Математика и математическое моделирование. 2020; : 1-15
Локальные бифуркации обратимых кусочно-гладких динамических систем на плоскости
https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000213Аннотация
Существует довольно много работ, в которых рассматриваются локальные бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Исследовались также локальные бифуркации гладких векторных полей на плоскости, обратимых относительно инволюции. В настоящей работе вводятся обратимые динамические системы, заданные кусочно-гладкими векторными полями на координатной плоскости (x, y) , для которых линия разрыва у = 0 совпадает с множеством неподвижных точек инволюции системы. Рассматриваются типичные однопараметрические возмущения такого векторного поля. Описаны бифуркации особой точки О векторного поля, лежащей на этой линии в двух случаях. В первом случае точка О – грубое седло гладких векторных полей, совпадающих с кусочно-гладким векторным полем в полуплоскостях y > 0 и y < 0. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку с четырьмя гиперболическими секторами. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, квазицентр и два седла, сепаратрисы которого образуют простой замкнутый контур, ограничивающий ячейку из замкнутых траекторий. Во втором случае О – грубый узел соответствующих векторных полей. Параметр можно выбрать так, что при значениях параметра меньших или равных нулю динамическая система имеет в окрестности точки О единственную особую точку, а все остальные траектории замкнуты. При положительных значениях параметра в окрестности точки О имеется три особых точки, два узла и квазиседло, две сепаратрисы которого идут в узлы.
Список литературы
1. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 218. Pp. 89–113. DOI: 10.2307/1997429
2. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D. 1998. Vol. 112. No. 1–2. Pp. 1–39. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00199-1
3. Lamb J.S.W., Capel H.W. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry // Chaos, Solitons, & Fractals. 1995. Vol. 5. No. 2. Pp. 271–293. DOI: 10.1016/0960-0779(93)E0022-4
4. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields // Physica D. 1997. Vol. 100. No. 1–2. Pp. 101–118. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00183-2
5. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: I. Theory // J. of Differential Equations. 2000. Vol. 167. No. 1. Pp. 16–35. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3779
6. Лерман Л.М., Тураев Д.В. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах // Нелинейная динамика. 2012.T. 8. № 2. С. 323–343.
7. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Обратимые в широком смысле динамические системы // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2015. № 11(208). С. 89–96.
8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
9. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157–2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
10. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov–Hopf bifurcations in planar, piecewise- smooth, continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371.No. 3. Pp. 213–220. DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046
11. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399–2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
12. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016
13. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и технические науки. 2016. № 4 (191). С. 53–59.
14. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Изв. высш. учеб. заведений. Поволжский регион. Физико-матем. науки. 2017. № 2 (42). С. 18–31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2
15. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв» // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и техн. науки. 2017. № 4 (211). С. 22–29.
16. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «полуфокус» кусочно-гладкой динамической системы // Математика и математическое моделирование. 2018. № 5. С. 57-70. DOI: 10.24108/mathm.0518.0000140
17. Палис Ж., Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. 301 с. [Palis J., Melo W.de. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. N.Y.: Springer, 1982. 198 p.].
18. Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л.П. Шильников и др. Ч. 1. М.; Ижевск: ИКИ, 2004. 415 с. [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics / L.P. Shilnikov a.o. Pt. 1. Singapore; L.: World Scientific, 1998. 392 p.].
19. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1984. 271 с.
20. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов и др. М.: Наука, 1966. 568 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2020; : 1-15
Local Bifurcations of Reversible Piecewise Smooth Planar Dynamical Systems
https://doi.org/10.24108/mathm.0120.0000213Abstract
There are quite a few works, which consider local bifurcations of piecewise-smooth vector fields on the plane. A number of papers also studied the local bifurcations of smooth vector fields on the plane that are reversible with respect to involution. In the paper, we introduce reversible dynamical systems defined by piecewise-smooth vector fields on the coordinate plane (x, y) for which the discontinuity line y = 0 coincides with the set of fixed points of the system involution. We consider the generic one-parameter perturbations of such a vector field. The bifurcations of the singular point O lying on this line are described in two cases. In the first case, the point O is a rough saddle of the smooth vector fields that coincide with a piecewise smooth vector field in the half-planes y > 0 and y < 0. The parameter can be chosen so that for parameter values less than or equal to zero, the dynamical system has a unique singular point with four hyperbolic sectors in a vicinity of the point O. For positive values of the parameter in the vicinity of the point O, there are three singular points, a quasi-centre and two saddles, the separatrixes of which form a simple closed contour that bounds the cell from closed trajectories. In the second case, O is a rough node of the corresponding vector fields. The parameter can be chosen so that for values of the parameter less than or equal to zero, the dynamical system has a unique singular point in a vicinity of the point O, and all other trajectories are closed. For positive values of the parameter in the vicinity of the point O, there are three singular points, two nodes and a quasi-saddle, whose two separatrixes go to the nodes.
References
1. Devaney R.L. Reversible diffeomorphisms and flows // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 218. Pp. 89–113. DOI: 10.2307/1997429
2. Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey // Physica D. 1998. Vol. 112. No. 1–2. Pp. 1–39. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00199-1
3. Lamb J.S.W., Capel H.W. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry // Chaos, Solitons, & Fractals. 1995. Vol. 5. No. 2. Pp. 271–293. DOI: 10.1016/0960-0779(93)E0022-4
4. Teixeira M.A. Singularities of reversible vector fields // Physica D. 1997. Vol. 100. No. 1–2. Pp. 101–118. DOI: 10.1016/S0167-2789(96)00183-2
5. Fiedler B., Liebscher S., Alexander J.C. Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters: I. Theory // J. of Differential Equations. 2000. Vol. 167. No. 1. Pp. 16–35. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3779
6. Lerman L.M., Turaev D.V. O bifurkatsiyakh poteri simmetrii v obratimykh sistemakh // Nelineinaya dinamika. 2012.T. 8. № 2. S. 323–343.
7. Virchenko Yu.P., Subbotin A.V. Obratimye v shirokom smysle dinamicheskie sistemy // Nauch. vedomosti BelGU. Ser. Matematika. Fizika. 2015. № 11(208). S. 89–96.
8. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast'yu. M.: Nauka, 1985. 224 s.
9. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157–2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
10. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov–Hopf bifurcations in planar, piecewise- smooth, continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371.No. 3. Pp. 213–220. DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046
11. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399–2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
12. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016
13. Roitenberg V.Sh. O rozhdenii strannogo attraktora iz tochki styka linii razryva vektornogo polya // Vestnik Adygeiskogo gos. un-ta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki. 2016. № 4 (191). S. 53–59.
14. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh v okrestnosti osoboi tochki tipa «trekhkratnyi sshityi fokus» // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Povolzhskii region. Fiziko-matem. nauki. 2017. № 2 (42). S. 18–31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2
15. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh osoboi tochki tipa «sshityi klyuv» // Vestnik Adygeiskogo gos. un-ta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhn. nauki. 2017. № 4 (211). S. 22–29.
16. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh osoboi tochki tipa «polufokus» kusochno-gladkoi dinamicheskoi sistemy // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 2018. № 5. S. 57-70. DOI: 10.24108/mathm.0518.0000140
17. Palis Zh., Melu V. Geometricheskaya teoriya dinamicheskikh sistem. Vvedenie. M.: Mir, 1986. 301 s. [Palis J., Melo W.de. Geometric theory of dynamical systems: an introduction. N.Y.: Springer, 1982. 198 p.].
18. Metody kachestvennoi teorii v nelineinoi dinamike / L.P. Shil'nikov i dr. Ch. 1. M.; Izhevsk: IKI, 2004. 415 s. [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics / L.P. Shilnikov a.o. Pt. 1. Singapore; L.: World Scientific, 1998. 392 p.].
19. Arnol'd V.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya: ucheb. posobie. 3-e izd. M.: Nauka, 1984. 271 s.
20. Kachestvennaya teoriya dinamicheskikh sistem vtorogo poryadka / A.A. Andronov i dr. M.: Nauka, 1966. 568 s.
