Математика и математическое моделирование. 2019; : 1-14
Приближенные симметрии и законы сохранения дробно-дифференциального обобщения уравнения Бюргерса
https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000197Аннотация
Классическое уравнение Бюргерса хорошо исследовано и часто используется в задачах гидродинамики и нелинейной акустики. В последние годы наблюдается значительный рост интереса к математическим моделям, учитывающих эффект степенной памяти среды. Такие модели описываются уравнениями, в которых производная по времени заменена на производную дробного порядка.
Объектом исследования является обобщенное уравнения Бюргерса с дробной производной Римана-Лиувилля по времени. Влияние памяти среды предполагается малым, поэтому из порядка дробного дифференцирования выделяется малый параметр, по которому выполняется разложение в ряд дробной производной. В результате исходное дробно-дифференциальное обобщение уравнения Бюргерса приближается уравнением с малым параметром. Целью работы является исследование симметрийных свойств такого дифференциального уравнения в частных производных с малым параметром и построение законов сохранения для него. Для достижения цели используются методы современного группового анализа, а также широко известные методы интегрирования систем и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Проведена групповая классификация исследуемого уравнения по функции, стоящей при первой производной по пространственной переменной. Показано, что если эта функция произвольного вида, то допускаемая приближенная группа точечных преобразований является трехпараметрической. Если функция степенная или линейная, то допускаемая приближенная группа точечных преобразований расширяется до пяти- и семипараметрической, соответственно. Построены примеры приближенно инвариантных решений для некоторых допускаемых операторов.
Доказано, что исследуемое уравнение с малым параметром является приближенно нелинейно самосопряженным. На основе принципа нелинейной самосопряженности для каждого оператора группы построены законы сохранения. Показано, что все законы сохранения являются либо тривиальными, либо имеют вид исходного уравнения.
Результаты развивают теорию приближенных групп преобразований для дробно-дифференциальных уравнений. Найденные симметрии могут быть использованы для построения приближенных инвариантных решений рассматриваемого уравнения.
Список литературы
1. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advances in Applied Mechanics. 1948. Vol. 1. Pp. 171–199. DOI: 10.1016/s0065-2156(08)70100-5
2. Su C.H., Gardner C.S. Korteweg‐de Vries equation and generalizations. III. Derivation of the Korteweg‐de Vries equation and Burgers equation // J. of Mathematical Physics. 1969. Vol. 10. No. 3. Pp. 536–538. DOI: 10.1063/1.1664873
3. Уизем Дж.Б. Линейные и нелинейные волны: пер. с англ. М.: Мир, 1977. 622 с. [Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. N.Y.: Wiley, [1974]. 636 p.].
4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн: учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 383 с.
5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amst.; Boston: Elsevier, 2006. 523 p.
6. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
7. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2006. Vol. 368. No. 2. Pp. 399–415. DOI: 10.1016/j.physa.2005.12.015
8. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2008. Vol. 387. No. 8–9. Pp. 1807–1817. DOI: 10.1016/j.physa.2007.11.046
9. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования: учебник: пер. с англ.. 2-е изд. М.: Физматлит, 2012. 332 c. [Ibragimov N.Kh. A practical course in differential equations and mathematical modelling: a textbook. [Hackensack]: World Scientific; Beijing: Higher Education Press, 2010. 348 p.].
10. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N.Kh. Ibragimov. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws. Boca Raton: CRC Press, 1994. 442 p.
11. Газизов Р.К., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник Уфимского гос. авиацион. техн. ун-та (УГАТУ). 2007. Т. 9. № 3(21). С. 125–135. Режим доступа: http://journal.ugatu.ac.ru/index.php/Vestnik/article/view/2347 (дата обращения 9.01.2020).
12. Gazizov R.K., Kasatkin A.A., Lukashchuk S.Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta. 2009. Vol. T136. 014016 (5 p.). DOI: 10.1088/0031-8949/2009/T136/014016
13. Лукащук С.Ю. Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-матем. науки. 2016. Т. 20. № 4. С. 603–619. DOI: 10.14498/vsgtu1520
14. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 687 c.
15. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе // Итоги науки и техники. Сер.: Современные проблемы математики. Новые достижения. 1989. Т. 34. С. 85–147.
16. Ibragimov N. Kh. Nonlinear self-adjointness in constructing conservation laws // Archives of ALGA. 2010-2011. Vol. 7/8. Pp. 1–99.
17. Lukashchuk S.Yu. Approximate conservation laws for fractional differential equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 68. Рp. 147–159. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.08.011
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 1-14
Approximate Symmetries and Conservation Laws of Fractional Differential Generalization of the Burgers Equation
https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000197Abstract
The classical Burgers equation is well studied and is often used in problems of hydrodynamics and nonlinear acoustics. In recent years, there has been a significantly increasing interest in mathematical models that take into account the power-law memory effect of the medium. Such models are described by equations in which the time derivative is replaced by a fractional derivative.
