnoi Gerasimova — Kaputo // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Matematika. 2018. № 10. S. 3–16. Rezhim dostupa: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_35489206_98749978.pdf (data obrashcheniya 19.08.2020).
10. Beshtokov M.Kh., Erzhibova F.A. K kraevym zadacham dlya integro-differentsial'nykh uravnenii drobnogo poryadka // Matematicheskie trudy. 2020. T. 23. № 1. S. 16–36. DOI: 10.33048/mattrudy.2020.23.102
11. Beshtokov M.Kh., Khudalov M.Z. Difference methods of the solution of local and non-local boundary-value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order // Stability, control and differential games. Cham: Springer, 2020. Pp. 187-201. DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_17
12. Samarskii A.A. Teoriya raznostnykh skhem: ucheb. posobie. 3-e izd. M.: Nauka, 1989. 616 c.
