Математика и математическое моделирование. 2019; : 34-51
Кинетические методы решения нестационарных задач со струйными течениями
https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000192Аннотация
Изучению нестационарных течений разреженного газа в настоящее время уделяется большое внимание. Такой интерес к этим задачам вызван созданием импульсных струй, используемых при нанесении тонких пленок и специальных покрытий на твердые поверхности. Однако проблемы, связанные с нестационарным течением разреженного газа недостаточно изучены из-за их большой вычислительной сложности. В этой статье рассматриваются вычислительные аспекты исследования нестационарного движения отраженного потока газа от стенки и вытекающего через внезапно образованную щель. Целью этого исследования является анализ возможных численных кинетических подходов для решения таких нестационарных задач и выявление трудностей, возникающих при их решении.
При моделировании процессов, происходящих при сильном разрежении необходимо использовать кинетическое уравнение Больцмана, численная реализация которого, как правило, достаточно трудоемка. Чтобы использовать более простые подходы, основанные, например, на аппроксимирующих кинетических уравнениях (Эллипсоидально-статистической модели, модели Шахова), важно оценить отличие решений модельных уравнений от решения уравнения Больцмана. Для этого рассматриваются две вспомогательные задачи: отражение потока газа от стенки и истечение свободной струи в разреженный фоновый газ.
Численное решение этих задач показывает слабую зависимость решения от типа оператора столкновения в разреженной области, но при этом сильную зависимость поведения макропараметров от шага скоростной сетки. Детальная скоростная сетка необходима, чтобы избежать немонотонного поведения макропараметров, вызванных так называемым “эффектом луча”. Для уменьшения вычислительных затрат решения на детальной скоростной сетке предлагается гибридный метод, основанный на синтезе модельных уравнений и уравнения Больцмана. Такой подход может быть перспективным, поскольку уменьшает область применения интеграла столкновений Больцмана.
Результаты, представленные в этой статье, получены использованием двух различных программных комплексов Unified Flow Solver (UFS) [13] и Несветай-3Д [14-15]. Отметим, что в UFS реализован метод дискретных ординат для скоростного пространства на равномерной сетке и иерархическая адаптивная сетка в физическом пространстве как для уравнения Больцмана, так и модельных уравнений. Программный комплекс Несветай-3Д создан для решения модельного уравнения Шахова на неструктурированных неравномерных сетках, как в скоростном, так и в физическом пространствах.
Перевод с русского. Оригинальный текст: Математика и математическое моделирование. 2018. №4. С. 27-44.
Список литературы
1. Sazhin O. Gas flow through a slit into a vacuum in a wide range of rarefaction // J. of Experimental and Theoretical Physics. 2008. Vol. 107. No. 1. Pp. 162-169. DOI: 10.1134/S1063776108070170
2. Sazhin O. Rarefied gas flow through a channel of finite length into a vacuum // J. of Experimental and Theoretical Physics. 2009. Vol. 109. No. 4. Pp. 700-706. DOI: 10.1134/S1063776109100161
3. Sharipov F. Numerical simulation of rarefied gas flow through a thin orifice // J. of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 518. Pp. 35-60. DOI: 10.1017/S0022112004000710
4. Varoutis S., Valougeorgis D., Sazhin O., Sharipov F. Rarefied gas flow through short tubes into vacuum // J. of Vacuum Science & Technology A. 2008. Vol. 26. No. 2. Pp. 228-238. DOI: 10.1116/1.2830639
5. Titarev V.A., Shakhov E.M. Rarefied gas flow into vacuum through a pipe composed of two circular sections of different radii // Vacuum. 2014. Vol. 109. Pp. 236-245. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.02.019
6. Aristov V.V., Shakhov E.M., Titarev V.A., Zabelok S.A. Comparative study for rarefied gas flow into vacuum through a short circular pipe // Vacuum. 2014. Vol. 103. Pp. 5-8. DOI: 10.1016/j.vacuum.2013.11.003
7. Титарев В.А., Утюжников С.В., Шахов Е.М. Истечение разреженного газа в вакуум через трубу квадратного сечения, переменного по длине // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. T. 53. № 8. C. 1402–1411. DOI: 10.7868/S0044466913060197
8. Ларина И.Н., Рыков В.А. Численное исследование нестационарных течений двухатомного разреженного газа в плоском микроканале // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. T. 54. № 8. С. 1332–1344. DOI: 10.7868/S0044466914080080
