В работе рассматриваются линейные дифференциальные операторы с производными по одной переменной. К таким операторам относятся, в частности, операторы, определенные на бесконечных продолжениях эволюционных систем дифференциальных уравнений с одной пространственной переменной. В этом случае рассматриваются операторы в полных производных по пространственной переменной. Параллельно исследуются линейные дифференциальные операторы с одной независимой переменой. На матрицы операторов того и другого типа обобщаются известные алгоритмы приведения матрицы к ступенчатому или диагональному виду. Данные обобщения применимы в точках, где отличны от нуля функции, на которые делятся компоненты матрицы в процессе применения алгоритма.

Кроме того, определяется интегральный оператор как многозначный оператор, обратный справа к полной производной. Линейные операторы, которые включают в себя как полные производные, так и интегральный оператор, называются интегро-дифференциальными. Обратимый оператор в интегро-дифференциальном смысле - это оператор, для которого существует двусторонне обратный интегро-дифференциальный оператор. Получено описание скалярных дифференциальных операторов, обратимых в этом смысле. Сформулирован алгоритм проверки обратимости в интегро-дифференциальном смысле дифференциального оператора и построения обратного интегро-дифференциального оператора.

Результаты работы могут быть использованы для решения линейных уравнений на матричные дифференциальные операторы, возникающие в теории эволюционных систем с одной пространственной переменной. Такие операторные уравнения возникают при описании систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, при вычислении операторов рекурсии, высших симметрий, законов сохранения и симплектических операторов, а также при решении некоторых других задач. Предлагаемый метод решения операторных уравнений основан на приведении матриц, определяющих операторное уравнение, к ступенчатому или диагональному виду и решении получающихся скалярных операторных уравнений.

The paper studies linear differential operators in derivatives with respect to one variable. Such operators include, in particular, operators defined on infinite prolongations of evolutionary systems of differential equations with one spatial variable. In this case, differential operators in total derivatives with respect to the spatial variable are considered. In parallel, linear differential operators with one independent variable are investigated. The known algorithms for reducing the matrix to a stepwise or diagonal form are generalized to the operator matrices of both types. These generalizations are useful at points, where the functions, into which the matrix components are divided when applying the algorithm, are nonzero.

In addition, the integral operator is defined as a multi-valued operator that is the right inverse of the total derivative. Linear operators that involve both the total derivatives and the integral operator are called integro-differential. An invertible operator in the integro-differential sense is an operator for which there exists a two-sided inverse integro-differential operator. A description of scalar differential operators that are invertible in this sense is obtained. An algorithm for checking the invertibility in the integro-differential sense of a differential operator and for constructing the inverse integro-differential operator is formulated.

The results of the work can be used to solve linear equations for matrix differential operators arising in the theory of evolutionary systems with one spatial variable. Such operator equations arise when describing systems that are integrable by the inverse scattering method, when calculating recursion operators, higher symmetries, conservation laws and symplectic operators, and also when solving some other problems. The proposed method for solving operator equations is based on reducing the matrices defining the operator equation to a stepwise or diagonal form and solving the resulting scalar operator equations.