Математика и математическое моделирование. 2019; : 29-47
Дробно-дифференциальная модель процесса теплопроводности сегнетоэлектрических материалов в условиях интенсивного нагрева
https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000185Аннотация
Сегнетоэлектрические материалы по ряду характеристик ведут себя как эредитарные среды с фрактальной структурой. Для математического моделирования систем с эффектом памяти используют дробную производную по времени. Пироэлектрические свойства сегнетоэлектриков обуславливают интерес к развитию дробно-дифференциального подхода к моделированию процесса теплопроводности.
Работа посвящена разработке и численной реализации фрактальной модели процесса теплопроводности эредитарных сред на основе концепций дробно-дифференциального исчисления в приложении к описанию процессов интенсивного нагрева сегнетоэлектрических материалов.
Предложена математическая модель процесса теплопроводности, формализованная с помощью смешанной начально-граничной задачи для уравнения с частными производными, включающего производную дробного порядка по времени и нелинейную зависимость теплоемкости от температуры. Сконструирован вычислительный алгоритм решения задачи на основе аналога конечно-разностной схемы Кранка – Николсон с использованием формулы Грюнвальда – Летникова для аппроксимации производной дробного порядка по времени. Аппроксимация граничного условия Неймана учитывается в модифицированных уравнениях при переходе от дифференциальной задачи к конечно-разностной на основе введения фиктивных узлов сетки. Итоговая система линейных алгебраических уравнений решается методом прогонки.
Разработана прикладная программа, позволяющая проводить компьютерное моделирование процесса теплопроводности для эредитарных сред в одной из частных постановок. Проведена проверка адекватности результатов численного моделирования на тест-задаче. Результаты компьютерного моделирования продемонстрированы для прикладной задачи – оценки температурного распределения в образце типичного сегнетоэлектрика триглицинсульфата при интенсивном, по отношению к температуре фазового перехода, тепловом нагреве. Приближенно оценен порядок дробного дифференцирования (~0.7) на основе сравнения результатов реализации фрактальной модели (при варьировании данного параметра) с экспериментальными данными по оценке времени достижения температуры Кюри. Это свидетельствует о необходимости использования модифицированных моделей при анализе полевых эффектов, возникающих в эредитарных средах.
Список литературы
1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы: учеб. пособие. М.; Ижевск: Регуляр. и хаот. динамика, 2001. 128 с.
2. Podlubny I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.
3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 271 с.
4. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
5. Luchko Yu. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications. 2010. Vol. 59. No. 5. Pp. 1766–1772. DOI: 10.1016/j.camwa.2009.08.015
6. Kemppainen J.T. Existence and uniqueness of the solution for a time-fractional diffusion equation with Robin boundary condition // Abstract and Applied Analysis. 2011. Article ID 321903. 11 p. DOI: 10.1155/2011/321903
7. Zhou Yong. Basic theory of fractional differential equations. New Jersey: World Scientific, [2014]. 293 p.
8. Журавков М.А., Романова Н.С. О перспективах использования теории дробного исчисления в механике. Минск: Изд-во БГУ, 2013. 53 с.
9. Корчагина А.Н. Использование производных дробного порядка для решения задач механики сплошных сред // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2014. T. 1. № 1(81). С. 65–67. DOI: 10.14258/izvasu(2014)1.1-14
10. Учайкин В.В., Сибатов Р.Т. Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса как следствие его автомодельности // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т. 86. Вып. 8. С. 584–588.
11. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 4. С. 660–670.
12. Ревизников Д.Л., Сластушенский Ю.В. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале // Математическое моделирование. 2013. № 5. С. 3–14.
13. Овсиенко А.С. Идентификация параметров процесса аномальной диффузии на основе разностных уравнений // Вычислительные технологии. 2013. Т. 18. № 1. С. 65–73.
14. Бабенко Ю.И. Метод дробного дифференцирования в прикладных задачах теории тепломассобмена. СПб.: Профессионал, 2009. 584 с.