9. Vargas M., Naris S., Valougeorgis D., Pantazis S., Jousten K. Time-dependent rarefied gas flow of single gases and binary gas mixtures into vacuum // Vacuum. 2014. Vol. 109. Pp. 385-396. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.06.024
10. Конопелько Н.А., Шахов Е.М. Развитие и установление истечения разреженного газа из резервуара через плоский канал в вакуум // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57. № 10. С. 1722–1733. DOI: 10.7868/S004446691710009X
11. Morozov A.A. Analysis of time-of-flight distributions under pulsed laser ablation in vacuum based on the DSMC calculations // Applied Physics A: Materials Science & Processing. 2013. Vol. 111. No. 4. Pp. 1107-1112. DOI: 10.1007/s00339-012-7325-4
12. Титарев В.А., Фролова А.А., Шахов Е.М. Отражение потока разреженного газа от стенки с отверстием и истечение газа в вакуум // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2019. № 4. С. 111-118. DOI: 10.1134/S0568528119040108
13. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., Zabelok S.A. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement // J. of Computational Physics. 2007. Vol. 223. No. 2. Pp. 589-608. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.021
14. Titarev V.A. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas flows// Communications in Computational Physics. 2012. Vol. 12. No. 1. Pp. 162-192. DOI: 10.4208/cicp.220111.140711a
15. Титарев В.А. Программный комплекс моделирования трехмерных течений одноатомного разреженного газа. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ 2017613138 от 10.04.2017.
16. Chai J.C, Lee H.S., Patankar S.V. Ray effect and false scattering in the discrete ordinates method // Numerical Heat Transfer B: Fundamentals. 1993. Vol. 24. No. 4. Pp. 373-389. DOI: 10.1080/10407799308955899
17. Brull S., Mieussens L. Local discrete velocity grids for deterministic rarefied flow simulations // J. of Computational Physics. 2014. Vol. 266. Pp. 22-46. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.01.050
18. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 с. [Kogan M.N. Rarefied gas dynamics. N.Y.: Plenum Press, 1969. 515 p.].
19. Шахов Е.М. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука // Изв. АН. СССР. Механика жидкости и газа. 1968. № 5. С.142-145.
20. Holway L.H. jr. New statistical models for kinetic theory: Methods of construction // Physics of Fluids. 1966. Vol. 9. No. 9. Pp. 1658-1673. DOI: 10.1063/1.1761920
21. Chunpei Cai, Boyd I.D. Theoretical and numerical study of free molecular-flow problems // J. of Spacecraft and Rockets. 2007. Vol. 44. No. 3. Pp. 619-624. DOI: 10.2514/1.25893
22. Chunpei Cai. Theoretical and numerical studies of plume flows in vacuum chambers. Cand. diss. Ann Arbor: Univ. of Michigan, 2005. 212 p.
23. Arslanbekov R.R., Kolobov V. I., Frolova A.A. Kinetic solvers with adaptive mesh in phase space // Physical Review E. 2013. Vol. 88. No. 6. P. 063301. DOI: 10.1103/PhysRevE.88.063301
24. Morris A.B., Varghese P.L., Goldstein D.B. Monte Carlo solution of the Boltzmann equation via a discrete velocity model // J. of Computational Physics. 2011. Vol. 230. No. 4. Pp. 1265-1280. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.10.037
25. Chang Liu, Kun Xu, Quanhua Sun, Qingdong Cai. A unified gas-kinetic scheme for continuum and rarefied flows IV: Full Boltzmann and model equations // J. of Computational Physics. 2016. Vol. 314. Pp. 305- 340. DOI: 10.1016/j.jcp.2016.03.014
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 34-51
Kinetic Methods for Solving Unsteady Problems with Jet Flows
https://doi.org/10.24108/mathm.0419.0000192Abstract
The study of nonstationary rarefied gas flows is currently paid much attention. Such interest to these problems is caused by the creation of pulsed jets used for the deposition of thin films and special coatings on solid surfaces. However the problems of nonstationary rarefied gas flows have not been studied sufficiently fully because of their large computational complexity. In this paper the computational aspects of investigating the nonstationary flows of a reflected gas from a wall and flowing through a suddenly formed gap is considering. The objective of this study is to analyze the possible numerical kinetic approaches for solving such nonstationary problems and to identify the difficulties encountered in solving.
