Качественный анализ системы лоренцевского типа

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 1-15

Качественный анализ системы лоренцевского типа

Аннотация

Статья посвящена качественному анализу одной непрерывной динамической системы лоренцевского типа. Поведение системы от значений входящих в нее параметров. При некоторых значениях параметров в системе возникает динамический хаос. Исследованы положения равновесия этой системы. Для нулевого положения равновесия получена полная классификация типов в зависимости от параметров системы, включая вырожденные случаи. для двух других положений равновесия получены условия устойчивости. Также проведено исследование некоторых бифуркаций положений равновесия системы. Так, исследована ситуация, когда в системе возникает бифуркация Андронова - Хопфа, приводящая к возникновению предельных циклов.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0789497

Список литературы

1. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. 3-е изд. М.: Либроком, 2011. 280 с

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.М., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с

3. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Инвариантные компакты динамических систем. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 232 с

4. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 486 с

5. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 12. С. 1597-1604

6. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М: Наука, 1972. 240 с

7. Li X., Wang H. Homoclinic and heteroclinic orbits and bifurcations of a new Lorenz-type system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2011. Vol. 21, no. 9. P. 2695-2712. DOI: 10.1142/S0218127411030039

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с

9. Ладис Н.Н. Топологическая эквивалентность линейных потоков // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 7. С. 2123-2135

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 1-15

The Qualitative Analysis of a Lorenz-Type System

Abramchenko A. A., Kanatnikov A. N.

Abstract

In modern natural sciences, the term of a dynamic system plays an important role and is a common type of mathematical models. Dynamical systems are rarely come to simple functional dependencies. Therefore, qualitative analysis methods of dynamical systems are crucial. In the paper, we consider the simplest type of dynamic systems | continuous dynamical systems described by the systems of ordinary differential equations.
Qualitative analysis of differential equations systems usually starts with a search for equilibrium points and a study of the behaviour of a dynamic system in the neighborhood of each equilibrium points. The main attention is paid to the stability of equilibrium, as well as their behaviour type classification. Effective qualitative analysis of differential equations systems is best approached through the bifurcation theory which explains modification of quality in the behaviour of a dynamic system if its parameters are changed.
In the behavior of dynamic systems, in addition to the equilibrium points, other bounded trajectories (for example, boundary cycles or separatrix) and their certain conglomerates (such as attractors, invariant tori) play an important role. Investigation of bounded trajectories, in particular, attractors is a difficult task and a lot of scientific articles deal with this problem.
In this paper, we study a continuous Lorenz-type system. For this system, all of the equilibrium points are defined and the analysis of equilibrium points types are performed in accordance with the system parameters. The analysis of some bifurcations of equilibrium points are carried out. In particular, the Andronov | Hopf bifurcation is determined and it is shown that it leads to a bifurcation of boundary cycles.

DOI: 10.7463/mathm.0315.0789497

References

1. Malinetskii G.G., Potapov A.B., Podlazov A.V. Nelineinaya dinamika: podkhody, rezul'taty, nadezhdy. 3-e izd. M.: Librokom, 2011. 280 s

2. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.M., Maier A.G. Teoriya bifurkatsii dinamicheskikh sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1967. 488 s

3. Kanatnikov A.N., Krishchenko A.P. Invariantnye kompakty dinamicheskikh sistem. M: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2011. 232 s

4. Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990. 486 s

5. Krishchenko A.P. Lokalizatsiya invariantnykh kompaktov dinamicheskikh sistem // Differentsial'nye uravneniya. 2005. T. 41, № 12. S. 1597-1604

6. Arnol'd V.I., Il'yashenko Yu.S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya. M: Nauka, 1972. 240 s

8. Arnol'd V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii. M.: Nauka, 1978. 304 s

9. Ladis N.N. Topologicheskaya ekvivalentnost' lineinykh potokov // Differentsial'nye uravneniya. 1973. T. 9, № 7. S. 2123-2135