Математика и математическое моделирование. 2019; : 15-31
О симметричных решениях линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений
https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000202Аннотация
Линейные матричные дифференциальные уравнения представляют большой интерес для различных областей науки и техники. Так, к исследованию линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений во многих случаях приводит построение решений терминальных задач для нелинейных систем управления. Недавно было показано, что решение задачи Коши для линейного матричного дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами симметрично в односвязной области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда все производные решения, вычисленные в силу уравнения, симметричны в начальной точке. В настоящей работе мы решаем проблему симметричности решений линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений с коэффициентами конечной степени гладкости. Прежде всего, мы доказываем достаточное условие симметричности решения на заданном интервале. Чтобы проверить, является ли решение задачи Коши для уравнения симметричным на интервале, требуется построить две специальные матричные последовательности и вычислить в силу уравнения производные высших порядков исследуемого решения. Если все производные до некоторого порядка включительно симметричны в начальной точке и матричные последовательности удовлетворяют заданному набору свойств, то исследуемое решение симметрично на всем интервале. Полагая, что предложенное условие выполнено, мы устанавливаем формулу, описывающую симметричное решение уравнения. Мы показываем, как эта формула позволяет построить симметричное решение в случае, когда непосредственное интегрирование уравнения представляется затруднительным. Мы также демонстрируем, как с помощью полученной формулы можно построить оценки симметричных решений. Это особенно важно в случае, если непосредственное применение полученной формулы не упрощает вычисления, необходимые для нахождения решений исходного уравнения.
Дальнейшие исследования в этой области могут быть направлены на построение новых оценок для границ спектра симметричных решений линейных нестационарных матричных дифференциальных уравнений. Результаты настоящей работы будут интересны специалистам в нелинейной теории управления, в особенности тем, кто занимается построением решений терминальных задач.
Список литературы
1. Bellman R. Introduction to matrix analysis. N.Y.: McGraw-Hill, 1960. 328 p.
2. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. On the Lyapunov matrix differential equation // IEEE Trans. on Automatic Control. 1986. Vol. 31. No. 9. Pp. 868-869. DOI: 10.1109/TAC.1986.1104416
3. Reid W.T. Riccati differential equations. N.Y.: Academic Press, 1972. 216 p.
4. Knobloch H.W., Pohl M. On Riccati matrix differential equations // Results in Mathematics. 1997. Vol. 31. No. 3-4. Pp. 337-364. DOI: 10.1007/BF03322169
5. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
6. Фетисов Д.А. Об одном методе решения терминальных задач для аффинных систем // Наука и образование МГТУ им. Н.Э. Баумана: электрон. журн. 2013. № 11. С. 383-400. DOI: 10.7463/1113.0622543
7. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для многомерных аффинных систем на основе преобразования к квазиканоническому виду // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2014. № 5. С. 16-31.
8. Apostol T.M. Explicit formulas for solutions of the second-order matrix differential equation Y''+AY // Amer. Math. Monthly. 1975. Vol. 82. No. 2. Pp. 159-162. DOI: 10.2307/2319663
9. Ruiz-Claeyssen J.C., Tsukazan T. Dynamic solutions of linear matrix differential equations // Quarterly of Applied Mathematics. 1990. Vol. 48. No. 1. Pp. 169-179. DOI: 10.1090/qam/1040240
10. Verde-Star L. Operator identities and the solution of linear matrix difference and differential equations // Studies in Applied Mathematics. 1994. Vol. 91. No. 2. Pp.153-177. DOI: 10.1002/sapm1994912153
11. Verde-Star L. Solution of linear differential equations by the method of divided differences // Advances in Applied Mathematics. 1995. Vol. 16. No. 4. Pp. 484-508. DOI: 10.1006/aama.1995.1023
12. Verde-Star L. On linear matrix differential equations // Advances in Applied Mathematics. 2007. Vol. 39. No. 3. Pp. 329-344. DOI: 10.1016/j.aam.2006.06.002
13. Ben Taher R., Rachidi M. Linear matrix differential equations of higher-order and applications // Electronic J. of Differential Equations. 2008. Vol. 2008. No. 95. Pp. 1-12. Режим доступа: http://ejde.math.unt.edu/Volumes/2008/95/bentaher.pdf (дата обращения 03.12.2019).
14. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения высших порядков // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 4. С. 711–714.
15. Деревенский В.П. Матричные двусторонние линейные дифференциальные уравнения // Математические заметки. 1994. Т. 55. № 1. С. 35–42.
16. Деревенский В.П. Матричные линейные дифференциальные уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 11. С. 1925–1926.
17. Деревенский В.П. Системы матричных линейных дифференциальных уравнений первого порядка // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 63–75. DOI: 10.4213/mzm1142
18. Деревенский В.П. Матричные дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными // Изв. высш. учеб. заведений. Сер. Математика. 2010. № 7. С.43–55.
19. Фетисов Д.А. К вопросу о симметричности решений линейных матричных дифференциальных уравнений // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2016. № 3. С.16-26. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-3-16-26
20. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с. [Hartman Ph. Ordinary differential equations. N.Y.: Wiley, [1964]. 612 p.].
