Математика и математическое моделирование. 2019; : 48-62
Некоторые методы исследования интегрируемости обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка специального вида
https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000177Аннотация
Данная работа посвящена изложению некоторых методов исследования интегрируемости уравнения определенного типа, мало изученных в теории дифференциальных уравнений. Известно, что значительная часть дифференциальных уравнений не интегрируется, то, естественно, представляет научный интерес разработка методов их исследования. Полученные результаты, сформулированные в виде теорем и утверждений, представляют научный и практический интерес в силу важности для приложений в современной науке.
В работе указан альтернативный метод исследования интегрируемости как линейного, так и нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. С помощью введения параметров разработан метод исследования интегрируемости обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Сформулированы теоремы с изложением некоторых общих условий интегрируемости линейного уравнения второго порядка. Здесь же рассмотрены частные случаи интегрируемости, являющихся следствием вышеизложенных фактов.
На основе полученного метода параметра приведены некоторые общие условия интегрируемости нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, указаны следствия этих общих условий.
Получены новые результаты, связанные с построением и разработкой методов исследования дифференциального уравнения, к которому сводятся некоторые типы дифференциальных уравнений. Заложены основы для глубоко и системного исследования введенного специального нелинейного дифференциального уравнения второго порядка.
Список литературы
1. Брюно А.Д., Парусникова А.В. Асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве. М.: Изд-во ИПМ им. М.В. Келдыша, 2010. 25 с.
2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений: учеб. пособие. 2-е изд. М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1950. 436 с.
3. Итс А.Р., Капаев А.А., Новокшенов В.Ю., Фокас А.С. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. 728 с.
4. Лукашевич Н.А. О решениях пятого уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № 8. С. 1413–1420.
5. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функции. Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 2001. 220 с.
6. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 343 с.
7. Задорожная О.В., Кочетков В.К. Структура интегралов второго дифференциального уравнения Левнера — Куфарева в частном случае // Вестник Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2018. № 55. С. 12–21. DOI: 10.17223/19988621/55/2
8. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2009. 670 с.
9. Деревенский В.П. Полиномиальные дифференциальные уравнения первого порядка над матричными косыми рядами // Изв. вузов. Математика. 2014. № 9. С. 3–16.
10. Лизарев А.Д., Кленов В.И. Аналитические решения одного класса уравнений с полиномиальными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 12. С. 2158–2163.
11. Лукашевич Н.А. Интегральные кривые одного дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1, № 1. С. 82–95.
12. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи математических наук. 1975. Т. 30, № 4 (184). С. 3–60.
13. Claudine L., Rossler A. Iterated stochastic integrals in infinite dimensions: approximation and error estimates // Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations. 2019. Vol. 7, no. 2. Pp. 209–239. DOI: 10.1007/s40072-018-0126-9
14. Han X., Kloeden P.E. Random ordinary differential equations and their numerical solution. Singapore: Springer, 2017. 250 p. DOI: 10.1007/978-981-10-6265-0
15. Hastings S.P., McLeod J.B. Classical methods in ordinary differential equations with applications to boundary value problems. Providence: Amer. Math. Soc., 2012. 371 p. DOI: 10.1090/gsm/129
16. Kudryashov N.A. The first and second Painleve equations of higher order and some relations between them // Physics Letters A. 1997. Vol. 224, no. 6. Pp. 353–360. DOI: 10.1016/S0375-9601(96)00795-5
17. Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth-order ordinary differential equations // J. of Physics. A: Mathematical and General. 1999. Vol. 32, no. 6. Pp. 999–1013. DOI: 10.1088/0305-4470/32/6/012
18. Platen E., Bruti-Liberati N. Numerical solution of stochastic differential equations with jumps in finance. B.; Hdbl.: Springer, 2010. 856 p. DOI: 10.1007/978-3-642-13694-8
19. Kelley W.G., Peterson A.C. The theory of differential equations: classical and qualitative. 2up{nd} ed. N.Y.: Springer, 2010. 423 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-5783-2
20. Матвеев П.Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2008. 330 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2019; : 48-62
Some Study Methods for Ordinary Differential Equation Integrability of the Second Order of a Certain Type
https://doi.org/10.24108/mathm.0219.0000177Abstract
The paper deals with treating some study methods of the equation integrability of a certain type that are little studied in the theory of differential equations. It is known that a significant part of the differential equations cannot be integrated. Then, to develop methods for their study is, certainly, of scientific interest. The obtained results, formulated as theorems and statements, are of scientific and practical interest because of their importance for applications in modern science.
In the paper we present an alternative method for studying the integrability of both linear and nonlinear differential equations of the second order. An introduction of parameters allowed us to develop a study method for the integrability of ordinary differential equations of the second order. We also formulate the theorems describing some General conditions for the integrability of the second-order linear equation and consider special cases of integrability, which arise out of the above facts.
