Математика и математическое моделирование. 2020; : 16-32
Наблюдатель состояния для модели кардиостимулятора на основе уравнения Ван дер Поля
https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000216Аннотация
Первая известная модель электрической активности сердца была предложена нидерландским физиологом и основоположником электрокардиографии В. Эйнтховеном [10]. Позже Ван дер Поль и Ван дер Марк [11] построили модель сердца, где сердцебиение рассматривается как релаксационное колебание. С этой точки зрения для моделирования работы кардиостимуляторов можно использовать уравнение Ван дер Поля [14,15,19]. В данной работе моделируется работа только одного узла сердца — сино-атриального узла (САУ), являющегося основным кардиостимулятором сердца [20].
Многие алгоритмы управления динамическими системами базируются на обратной связи, в которой задействуется полный вектор состояния динамической системы. Однако на практике полный вектор состояния известен не всегда. Так, в случае электрической активности сердца измеряют потенциалы узлов, а скорости их изменения не измеряются. Для восстановления полного вектора состояния по имеющимся измерениям часто применяют наблюдатели состояния.
В данной работе решается задача построения наблюдателя с линейной динамикой ошибки [22,25]. Необходимым условием существования такого наблюдателя является наблюдаемость системы. Достаточные условия можно сформулировать в рамках дифференциально-геометрического подхода [25] с использованием идей двойственности [25,26]. В рамках этого подхода можно разработать алгоритм построения наблюдателя. В работе для двумерных систем решается общая задача построения наблюдателя, затем полученные результаты применяются к модели кардиостимулятора на основе осциллятора Ван дер Поля. Работа построенного наблюдателя иллюстрируется путем численного моделирования.
Список литературы
1. Einthoven W.G., Fahr G., de Waart A.A.J. Uber die Richtung und die manifeste Grosse der Potentialschwankungen im menschlichen Herzen und uber den Einfluss der Herzlage auf die Form des Elektrokardiogramms // Pfluger’s Archiv fur die gesamte Physiologie des Menschen und der Tiere. 1913. Bd 150. No. 6-8. S. 275-315. DOI: 10.1007/BF01697566
2. Van der Pol B., van der Mark J. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart // Philosophical Magazine. Ser. 7: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and J. of Science. 1928. Vol. 6. No. 38. Suppl. Pp. 763-775. DOI: 10.1080/14786441108564652
3. Nazari S., Heydari A., Khaligh J. Modified modeling of the heart by applying nonlinear oscillators and designing proper control signal // Applied Mathematics. 2013. No. 4. Pp. 972-978. DOI: 10.4236/am.2013.47134
4. Ryzhii E., Ryzhii M. Modeling of heartbeat dynamics with a system of coupled nonlinear oscillators // Biomedical informatics and technology: 1st Intern. conf. on biomedical informatics and technology: ACBIT 2013 (Aizu-Wakamatsu, Japan, Sept. 16-17, 2013): Revised selected papers. B.; Hdbl.: Springer, 2014. Pp. 66-75. DOI: 10.1007/978-3-642-54121-6_6
5. Grudzinski K., Zebrowski J.J. Modeling cardiac pacemakers with relaxation oscillators // Physica A. 2004. Vol. 336. No. 1-2. Pp. 153-162. DOI: 10.1016/j.physa.2004.01.020
6. Zebrowski J.J., Grudzinski K., Buchner T., Kuklik P., Gac J., Gielerak G., Sanders P., Baranowski R. Nonlinear oscillator model reproducing various phenomena in the dynamics of the conduction system of the heart // Chaos. 2007. Vol. 17. No. 1. Article 015121. DOI: 10.1063/1.2405128
7. Gois S.R.F.S.M., Savi M.A. An analysis of heart rhythm dynamics using a three-coupled oscillator model // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. Vol. 41. No. 5. Pp. 2553-2565. DOI: 10.1016/j.chaos.2008.09.040
8. Петров В.С., Осипов Г.В. Влияние пассивных элементов на синхронизацию осцилляторных ансамблей // Изв. высш. учеб. заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. № 3. С. 46-59. DOI: 10.18500/0869-6632-2010-18-3-46-59
9. Das S., Maharatna K. Fractional dynamical model for the generation of ECG like signals from filtered coupled Van-der Pol oscillators // Computer Methods and Programs in Biomedicine. 2013. Vol. 112. No. 3. Pp. 490-507. DOI: 10.1016/j.cmpb.2013.08.012
10. Abbasi M.A., Javed A., Shahid M.B. Forced Van der Pol oscillator based modeling of cardiac pacemakers // 2012 Cairo Intern. Biomedical Engineering Conf.: CIBEC-2012 (Giza, Egypt, December 20-22, 2012): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 166-170. DOI: 10.1109/CIBEC.2012.6473294
11. Мурашко В.В., Струтынский А.В. Электрокардиография: учеб. пособ. 14-е изд. М.: МЕДпреcс-информ, 2017. 360 с.
12. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007. 224 с.
13. Besancon G. An overview on observer tools for nonlinear systems // Nonlinear observers and applications. B.; Hdbl.: Springer, 2007. Pp. 1-33. DOI: 10.1007/978-3-540-73503-8_1
14. Bestle D., Zeitz M. Canonical form observer design for non-linear time-variable systems // Intern. J. of Control. 1983. Vol. 38. No. 2. Pp. 419-431. DOI: 10.1080/00207178308933084
15. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Принцип разделения для аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2001. T. 37. No 11. C. 1468-1475.
16. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 с.
17. Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Nonlinear k(x)-dual systems and observer design // IFAC Proc. Volumes. 2001. Vol. 34. No. 6. Pp. 1365-1370. DOI: 10.1016/S1474-6670(17)35378-8
18. Krener A.J., Isidori A. Linearization by output injection and nonlinear observers // Systems & Control Letters. 1983. Vol. 3. No. 1. Pp. 47-52. DOI: 10.1016/0167-6911(83)90037-3
19. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 492 с.
20. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления / Я.Я. Алексанкин и др.; под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1990. 334 c.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 16-32
State Observer for the Pacemaker Model Based on the Van der Pol Equation
https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000216Abstract
A Dutch physiologist and a founder of electrocardiography V. Einthoven [10] proposed the first known model of the cardiac electrical activity. Later, van der Pol and van der Mark [11] developed a model of the heart, where the heartbeat is considered as a relaxation oscillation. From this point of view, to model the operation of pacemakers, the van der Pol equation [14,15,19] can be useful. The paper offers modeling of only one heart node that is the S-A (sinoatrial) node, which is the main heart pacemaker [20].
Many control algorithms for dynamic systems are based on feedback, which involves the full state vector of a dynamic system. However, in practice, the full state vector is not always known. So, in the case of cardiac electrical activity, the potentials of the nodes rather than their changing rates are measured. To restore the full state vector from existing measurements, state observers are often used.
In this paper, we solve the task of constructing an observer with linear error dynamics [22.25]. A necessary condition for the existence of such an observer is the system observability. The sufficient conditions can be formulated in the framework of the differential-geometric approach [25] using the ideas of duplicity [25,26]. Within this approach, an algorithm for observer construction can be developed. In the paper, a general problem to construct an observer for two-dimensional systems is solved and the results obtained are applied to the pacemaker model based on the Van der Pol oscillator. The numerical simulation enables us to illustrate operation of the observer developed.