The study object is a generalized Burgers equation with a fractional Riemann-Liouville time derivative. A memory effect of the medium is assumed to be small, so a small parameter, with respect to which the fractional derivative is expanded into a series, is extracted from the fractional-order differentiation. As a result, the initial fractional differential generalization of the Burgers equation is approximated by an equation with a small parameter. The aim of the work is to study the symmetry properties of such a partial differential equation with a small parameter and to construct conservation laws for it. To achieve the goal, methods of modern group analysis are used, as well as widely known methods of integrating systems and partial differential equations of first order.
The group classification of the equation under study is carried out according to the function standing at the first derivative with respect to the spatial variable. It is shown that if this function is of arbitrary form, then the admissible approximate group of point transformations is three-parameter. For power-law and linear functions, the admissible approximate group of point transformations extends to five- and seven-parameter groups, respectively. Examples of approximately invariant solutions for some admissible operators are constructed. It is proved that the studied equation with a small parameter is approximately nonlinearly self-adjoint. Based on the principle of nonlinear self-adjointness, conservation laws are constructed for each group generator. It is shown that all conservation laws are either trivial or have the form of the original equation.
The results develop the theory of approximate transformation groups for fractional differential equations. The obtained symmetries can be used to construct approximate invariant solutions of the equation in question.
References
1. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Advances in Applied Mechanics. 1948. Vol. 1. Pp. 171–199. DOI: 10.1016/s0065-2156(08)70100-5
2. Su C.H., Gardner C.S. Korteweg‐de Vries equation and generalizations. III. Derivation of the Korteweg‐de Vries equation and Burgers equation // J. of Mathematical Physics. 1969. Vol. 10. No. 3. Pp. 536–538. DOI: 10.1063/1.1664873
3. Uizem Dzh.B. Lineinye i nelineinye volny: per. s angl. M.: Mir, 1977. 622 s. [Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. N.Y.: Wiley, [1974]. 636 p.].
4. Vinogradova M.B., Rudenko O.V., Sukhorukov A.P. Teoriya voln: ucheb. posobie. M.: Nauka, 1979. 383 s.
5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations. Amst.; Boston: Elsevier, 2006. 523 p.
6. Uchaikin V.V. Metod drobnykh proizvodnykh. Ul'yanovsk: Artishok, 2008. 512 s.
7. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2006. Vol. 368. No. 2. Pp. 399–415. DOI: 10.1016/j.physa.2005.12.015
8. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2008. Vol. 387. No. 8–9. Pp. 1807–1817. DOI: 10.1016/j.physa.2007.11.046
9. Ibragimov N.Kh. Prakticheskii kurs differentsial'nykh uravnenii i matematicheskogo modelirovaniya: uchebnik: per. s angl.. 2-e izd. M.: Fizmatlit, 2012. 332 c. [Ibragimov N.Kh. A practical course in differential equations and mathematical modelling: a textbook. [Hackensack]: World Scientific; Beijing: Higher Education Press, 2010. 348 p.].
10. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations / Ed. by N.Kh. Ibragimov. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws. Boca Raton: CRC Press, 1994. 442 p.
11. Gazizov R.K., Kasatkin A.A., Lukashchuk S.Yu. Nepreryvnye gruppy preobrazovanii differentsial'nykh uravnenii drobnogo poryadka // Vestnik Ufimskogo gos. aviatsion. tekhn. un-ta (UGATU). 2007. T. 9. № 3(21). S. 125–135. Rezhim dostupa: http://journal.ugatu.ac.ru/index.php/Vestnik/article/view/2347 (data obrashcheniya 9.01.2020).
12. Gazizov R.K., Kasatkin A.A., Lukashchuk S.Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta. 2009. Vol. T136. 014016 (5 p.). DOI: 10.1088/0031-8949/2009/T136/014016
13. Lukashchuk S.Yu. Gruppovaya klassifikatsiya odnogo nelineinogo priblizhennogo uravneniya subdiffuzii // Vestnik Samarskogo gos. tekhn. un-ta. Ser.: Fiz.-matem. nauki. 2016. T. 20. № 4. S. 603–619. DOI: 10.14498/vsgtu1520
14. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987. 687 c.
15. Baikov V.A., Gazizov R.K., Ibragimov N.Kh. Metody vozmushchenii v gruppovom analize // Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Sovremennye problemy matematiki. Novye dostizheniya. 1989. T. 34. S. 85–147.
16. Ibragimov N. Kh. Nonlinear self-adjointness in constructing conservation laws // Archives of ALGA. 2010-2011. Vol. 7/8. Pp. 1–99.
17. Lukashchuk S.Yu. Approximate conservation laws for fractional differential equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 68. Rp. 147–159. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.08.011