Based on the obtained parameter method, some General conditions for the integrability of the nonlinear differential equation of the second order are given, and the consequences of these General conditions are indicated.
We have obtained new results related to the construction and development of methods for studying the differential equation to which some types of differential equations are reduced and laid the foundations for a rigorous and systematic study of the introduced special nonlinear differential equation of the second order.
References
1. Bryuno A.D., Parusnikova A.V. Asimptoticheskie razlozheniya reshenii pyatogo uravneniya Penleve. M.: Izd-vo IPM im. M.V. Keldysha, 2010. 25 s.
2. Golubev V.V. Lektsii po analiticheskoi teorii differentsial'nykh uravnenii: ucheb. posobie. 2-e izd. M.-L.: Gos. izd-vo tekhn.-teoret. lit., 1950. 436 s.
3. Its A.R., Kapaev A.A., Novokshenov V.Yu., Fokas A.S. Transtsendenty Penleve. Metod zadachi Rimana. M.; Izhevsk: Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika, 2005. 728 s.
4. Lukashevich N.A. O resheniyakh pyatogo uravneniya Penleve // Differentsial'nye uravneniya. 1968. T. 4, № 8. S. 1413–1420.
5. Aleksandrov I.A. Metody geometricheskoi teorii analiticheskikh funktsii. Tomsk: Izd-vo Tom. gos. un-ta, 2001. 220 s.
6. Aleksandrov I.A. Parametricheskie prodolzheniya v teorii odnolistnykh funktsii. M.: Nauka, 1976. 343 s.
7. Zadorozhnaya O.V., Kochetkov V.K. Struktura integralov vtorogo differentsial'nogo uravneniya Levnera — Kufareva v chastnom sluchae // Vestnik Tom. gos. un-ta. Matematika i mekhanika. 2018. № 55. S. 12–21. DOI: 10.17223/19988621/55/2
8. Arnol'd V.I., Varchenko A.N., Gusein-Zade S.M. Osobennosti differentsiruemykh otobrazhenii. 3-e izd. M.: MTsNMO, 2009. 670 s.
9. Derevenskii V.P. Polinomial'nye differentsial'nye uravneniya pervogo poryadka nad matrichnymi kosymi ryadami // Izv. vuzov. Matematika. 2014. № 9. S. 3–16.
10. Lizarev A.D., Klenov V.I. Analiticheskie resheniya odnogo klassa uravnenii s polinomial'nymi koeffitsientami // Differentsial'nye uravneniya. 1978. T. 14, № 12. S. 2158–2163.
11. Lukashevich N.A. Integral'nye krivye odnogo differentsial'nogo uravneniya // Differentsial'nye uravneniya. 1965. T. 1, № 1. S. 82–95.
12. Avkhadiev F.G., Aksent'ev L.A. Osnovnye rezul'taty v dostatochnykh usloviyakh odnolistnosti analiticheskikh funktsii // Uspekhi matematicheskikh nauk. 1975. T. 30, № 4 (184). S. 3–60.
13. Claudine L., Rossler A. Iterated stochastic integrals in infinite dimensions: approximation and error estimates // Stochastics and Partial Differential Equations: Analysis and Computations. 2019. Vol. 7, no. 2. Pp. 209–239. DOI: 10.1007/s40072-018-0126-9
14. Han X., Kloeden P.E. Random ordinary differential equations and their numerical solution. Singapore: Springer, 2017. 250 p. DOI: 10.1007/978-981-10-6265-0
15. Hastings S.P., McLeod J.B. Classical methods in ordinary differential equations with applications to boundary value problems. Providence: Amer. Math. Soc., 2012. 371 p. DOI: 10.1090/gsm/129
16. Kudryashov N.A. The first and second Painleve equations of higher order and some relations between them // Physics Letters A. 1997. Vol. 224, no. 6. Pp. 353–360. DOI: 10.1016/S0375-9601(96)00795-5
17. Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth-order ordinary differential equations // J. of Physics. A: Mathematical and General. 1999. Vol. 32, no. 6. Pp. 999–1013. DOI: 10.1088/0305-4470/32/6/012
18. Platen E., Bruti-Liberati N. Numerical solution of stochastic differential equations with jumps in finance. B.; Hdbl.: Springer, 2010. 856 p. DOI: 10.1007/978-3-642-13694-8
19. Kelley W.G., Peterson A.C. The theory of differential equations: classical and qualitative. 2up{nd} ed. N.Y.: Springer, 2010. 423 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-5783-2
20. Matveev P.N. Lektsii po analiticheskoi teorii differentsial'nykh uravnenii: ucheb. posobie. SPb.: Lan', 2008. 330 s.