When studying the gas flows in strong rarefaction regimes one should consider the Boltzmann kinetic equation, but its numerical implementation is rather laborious. In order to use more simple approaches based for example on approximation kinetic equations (Ellipsoidal-Statistical model, Shakhov model), it is important to estimate the difference of the solutions of the model equations and the Boltzmann equation. For this purpose two auxiliary problems are considered: reflection of the gas flow from the wall and outflow of the free jet into the rarefied background gas. Numerical solution of these problems shows a weak dependence of the solution on the type of the collision operator in the rarefied region, but a strong dependence on the velocity grid step . The detailed velocity grid is necessary to avoid non-monotonous behavior of macroparameters caused by the “ray effect”. To reduce numerical costs on detailed grid a hybrid method based on the synthesis of model equation and the Boltzmann equation is proposed. Such approach can be promising since it reduces the domain in which the Boltzmann collision integral should be used.
The results presented in this paper were obtained using two different software packages Unified Flow Solver (UFS) [13] and Nesvetay 3D [14-15]. Note that UFS uses the discrete ordinate method for velocity space on a uniform grid and a hierarchical adaptive mesh refinement in physical space. The possibility of calculating both the Boltzmann equation and model equations is realized. The Nesvetay 3D complex was created to solve the Shakhov model equation, (S-model) and makes it possible to calculate on non-structured non uniform grids in velocity and physical spaces.
Translated from Russian. Original text: Mathematics and Mathematical Modeling. 2018. no. 4. Pp. 27-44.
References
1. Sazhin O. Gas flow through a slit into a vacuum in a wide range of rarefaction // J. of Experimental and Theoretical Physics. 2008. Vol. 107. No. 1. Pp. 162-169. DOI: 10.1134/S1063776108070170
2. Sazhin O. Rarefied gas flow through a channel of finite length into a vacuum // J. of Experimental and Theoretical Physics. 2009. Vol. 109. No. 4. Pp. 700-706. DOI: 10.1134/S1063776109100161
3. Sharipov F. Numerical simulation of rarefied gas flow through a thin orifice // J. of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 518. Pp. 35-60. DOI: 10.1017/S0022112004000710
4. Varoutis S., Valougeorgis D., Sazhin O., Sharipov F. Rarefied gas flow through short tubes into vacuum // J. of Vacuum Science & Technology A. 2008. Vol. 26. No. 2. Pp. 228-238. DOI: 10.1116/1.2830639
5. Titarev V.A., Shakhov E.M. Rarefied gas flow into vacuum through a pipe composed of two circular sections of different radii // Vacuum. 2014. Vol. 109. Pp. 236-245. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.02.019
6. Aristov V.V., Shakhov E.M., Titarev V.A., Zabelok S.A. Comparative study for rarefied gas flow into vacuum through a short circular pipe // Vacuum. 2014. Vol. 103. Pp. 5-8. DOI: 10.1016/j.vacuum.2013.11.003
7. Titarev V.A., Utyuzhnikov S.V., Shakhov E.M. Istechenie razrezhennogo gaza v vakuum cherez trubu kvadratnogo secheniya, peremennogo po dline // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2013. T. 53. № 8. C. 1402–1411. DOI: 10.7868/S0044466913060197
8. Larina I.N., Rykov V.A. Chislennoe issledovanie nestatsionarnykh techenii dvukhatomnogo razrezhennogo gaza v ploskom mikrokanale // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2014. T. 54. № 8. S. 1332–1344. DOI: 10.7868/S0044466914080080
