Математика и математическое моделирование. 2020; : 1-14
Алгебраические критерии интегральной разделенности решений некоторых классов систем обыкновенных дифференциальных уравнений
https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000220Аннотация
Одним из важных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является исследование свойств линейных систем, удовлетворяющих условию интегральной разделенности. В той или иной форме интегральная разделенность проявляется во всех исследованиях, связанных с изучением асимптотического характера поведения решений линейных систем при действии малых возмущений.
В работах В.М. Миллионщикова, Б.Ф. Былова, Н.А. Изобова, И.Н. Сергеева и др. доказано, что наличие интегральной разделенности является главной причиной грубой устойчивости характеристических показателей Ляпунова, грубой устойчивости старшего показателя Ляпунова, грубой диагонализируемости систем с помощью ляпуновских преобразований, и других фундаментальных свойств линейных дифференциальных систем.
В настоящей работе приведены основные свойства множества линейных систем с постоянными, периодическими, приводимыми коэффициентами, доказаны алгебраические критерии наличия у них свойства интегральной разделенности решений.
Результаты работы могут быть использованы при моделировании динамических процессов.
Список литературы
1. Knopp K., Perron O. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhangig Variable reell ist (Zweite Mitteilung) // J. fur die reine und angewandte Mathematik. 1913. Vol. 1913. No. 143. S. 25–50. DOI: 10.1515/crll.1913.143.25
2. Былов Б.Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Матем. сборник. Новая сер. 1965. Т. 67(109). № 3. С. 338 – 344.
3. Lillo J.C. Perturbations of nonlinear systems //Acta Mathematica. 1960. Vol. 103. No. 1-2. Pp. 123–138. DOI: 10.1007/BF02546527
4. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей диагональной системы // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1785 – 1793.
5. Былов Б.Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1794 – 1803.
6. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1775 – 1784.
7. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 3. С. 438 – 448.
8. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1983. № 9. С. 111 – 166.
9. Palmer K.J. An ordering for linear differential systems and a characterization of exponential separation in terms of reducibility // J. of Differential Equations. 1984. Vol. 53. No. 1. Pp. 67 – 97. DOI: 10.1016/0022-0396(84)90026-3
10. Миллионщиков В.М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1167–1170.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 c.
12. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1991. 303 c.
13. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 448 c.
14. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б.Ф. Былов и др. М.: Наука, 1966. 576 c.
15. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 c.
16. Лерман Л.М. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учебник. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2016. 280 c.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 1-14
Algebraic Criteria of the Integral Separation for Solving Certain Classes of Ordinary Differential Equations Systems
https://doi.org/10.24108/mathm.0320.0000220Abstract
One of the important directions of the qualitative theory of ordinary differential equations is to study the properties of linear systems that satisfy the condition of integral separation. Anyway, integral separation becomes apparent in all studies concerning the asymptotic behavior of the solutions for the linear systems under the action of small perturbations.
The papers of V.M. Millionschikov, B.F. Bylov, N.A. Izobov, I.N. Sergeev et al. proved that the available integral separation is the main reason for the rough stability of the characteristic Lyapunov exponents, the rough stability of the highest Lyapunov exponent, and the rough diagonalizability of systems by Lyapunov transformations, and other fundamental properties of linear differential systems.
The paper presents the basic properties of the set of linear systems with constant, periodic, reducible coefficients and proves the algebraic criteria for their property of integral separation of solutions to be available.
The results can be used in modeling dynamic processes.
References
1. Knopp K., Perron O. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhangig Variable reell ist (Zweite Mitteilung) // J. fur die reine und angewandte Mathematik. 1913. Vol. 1913. No. 143. S. 25–50. DOI: 10.1515/crll.1913.143.25
2. Bylov B.F. O privedenii sistemy lineinykh uravnenii k diagonal'nomu vidu // Matem. sbornik. Novaya ser. 1965. T. 67(109). № 3. S. 338 – 344.
3. Lillo J.C. Perturbations of nonlinear systems //Acta Mathematica. 1960. Vol. 103. No. 1-2. Pp. 123–138. DOI: 10.1007/BF02546527
4. Bylov B.F., Izobov N.A. Neobkhodimye i dostatochnye usloviya ustoichivosti kharakteristicheskikh pokazatelei diagonal'noi sistemy // Differentsial'nye uravneniya. 1969. T. 5. № 10. S. 1785 – 1793.
5. Bylov B.F., Izobov N.A. Neobkhodimye i dostatochnye usloviya ustoichivosti kharakteristicheskikh pokazatelei lineinoi sistemy // Differentsial'nye uravneniya. 1969. T. 5. № 10. S. 1794 – 1803.
6. Millionshchikov V.M. Grubye svoistva lineinykh sistem differentsial'nykh uravnenii // Differentsial'nye uravneniya. 1969. T. 5. № 10. S. 1775 – 1784.
7. Sergeev I.N. Tochnye verkhnie granitsy podvizhnosti pokazatelei Lyapunova sistemy differentsial'nykh uravnenii i povedenie pokazatelei pri vozmushcheniyakh, stremyashchikhsya k nulyu na beskonechnosti // Differentsial'nye uravneniya. 1980. T. 16. № 3. S. 438 – 448.
8. Sergeev I.N. K teorii pokazatelei Lyapunova lineinykh sistem differentsial'nykh uravnenii // Tr. seminara im. I.G. Petrovskogo. 1983. № 9. S. 111 – 166.
9. Palmer K.J. An ordering for linear differential systems and a characterization of exponential separation in terms of reducibility // J. of Differential Equations. 1984. Vol. 53. No. 1. Pp. 67 – 97. DOI: 10.1016/0022-0396(84)90026-3
10. Millionshchikov V.M. Sistemy s integral'noi razdelennost'yu vsyudu plotny v mnozhestve vsekh lineinykh sistem differentsial'nykh uravneniĭ // Differentsial'nye uravneniya. 1969. T. 5. № 7. S. 1167–1170.
11. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoi teorii ustoichivosti. M.: Nauka, 1967. 472 c.
12. Bibikov Yu.N. Kurs obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii: ucheb. posobie. M.: Vyssh. shk., 1991. 303 c.
13. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Kachestvennaya teoriya differentsial'nykh uravnenii. M.-L.: Gostekhizdat, 1947. 448 c.
14. Teoriya pokazatelei Lyapunova i ee prilozheniya k voprosam ustoichivosti / B.F. Bylov i dr. M.: Nauka, 1966. 576 c.
15. Yakubovich V.A., Starzhinskii V.M. Lineinye differentsial'nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami i ikh prilozheniya. M.: Nauka, 1972. 720 c.
16. Lerman L.M. Lektsii po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam: uchebnik. M.: Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika, 2016. 280 c.