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 15-31
On Symmetric Solutions of Linear Time-Varying Matrix Differential Equations
https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000202Abstract
Linear matrix differential equations are of great interest to many branches of science and technology. For instance, an analysis of solutions to linear time-varying matrix differential equations may be required when solving terminal control problems for nonlinear control systems. It has been proven recently that a solution to the initial value problem for a linear matrix differential equation with analytical coefficients is symmetric in a simply connected domain of the complex plane if and only if all the derivatives of the solution calculated along trajectories of the equation are symmetric at the initial point. In the paper, we address the problem of solutions symmetry for linear time-varying matrix differential equations with coefficients of a finite degree of smoothness. First of all, we prove a sufficient condition for the solution symmetry on a given interval. To check whether or not the solution of an initial value problem is symmetric on an interval, one should construct two special matrix sequences and calculate successive derivatives of the solution along trajectories of the equation. If all the derivatives up to some order are symmetric at the initial point and a given set of properties is met for the matrix sequences, then the solution is symmetric over the whole interval. Provided the proposed condition is met, we establish a formula for symmetric solutions of the equation. We demonstrate how this formula enables us to find a symmetric solution to the equation in the case when direct solving does not seem possible for the original equation. Finally, we show that the obtained formula can be applied to construct estimates for symmetric solutions of the equation. This is especially meaningful in the case when the direct use of the formula does not simplify appropriate calculations to find solutions to the original equation.
Further research in this field should be aimed at obtaining novel estimates for the spectrum bounds of symmetric solutions to linear matrix time-varying differential equations. The results of the present work may be interesting for those who deal with constructing solutions to terminal problems for nonlinear control systems.
References
1. Bellman R. Introduction to matrix analysis. N.Y.: McGraw-Hill, 1960. 328 p.
2. Mori T., Fukuma N., Kuwahara M. On the Lyapunov matrix differential equation // IEEE Trans. on Automatic Control. 1986. Vol. 31. No. 9. Pp. 868-869. DOI: 10.1109/TAC.1986.1104416
3. Reid W.T. Riccati differential equations. N.Y.: Academic Press, 1972. 216 p.
4. Knobloch H.W., Pohl M. On Riccati matrix differential equations // Results in Mathematics. 1997. Vol. 31. No. 3-4. Pp. 337-364. DOI: 10.1007/BF03322169
5. Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Robastnaya ustoichivost' i upravlenie. M.: Nauka, 2002. 303 s.
6. Fetisov D.A. Ob odnom metode resheniya terminal'nykh zadach dlya affinnykh sistem // Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana: elektron. zhurn. 2013. № 11. S. 383-400. DOI: 10.7463/1113.0622543
7. Fetisov D.A. Reshenie terminal'nykh zadach dlya mnogomernykh affinnykh sistem na osnove preobrazovaniya k kvazikanonicheskomu vidu // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Estestvennye nauki. 2014. № 5. S. 16-31.
8. Apostol T.M. Explicit formulas for solutions of the second-order matrix differential equation Y''+AY // Amer. Math. Monthly. 1975. Vol. 82. No. 2. Pp. 159-162. DOI: 10.2307/2319663
9. Ruiz-Claeyssen J.C., Tsukazan T. Dynamic solutions of linear matrix differential equations // Quarterly of Applied Mathematics. 1990. Vol. 48. No. 1. Pp. 169-179. DOI: 10.1090/qam/1040240
10. Verde-Star L. Operator identities and the solution of linear matrix difference and differential equations // Studies in Applied Mathematics. 1994. Vol. 91. No. 2. Pp.153-177. DOI: 10.1002/sapm1994912153
11. Verde-Star L. Solution of linear differential equations by the method of divided differences // Advances in Applied Mathematics. 1995. Vol. 16. No. 4. Pp. 484-508. DOI: 10.1006/aama.1995.1023
12. Verde-Star L. On linear matrix differential equations // Advances in Applied Mathematics. 2007. Vol. 39. No. 3. Pp. 329-344. DOI: 10.1016/j.aam.2006.06.002
13. Ben Taher R., Rachidi M. Linear matrix differential equations of higher-order and applications // Electronic J. of Differential Equations. 2008. Vol. 2008. No. 95. Pp. 1-12. Rezhim dostupa: http://ejde.math.unt.edu/Volumes/2008/95/bentaher.pdf (data obrashcheniya 03.12.2019).
14. Derevenskii V.P. Matrichnye lineinye differentsial'nye uravneniya vysshikh poryadkov // Differentsial'nye uravneniya. 1993. T. 29. № 4. S. 711–714.
15. Derevenskii V.P. Matrichnye dvustoronnie lineinye differentsial'nye uravneniya // Matematicheskie zametki. 1994. T. 55. № 1. S. 35–42.
16. Derevenskii V.P. Matrichnye lineinye differentsial'nye uravneniya vtorogo poryadka // Differentsial'nye uravneniya. 1995. T. 31. № 11. S. 1925–1926.
17. Derevenskii V.P. Sistemy matrichnykh lineinykh differentsial'nykh uravnenii pervogo poryadka // Matematicheskie zametki. 1999. T. 66. № 1. S. 63–75. DOI: 10.4213/mzm1142
18. Derevenskii V.P. Matrichnye differentsial'nye uravneniya s razdelyayushchimisya peremennymi // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Ser. Matematika. 2010. № 7. S.43–55.
19. Fetisov D.A. K voprosu o simmetrichnosti reshenii lineinykh matrichnykh differentsial'nykh uravnenii // Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Estestvennye nauki. 2016. № 3. S.16-26. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-3-16-26
20. Khartman F. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya. M.: Mir, 1970. 720 s. [Hartman Ph. Ordinary differential equations. N.Y.: Wiley, [1964]. 612 p.].