15. Sierociuk D., Dzielinski A., Sarwas G., Petras I., Podlubny I., Skovranek T. Modelling heat transfer in heterogeneous media using fractional calculus // Philosophical Trans. of the Royal Soc. A: Mathematical Physical and Engineering Sciences. 2013. Vol. 371. No. 1990. Article ID 20120146. 10 p. DOI: 10.1098/rsta.2012.0146
16. Zecová M., Terpák J. Heat conduction modeling by using fractional-order derivatives // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 257. Pp. 365–373. DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.136
17. Петухов А.А., Ревизников Д.Л. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. № 6. С. 228–234.
18. Al-Shibani F.S., Ismail A.I.Md., Abdullah F.A. Compact finite difference methods for the solution of one dimensional anomalous sub-diffusion equation // General Mathematical Notes. 2013. Vol. 18. No. 2. Pp. 104–119.
19. Mahdy A.M.S., Khader M.M., Sweilam N.H. Сrank-Nicolson finite difference method for solving time-fractional diffusion equation // J. of Fractional Calculus and Applications. 2012. Vol. 2. No. 2. Pp. 1–9.
20. Ali U., Abdullah F.A., Ismail A.I. Crank-Nicolson finite difference method for two-dimensional fractional sub-diffusion equation // J. of Interpolation and Approximation in Scientific Computing. 2017. No. 2. Pp. 18–29. DOI: 10.5899/2017/jiasc-00117
21. Sontakke B.R., Shelke A.S. Approximate scheme for time fractional diffusion equation and its applications // Global J. of Pure and Applied Mathematics. 2017. Vol. 13. No. 8. Pp. 4333–4345.
22. Scherer R., Kalla S.L., Yifa Tang, Jianfei Huang. The Grünwald-Letnikov method for fractional differential equations // Computers & Mathematics with Applications. 2011. Vol. 62. No. 3. Pp. 902–917. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.03.054
23. Galiyarova N.M., Bey A.B., Kuznetzov E.A., Korchmariyuk Ia.I. Fractal dimensionalities and microstructure parameters of piezoceramic PZTNB-1 // Ferroelectrics. 2004. Vol. 307. No. 1. Pp. 205–211. DOI: 10.1080/00150190490492970
24. Roy M.K., Paul J., Dattagupta S. Domain dynamics and fractal growth analysis in thin ferroelectric films // J. of Applied Physics. 2010. Vol. 108. No. 1. Article ID 014108. DOI: 10.1063/1.3456505
25. Мейланов Р.П., Садыков С.А. Фрактальная модель кинетики переключения поляризации в сегнетоэлектриках // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. № 5. С. 128–129.
26. Maslovskaya A.G., Barabash T.K. Fractal model of polarization switching kinetics in ferroelectrics under nonequilibrium conditions of electron irradiation // J. of Physics: Conf. Ser. 2018. Vol. 973. No. 1. Pp. 012038–012049. DOI: 10.1088/1742-6596/973/1/012038
27. Bin Zhang. Model for coupled ferroelectric hysteresis using time fractional operators: Application to innovative energy harvesting. Doct. diss. Lyon, 2014. 95 p.
28. Lines M.E, Glass A.M. Principles and applications of ferroelectrics and related materials. Oxford: Clarendon Press; N.Y.: Oxford Univ. Press, 2001. 680 p.
29. Масловская А.Г. Моделирование взаимодействия электронных пучков с полярными диэлектриками: дис. … канд. физ.-мат. наук. Благовещенск, 2004. 174 с.
30. Malyshkina O.V., Movchikova A.A., Grechishkin R.M., Kalugina O.N. Use of the thermal square wave method to analyze polarization state in ferroelectric materials // Ferroelectrics. 2010. Vol. 400. No. 1. Pp. 63–75. DOI: 10.1080/00150193.2010.505470
31. Струков Б.А., Рагула Е.П., Архангельская С.В., Шнайдшейн И.В. О логарифмической сингулярности теплоемкости вблизи фазовых переходов в одноосных сегнетоэлектриках // Физика твердого тела. 1998. Т. 40. № 1. С. 106–108.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 29-47
Fractional-Differential Model of Heat Conductivity Process in Ferroelectrics under the Intensive Heating Conditions
https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000185Abstract
Ferroelectrics, due a number of characteristics, behave as hereditary materials with fractal structure. To model mathematically the systems with so-called memory effects one can use the fractional time-derivatives. The pyro-electric properties of ferroelectrics arouse interest in developing the fractional-differential approach to simulating heat conductivity process.