References
1. Einthoven W.G., Fahr G., de Waart A.A.J. Uber die Richtung und die manifeste Grosse der Potentialschwankungen im menschlichen Herzen und uber den Einfluss der Herzlage auf die Form des Elektrokardiogramms // Pfluger’s Archiv fur die gesamte Physiologie des Menschen und der Tiere. 1913. Bd 150. No. 6-8. S. 275-315. DOI: 10.1007/BF01697566
2. Van der Pol B., van der Mark J. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart // Philosophical Magazine. Ser. 7: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and J. of Science. 1928. Vol. 6. No. 38. Suppl. Pp. 763-775. DOI: 10.1080/14786441108564652
3. Nazari S., Heydari A., Khaligh J. Modified modeling of the heart by applying nonlinear oscillators and designing proper control signal // Applied Mathematics. 2013. No. 4. Pp. 972-978. DOI: 10.4236/am.2013.47134
4. Ryzhii E., Ryzhii M. Modeling of heartbeat dynamics with a system of coupled nonlinear oscillators // Biomedical informatics and technology: 1st Intern. conf. on biomedical informatics and technology: ACBIT 2013 (Aizu-Wakamatsu, Japan, Sept. 16-17, 2013): Revised selected papers. B.; Hdbl.: Springer, 2014. Pp. 66-75. DOI: 10.1007/978-3-642-54121-6_6
5. Grudzinski K., Zebrowski J.J. Modeling cardiac pacemakers with relaxation oscillators // Physica A. 2004. Vol. 336. No. 1-2. Pp. 153-162. DOI: 10.1016/j.physa.2004.01.020
6. Zebrowski J.J., Grudzinski K., Buchner T., Kuklik P., Gac J., Gielerak G., Sanders P., Baranowski R. Nonlinear oscillator model reproducing various phenomena in the dynamics of the conduction system of the heart // Chaos. 2007. Vol. 17. No. 1. Article 015121. DOI: 10.1063/1.2405128
7. Gois S.R.F.S.M., Savi M.A. An analysis of heart rhythm dynamics using a three-coupled oscillator model // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. Vol. 41. No. 5. Pp. 2553-2565. DOI: 10.1016/j.chaos.2008.09.040
8. Petrov V.S., Osipov G.V. Vliyanie passivnykh elementov na sinkhronizatsiyu ostsillyatornykh ansamblei // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Prikladnaya nelineinaya dinamika. 2010. T. 18. № 3. S. 46-59. DOI: 10.18500/0869-6632-2010-18-3-46-59
9. Das S., Maharatna K. Fractional dynamical model for the generation of ECG like signals from filtered coupled Van-der Pol oscillators // Computer Methods and Programs in Biomedicine. 2013. Vol. 112. No. 3. Pp. 490-507. DOI: 10.1016/j.cmpb.2013.08.012
10. Abbasi M.A., Javed A., Shahid M.B. Forced Van der Pol oscillator based modeling of cardiac pacemakers // 2012 Cairo Intern. Biomedical Engineering Conf.: CIBEC-2012 (Giza, Egypt, December 20-22, 2012): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 166-170. DOI: 10.1109/CIBEC.2012.6473294
11. Murashko V.V., Strutynskii A.V. Elektrokardiografiya: ucheb. posob. 14-e izd. M.: MEDprecs-inform, 2017. 360 s.
12. Korovin S.K., Fomichev V.V. Nablyudateli sostoyaniya dlya lineinykh sistem s neopredelennost'yu. M.: Fizmatlit, 2007. 224 s.
13. Besancon G. An overview on observer tools for nonlinear systems // Nonlinear observers and applications. B.; Hdbl.: Springer, 2007. Pp. 1-33. DOI: 10.1007/978-3-540-73503-8_1
14. Bestle D., Zeitz M. Canonical form observer design for non-linear time-variable systems // Intern. J. of Control. 1983. Vol. 38. No. 2. Pp. 419-431. DOI: 10.1080/00207178308933084
15. Golubev A.E., Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Printsip razdeleniya dlya affinnykh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2001. T. 37. No 11. C. 1468-1475.
16. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelineinye sistemy: geometricheskie metody analiza i sinteza. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2005. 520 s.
17. Krishchenko A.P., Tkachev S.B. Nonlinear k(x)-dual systems and observer design // IFAC Proc. Volumes. 2001. Vol. 34. No. 6. Pp. 1365-1370. DOI: 10.1016/S1474-6670(17)35378-8
18. Krener A.J., Isidori A. Linearization by output injection and nonlinear observers // Systems & Control Letters. 1983. Vol. 3. No. 1. Pp. 47-52. DOI: 10.1016/0167-6911(83)90037-3
19. Solodovnikov V.V., Plotnikov V.N., Yakovlev A.V. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya tekhnicheskimi sistemami: ucheb. posobie. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 1993. 492 s.
20. Avtomatizirovannoe proektirovanie sistem avtomaticheskogo upravleniya / Ya.Ya. Aleksankin i dr.; pod red. V.V. Solodovnikova. M.: Mashinostroenie, 1990. 334 c.