9. Vargas M., Naris S., Valougeorgis D., Pantazis S., Jousten K. Time-dependent rarefied gas flow of single gases and binary gas mixtures into vacuum // Vacuum. 2014. Vol. 109. Pp. 385-396. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.06.024
10. Konopel'ko N.A., Shakhov E.M. Razvitie i ustanovlenie istecheniya razrezhennogo gaza iz rezervuara cherez ploskii kanal v vakuum // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2017. T. 57. № 10. S. 1722–1733. DOI: 10.7868/S004446691710009X
11. Morozov A.A. Analysis of time-of-flight distributions under pulsed laser ablation in vacuum based on the DSMC calculations // Applied Physics A: Materials Science & Processing. 2013. Vol. 111. No. 4. Pp. 1107-1112. DOI: 10.1007/s00339-012-7325-4
12. Titarev V.A., Frolova A.A., Shakhov E.M. Otrazhenie potoka razrezhennogo gaza ot stenki s otverstiem i istechenie gaza v vakuum // Izv. RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2019. № 4. S. 111-118. DOI: 10.1134/S0568528119040108
13. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., Zabelok S.A. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement // J. of Computational Physics. 2007. Vol. 223. No. 2. Pp. 589-608. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.021
14. Titarev V.A. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas flows// Communications in Computational Physics. 2012. Vol. 12. No. 1. Pp. 162-192. DOI: 10.4208/cicp.220111.140711a
15. Titarev V.A. Programmnyi kompleks modelirovaniya trekhmernykh techenii odnoatomnogo razrezhennogo gaza. Svidetel'stvo o gos. registratsii programmy dlya EVM 2017613138 ot 10.04.2017.
16. Chai J.C, Lee H.S., Patankar S.V. Ray effect and false scattering in the discrete ordinates method // Numerical Heat Transfer B: Fundamentals. 1993. Vol. 24. No. 4. Pp. 373-389. DOI: 10.1080/10407799308955899
17. Brull S., Mieussens L. Local discrete velocity grids for deterministic rarefied flow simulations // J. of Computational Physics. 2014. Vol. 266. Pp. 22-46. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.01.050
18. Kogan M.N. Dinamika razrezhennogo gaza. M.: Nauka, 1967. 440 s. [Kogan M.N. Rarefied gas dynamics. N.Y.: Plenum Press, 1969. 515 p.].
19. Shakhov E.M. Ob obobshchenii relaksatsionnogo kineticheskogo uravneniya Kruka // Izv. AN. SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza. 1968. № 5. S.142-145.
20. Holway L.H. jr. New statistical models for kinetic theory: Methods of construction // Physics of Fluids. 1966. Vol. 9. No. 9. Pp. 1658-1673. DOI: 10.1063/1.1761920
21. Chunpei Cai, Boyd I.D. Theoretical and numerical study of free molecular-flow problems // J. of Spacecraft and Rockets. 2007. Vol. 44. No. 3. Pp. 619-624. DOI: 10.2514/1.25893
22. Chunpei Cai. Theoretical and numerical studies of plume flows in vacuum chambers. Cand. diss. Ann Arbor: Univ. of Michigan, 2005. 212 p.
23. Arslanbekov R.R., Kolobov V. I., Frolova A.A. Kinetic solvers with adaptive mesh in phase space // Physical Review E. 2013. Vol. 88. No. 6. P. 063301. DOI: 10.1103/PhysRevE.88.063301
24. Morris A.B., Varghese P.L., Goldstein D.B. Monte Carlo solution of the Boltzmann equation via a discrete velocity model // J. of Computational Physics. 2011. Vol. 230. No. 4. Pp. 1265-1280. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.10.037
25. Chang Liu, Kun Xu, Quanhua Sun, Qingdong Cai. A unified gas-kinetic scheme for continuum and rarefied flows IV: Full Boltzmann and model equations // J. of Computational Physics. 2016. Vol. 314. Pp. 305- 340. DOI: 10.1016/j.jcp.2016.03.014