The present study deals with development and numerical implementation of fractal heat conductivity model for hereditary materials using the concepts of fractional-differential calculus applied to the simulation of intensive heating processes in ferroelectrics.
The paper proposes a mathematical model governed through mixed initial-boundary value problem for partial differential equation containing a fractional time-derivative as well as nonlinear temperature dependence on the heat capacity. To solve the problem the computational algorithm was designed which is based on an analog of the Crank – Nicolson finite difference scheme combining with the Grunwald – Letnikov formula for fractional time-derivative approximation. The approximation of Neumann boundary condition is included into the finite difference problem statement using scheme of fictitious mesh points. The total system of linear algebraic equations is solved by sweep method.
The designed application program allows one to perform the computer simulation of heat conductivity process in hereditary materials. The model verification was performed for numerical solving test problem with known analytical solution. The results of computational experiments are demonstrated for the example of estimating heat distribution in a typical ferroelectric crystal of TGS (triglycine sulfate) near the temperature of phase transition. The fractional derivative order was approximately evaluated to be ~0.7 at variation of this parameter. We applied the comparison of fractal model implementation results with experimental data related to the time when the ferroelectric crystal is heated to Curie temperature. These findings demonstrate that one needs to use the modified models at the analysis of the field effects arising in hereditary materials.
References
1. Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktaly i mul'tifraktaly: ucheb. posobie. M.; Izhevsk: Regulyar. i khaot. dinamika, 2001. 128 s.
2. Podlubny I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.
3. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie. M.: Fizmatlit, 2003. 271 s.
4. Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka. M.: Nauka, 2005. 199 s.
5. Luchko Yu. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation // Computers and Mathematics with Applications. 2010. Vol. 59. No. 5. Pp. 1766–1772. DOI: 10.1016/j.camwa.2009.08.015
6. Kemppainen J.T. Existence and uniqueness of the solution for a time-fractional diffusion equation with Robin boundary condition // Abstract and Applied Analysis. 2011. Article ID 321903. 11 p. DOI: 10.1155/2011/321903
7. Zhou Yong. Basic theory of fractional differential equations. New Jersey: World Scientific, [2014]. 293 p.
8. Zhuravkov M.A., Romanova N.S. O perspektivakh ispol'zovaniya teorii drobnogo ischisleniya v mekhanike. Minsk: Izd-vo BGU, 2013. 53 s.
9. Korchagina A.N. Ispol'zovanie proizvodnykh drobnogo poryadka dlya resheniya zadach mekhaniki sploshnykh sred // Izv. Altaiskogo gos. un-ta. 2014. T. 1. № 1(81). S. 65–67. DOI: 10.14258/izvasu(2014)1.1-14
10. Uchaikin V.V., Sibatov R.T. Drobno-differentsial'naya kinetika dispersionnogo perenosa kak sledstvie ego avtomodel'nosti // Pis'ma v ZhETF. 2007. T. 86. Vyp. 8. S. 584–588.
11. Kochubei A.N. Diffuziya drobnogo poryadka // Differentsial'nye uravneniya. 1990. T. 26. № 4. S. 660–670.
12. Reviznikov D.L., Slastushenskii Yu.V. Chislennoe modelirovanie anomal'noi diffuzii bil'yardnogo gaza v poligonal'nom kanale // Matematicheskoe modelirovanie. 2013. № 5. S. 3–14.
13. Ovsienko A.S. Identifikatsiya parametrov protsessa anomal'noi diffuzii na osnove raznostnykh uravnenii // Vychislitel'nye tekhnologii. 2013. T. 18. № 1. S. 65–73.
14. Babenko Yu.I. Metod drobnogo differentsirovaniya v prikladnykh zadachakh teorii teplomassobmena. SPb.: Professional, 2009. 584 s.
