Математика и математическое моделирование. 2019; : 36-44
О приближении значений некоторых гипергеометрических функций специального вида с иррациональными параметрами
https://doi.org/10.24108/mathm.0319.0000191Аннотация
В работе изучается арифметическая природа значений обобщенных гипергеометрических функций и их производных. Для решения такой задачи часто используют метод Зигеля. Первым шагом соответствующего рассуждения является построение с помощью принципа Дирихле функциональной линейной приближающей формы, имеющей высокий порядок нуля в начале координат.
Гипергеометрическая функция задается в виде суммы степенного ряда, коэффициентами которого являются произведения значений некоторой рациональной функции. Взятые с противоположным знаком нули числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей обобщенной гипергеометрической функции. Если параметры иррациональны, то применить метод Зигеля, как правило, не удается. В этом случае применяют метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы.
Дополнительные трудности возникают в случае, когда отличен от тождественной единицы числитель рациональной функции, участвующей в формировании коэффициентов рассматриваемой гипергеометрической функции. В этой ситуации даже наличие эффективной конструкции приближающей формы еще не гарантирует возможность получения арифметического результата. В данной работе рассматривается именно такой случай. Для преодоления возникающих здесь трудностей значения соответствующей гипергеометрической функции и ее производных берутся лишь в малых точках, а на параметры функции наложены дополнительные ограничения.
Список литературы
1. Siegel C.L. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen // Abh. der Preussischen Akad. der Wiss. Phys.-Math. Kl. 1929-1930. Nr. 1. S. 1-70.
2. Siegel C.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton Univ. Press, 1949. 102 p.
3. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.
4. Галочкин А.И. О некотором аналоге метода Зигеля // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 1986. № 2. С. 30-34.
5. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во МГУ, 1982. 312 с.
6. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера с иррациональным параметром // Математические заметки. 1991. Т. 49. Вып. 2. С. 55-63.
7. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 191 - 206.
8. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Математический сборник. 1991. Т. 182. № 2. С. 283-302.
9. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17. № 6. С. 1220-1235.
10. Галочкин А.И. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 6. С. 27-32.
11. Иванков П.Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 6. С. 65-72.
12. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8. № 1. С. 19-28.
13. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика. Механика. 1978. № 6. С. 25-32.
14. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика. Механика. 1979. № 1. С. 26-30.
15. Иванков П.Л. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2000. № 1(452). С. 31-36.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 36-44
On Values Approximation of Some Special Type Hypergeometric Functions with Irrational Parameters
https://doi.org/10.24108/mathm.0319.0000191Abstract
In this paper we investigate arithmetic nature of the values of generalized hypergeometric functions and their derivatives. To solve the problem one often makes use of Siegel’s method. The first step in corresponding reasoning is, using the pigeonhole principle, to construct a functional linear approximating form, which has high order of zero at the origin of the coordinates.
A hypergeometric function is defined as a sum of a power series whose coefficients are the products of the values of some rational function. Taken with the opposite sign, the zeroes of a numerator and a denominator of this rational function are called parameters of the corresponding generalized hypergeometric function. If the parameters are irrational it is impossible, as a rule, to employ Siegel’s method. In this case one applies the method based on the effective construction of the linear approximating form.
Additional difficulties arise in case the rational function numerator involved in the formation of the coefficients of the hypergeometric function under consideration is different from the identical unit. In this situation even the availability of the effective construction of approximating form does not enable achieving an arithmetic result yet. In this paper we consider just such a case. To overcome difficulties arisen here we consider the values of the corresponding hypergeometric function and its derivatives at small points only and impose additional restrictions on parameters of the function.
References
1. Siegel C.L. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen // Abh. der Preussischen Akad. der Wiss. Phys.-Math. Kl. 1929-1930. Nr. 1. S. 1-70.
2. Siegel C.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton Univ. Press, 1949. 102 p.
3. Shidlovskii A.B. Transtsendentnye chisla. M.: Nauka, 1987. 447 s.
4. Galochkin A.I. O nekotorom analoge metoda Zigelya // Vestnik Mosk. un-ta. Ser. 1: Matematika. Mekhanika. 1986. № 2. S. 30-34.
5. Fel'dman N.I. Sed'maya problema Gil'berta. M.: Izd-vo MGU, 1982. 312 s.
6. Ivankov P.L. Otsenki snizu lineinykh form ot znachenii funktsii Kummera s irratsional'nym parametrom // Matematicheskie zametki. 1991. T. 49. Vyp. 2. S. 55-63.
7. Ivankov P.L. O lineinoi nezavisimosti znachenii nekotorykh funktsii // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 1995. T. 1. Vyp. 1. S. 191 - 206.
8. Ivankov P.L. Ob arifmeticheskikh svoistvakh znachenii gipergeometricheskikh funktsii // Matematicheskii sbornik. 1991. T. 182. № 2. S. 283-302.
9. Galochkin A.I. Ob arifmeticheskikh svoistvakh znachenii nekotorykh tselykh gipergeometricheskikh funktsii // Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1976. T. 17. № 6. S. 1220-1235.
10. Galochkin A.I. O nekotorykh arifmeticheskikh svoistvakh koeffitsientov funktsii Kummera // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2005. T. 11. № 6. S. 27-32.
11. Ivankov P.L. O znacheniyakh gipergeometricheskikh funktsii s razlichnymi irratsional'nymi parametrami // Fundamental'naya i prikladnaya matematika. 2005. T. 11. № 6. S. 65-72.
12. Galochkin A.I. Otsenki snizu lineinykh form ot znachenii nekotorykh gipergeometricheskikh funktsii // Matematicheskie zametki. 1970. T. 8. № 1. S. 19-28.
13. Galochkin A.I. O diofantovykh priblizheniyakh znachenii nekotorykh tselykh funktsii s algebraicheskimi koeffitsientami. I // Vestnik MGU. Ser. 1: Matematika. Mekhanika. 1978. № 6. S. 25-32.
14. Galochkin A.I. O diofantovykh priblizheniyakh znachenii nekotorykh tselykh funktsii s algebraicheskimi koeffitsientami. II // Vestnik MGU. Ser. 1: Matematika. Mekhanika. 1979. № 1. S. 26-30.
15. Ivankov P.L. O vychislenii postoyannykh, vkhodyashchikh v otsenki lineinykh form // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Matematika. 2000. № 1(452). S. 31-36.
