Математика и математическое моделирование. 2019; : 27-35
О линейной независимости некоторых функций
https://doi.org/10.24108/mathm.0119.0000179Аннотация
Для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций (а также их производных, включая производные по параметру) обычно используют либо метод Зигеля, либо метод, основанный на эффективном построении линейной приближающей формы. Основное различие между этими методами заключается в способе построения первой приближающей формы. Применяя метод Зигеля, такую форму строят с помощью принципа Дирихле, что позволяет в ряде случаев установить алгебраическую независимость значений соответствующих функций. Метод Зигеля обычно удается применить лишь при рассмотрении гипергеометрических функций с рациональными параметрами. Здесь эффективный метод имеет некоторое преимущество, т.к. в ряде случаев с его помощью можно провести соответствующее исследование и для функций, параметры которых иррациональны. Другим достоинством эффективного метода является высокая точность получаемых с его помощью количественных результатов. Под такими результатами понимаются обычно оценки снизу модулей линейных форм от значений соответствующих функций. С помощью эффективного метода удалось в некоторых случаях получить точные по высоте оценки таких форм с вычислением соответствующих констант. К числу недостатков эффективного метода следует отнести ограниченные возможности его применения. Эффективное построение линейной приближающей формы, с которой начинается рассуждение, всегда является достаточно трудной задачей. Эффективно построить приближающую форму для произведений степеней гипергеометрических функций пока не удается (за редкими исключениями).
В обоих методах предварительно доказывается линейная (в методе Зигеля --- чаще алгебраическая) независимость исследуемых функций. Нередко такое доказательство рассматривается как самостоятельный результат.
В данной статье с помощью метода, специально разработанного для этой цели, устанавливается линейная независимость некоторых гипергеометрических функций и их производных (в том числе и по параметру) над полем рациональных дробей. В дальнейшем этот результат можно будет использовать для изучения арифметической природы значений указанных функций. При этом предполагается использование эффективного метода с получением достаточно точного количественного результата.
Список литературы
1. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1967. № 2. С. 55-62.
2. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций одного класса // Сибирский матем. журнал. 1973. Т. 14. № 1. С. 16-35.
3. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений целых функций некоторых классов // Математика. Т. IX. Уч. зап. Моск. гос. ун-та. 1959. Вып. 186. С. 11-70.
4. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых функций // Тр. Моск. матем. общества. 1959. Т. 8. С. 283-320.
5. Mahler K. Applications of a theorem by A.B.Shidlovski // Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A: Mathematical and Physical Sciences. 1968. Vol. 305. No. 1481. Pp. 149-173. DOI: 10.1098/rspa.1968.0111
6. Väänänen K. On the algebraic independence of the values of some E-functions // Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Ser. A. Mathematica. 1975. Vol. 1. Pp. 93-109.
7. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций // Чебышевский сб. 2010. Т. 11. Вып. 1. С. 145-151.
8. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых функций над полем рациональных дробей // Математика и математическое моделирование. 2015. № 4. С. 1-12. DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328
9. Иванков П.Л. О дифференцировании по параметру некоторых функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 5. С. 141-156. DOI: 10.7463/0512.0398478
10. Иванков П.Л. Об использовании совместных приближений для изучения арифметической природы значений гипергеометрических функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 12. С. 135-142. DOI: 10.7463/1212.0500464
11. Иванков П.Л. Уточнение некоторых оценок для значений гипергеометрических функций // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 4. С. 175-186. DOI: 10.7463/0414.0704694
12. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций: В 2 т. 2-е изд. Т. 1: Начала теории. М.: Наука, 1967. 486 с.
13. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.
14. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory / Ed. by A. Baker. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-215. DOI: 10.1017/CBO9780511897184.013
15. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1, no. 2. Pp. 27-32.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 27-35
On Linear Independence of Some Functions
https://doi.org/10.24108/mathm.0119.0000179Abstract
To study an arithmetic nature of the values of hyper-geometric functions (and their derivatives including those with respect to parameter), it is common practice to use one either Siegel's method or the method based on the effective construction of the linear approximating form. The main distinction between these methods consists in the mode of construction of the first approximating form. Applying Siegel's method allows us to construct such a form by means of a pigeonhole principle that makes it possible to establish, in certain cases, the algebraic independence of the values of corresponding functions. The Siegel's method can be usually applied just while considering hyper-geometric functions with rational parameters. The effective method has a certain advantage here, for in some cases this method enables us to carry out corresponding investigation also for the functions with irrational parameters. Another advantage of the effective method is that it provides obtaining of high- accuracy quantitative results. By quantitative results one usually implies the estimates of the moduli of the linear forms in the values of corresponding functions. The effective method has made it possible to obtain, in some cases, estimates being precise regarding the height of such forms with calculation of the corresponding constants. A drawback of the effective method is the narrow domain of its applications. The effective construction of the linear approximating form, which initiates reasoning, is always a challenge. So far, an effective construction of the approximating form for the product of powers of hyper-geometric functions (with the rare exceptions) failed.
In both aforementioned methods one proves previously linear independence (in Siegel's method, as a rule, algebraic independence,) of the functions under consideration. Such a proof is often considered as an independent result.
In this paper, by means of the method especially elaborated for this purpose we establish linear independence of some hyper-geometric functions and their derivatives (including those with respect to parameter) over the field of rational fractions. Subsequently, it will be possible to apply this result to investigate arithmetic properties of the values of such functions. Herewith we mean the application of the effective method to achieve the sufficiently accurate quantitative result.
References
1. Belogrivov I.I. O transtsendentnosti i algebraicheskoi nezavisimosti znachenii nekotorykh E-funktsii // Vestnik MGU. Ser. 1: Matematika, mekhanika. 1967. № 2. S. 55-62.
2. Belogrivov I.I. O transtsendentnosti i algebraicheskoi nezavisimosti znachenii E-funktsii odnogo klassa // Sibirskii matem. zhurnal. 1973. T. 14. № 1. S. 16-35.
3. Shidlovskii A.B. O transtsendentnosti i algebraicheskoi nezavisimosti znachenii tselykh funktsii nekotorykh klassov // Matematika. T. IX. Uch. zap. Mosk. gos. un-ta. 1959. Vyp. 186. S. 11-70.
4. Shidlovskii A.B. O transtsendentnosti i algebraicheskoi nezavisimosti znachenii nekotorykh funktsii // Tr. Mosk. matem. obshchestva. 1959. T. 8. S. 283-320.
5. Mahler K. Applications of a theorem by A.B.Shidlovski // Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A: Mathematical and Physical Sciences. 1968. Vol. 305. No. 1481. Pp. 149-173. DOI: 10.1098/rspa.1968.0111
6. Väänänen K. On the algebraic independence of the values of some E-functions // Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Ser. A. Mathematica. 1975. Vol. 1. Pp. 93-109.
7. Ivankov P.L. O lineinoi nezavisimosti nekotorykh funktsii // Chebyshevskii sb. 2010. T. 11. Vyp. 1. S. 145-151.
8. Ivankov P.L. O lineinoi nezavisimosti nekotorykh funktsii nad polem ratsional'nykh drobei // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 2015. № 4. S. 1-12. DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328
9. Ivankov P.L. O differentsirovanii po parametru nekotorykh funktsii // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2012. № 5. S. 141-156. DOI: 10.7463/0512.0398478
10. Ivankov P.L. Ob ispol'zovanii sovmestnykh priblizhenii dlya izucheniya arifmeticheskoi prirody znachenii gipergeometricheskikh funktsii // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2012. № 12. S. 135-142. DOI: 10.7463/1212.0500464
11. Ivankov P.L. Utochnenie nekotorykh otsenok dlya znachenii gipergeometricheskikh funktsii // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2014. № 4. S. 175-186. DOI: 10.7463/0414.0704694
12. Markushevich A.I. Teoriya analiticheskikh funktsii: V 2 t. 2-e izd. T. 1: Nachala teorii. M.: Nauka, 1967. 486 s.
13. Shidlovskii A.B. Transtsendentnye chisla. M.: Nauka, 1987. 447 s.
14. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory / Ed. by A. Baker. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-215. DOI: 10.1017/CBO9780511897184.013
15. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1, no. 2. Pp. 27-32.