15. Sierociuk D., Dzielinski A., Sarwas G., Petras I., Podlubny I., Skovranek T. Modelling heat transfer in heterogeneous media using fractional calculus // Philosophical Trans. of the Royal Soc. A: Mathematical Physical and Engineering Sciences. 2013. Vol. 371. No. 1990. Article ID 20120146. 10 p. DOI: 10.1098/rsta.2012.0146
16. Zecová M., Terpák J. Heat conduction modeling by using fractional-order derivatives // Applied Mathematics and Computation. 2015. Vol. 257. Pp. 365–373. DOI: 10.1016/j.amc.2014.12.136
17. Petukhov A.A., Reviznikov D.L. Algoritmy chislennogo resheniya drobno-differentsial'nykh uravnenii // Vestnik MAI. 2009. T. 16. № 6. S. 228–234.
18. Al-Shibani F.S., Ismail A.I.Md., Abdullah F.A. Compact finite difference methods for the solution of one dimensional anomalous sub-diffusion equation // General Mathematical Notes. 2013. Vol. 18. No. 2. Pp. 104–119.
19. Mahdy A.M.S., Khader M.M., Sweilam N.H. Srank-Nicolson finite difference method for solving time-fractional diffusion equation // J. of Fractional Calculus and Applications. 2012. Vol. 2. No. 2. Pp. 1–9.
20. Ali U., Abdullah F.A., Ismail A.I. Crank-Nicolson finite difference method for two-dimensional fractional sub-diffusion equation // J. of Interpolation and Approximation in Scientific Computing. 2017. No. 2. Pp. 18–29. DOI: 10.5899/2017/jiasc-00117
21. Sontakke B.R., Shelke A.S. Approximate scheme for time fractional diffusion equation and its applications // Global J. of Pure and Applied Mathematics. 2017. Vol. 13. No. 8. Pp. 4333–4345.
22. Scherer R., Kalla S.L., Yifa Tang, Jianfei Huang. The Grünwald-Letnikov method for fractional differential equations // Computers & Mathematics with Applications. 2011. Vol. 62. No. 3. Pp. 902–917. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.03.054
23. Galiyarova N.M., Bey A.B., Kuznetzov E.A., Korchmariyuk Ia.I. Fractal dimensionalities and microstructure parameters of piezoceramic PZTNB-1 // Ferroelectrics. 2004. Vol. 307. No. 1. Pp. 205–211. DOI: 10.1080/00150190490492970
24. Roy M.K., Paul J., Dattagupta S. Domain dynamics and fractal growth analysis in thin ferroelectric films // J. of Applied Physics. 2010. Vol. 108. No. 1. Article ID 014108. DOI: 10.1063/1.3456505
25. Meilanov R.P., Sadykov S.A. Fraktal'naya model' kinetiki pereklyucheniya polyarizatsii v segnetoelektrikakh // Zhurnal tekhnicheskoi fiziki. 1999. T. 69. № 5. S. 128–129.
26. Maslovskaya A.G., Barabash T.K. Fractal model of polarization switching kinetics in ferroelectrics under nonequilibrium conditions of electron irradiation // J. of Physics: Conf. Ser. 2018. Vol. 973. No. 1. Pp. 012038–012049. DOI: 10.1088/1742-6596/973/1/012038
27. Bin Zhang. Model for coupled ferroelectric hysteresis using time fractional operators: Application to innovative energy harvesting. Doct. diss. Lyon, 2014. 95 p.
28. Lines M.E, Glass A.M. Principles and applications of ferroelectrics and related materials. Oxford: Clarendon Press; N.Y.: Oxford Univ. Press, 2001. 680 p.
29. Maslovskaya A.G. Modelirovanie vzaimodeistviya elektronnykh puchkov s polyarnymi dielektrikami: dis. … kand. fiz.-mat. nauk. Blagoveshchensk, 2004. 174 s.
30. Malyshkina O.V., Movchikova A.A., Grechishkin R.M., Kalugina O.N. Use of the thermal square wave method to analyze polarization state in ferroelectric materials // Ferroelectrics. 2010. Vol. 400. No. 1. Pp. 63–75. DOI: 10.1080/00150193.2010.505470
31. Strukov B.A., Ragula E.P., Arkhangel'skaya S.V., Shnaidshein I.V. O logarifmicheskoi singulyarnosti teploemkosti vblizi fazovykh perekhodov v odnoosnykh segnetoelektrikakh // Fizika tverdogo tela. 1998. T. 40. № 1. S. 106–108.
