Математика и математическое моделирование. 2018; : 52-71
Применение наблюдателя в скользящем режиме при моделировании процесса антиангиогенной терапии.
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000165Аннотация
В настоящее время предложено большое количество моделей медико-биологических систем, однако их практическое применение в ряде случаев затруднено.
Это связано с тем, что не все переменные состояния в этих моделях доступны для измерений. Задача восстановления вектора состояния, состоящая в получении оценок для его неизмеряемых компонент, может быть решена методами теории управления, в которых она формулируется как задача построения наблюдателя состояния.
В статье рассмотрена проблема использования наблюдателей в биологических системах на основе российских и зарубежных публикаций и проведен анализ имеющихся работ по этому вопросу. В данной работе рассмотрен один из видов наблюдателей состояния ̶ наблюдатель, функционирующий в скользящем режиме. Порядок его построения для биологических систем мы рассмотрим на примере одной модели развития раковой опухоли, в которой лечение основано на блокировании процессов ангиогенеза.
Для нелинейной динамической системы, описывающей развитие раковой опухоли при антиангиогенной терапии, приведен вид ее нормальной формы и построен нелинейный наблюдатель состояния на скользящих режимах. В качестве выхода системы, доступного измерению, выбрана переменная, соответствующая объему раковой опухоли. Оценка полного вектора состояния системы, полученная наблюдателем, использована для построения обратной связи по состоянию, стабилизирующей программную траекторию. Теоретические положения подтверждены математическим моделированием, которые показывают, что в принципе наблюдатель на скользящих режимах может использоваться в задачах управления биологическими системами.
Список литературы
1. Романюха А.А. Математические модели в иммунологии и эпидемиологии инфекционных заболеваний. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. 293 с.
2. Хаитов Р.М. Иммунология: структура и функции иммунной системы: учеб. пособие. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2013. 277 с.
3. Болодурина И.П., Луговскова Ю.П. Оптимальное управление динамикой взаимодействия иммунной системы человека с инфекционными заболеваниями // Вестник Самарского ун-та. Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74). С. 138-153.
4. Русаков С.В., Чирков М.В. Математическая модель влияния иммунотерапии на динамику иммунного ответа // Проблемы управления. 2012. № 6. С. 45–50.
5. Абсалямова О.В., Аникеева О.Ю., Голанов А.В., Кобяков Г.Л., Коновалов А.Н., Корниенко В.Н., Кривошапкин А.Л., Лошаков В.А., Олюшин В.Е., Потапов А.А., Рыжова М.В., Таняшин С.В., Трунин Ю.Ю., Улитин А.Ю., Шишкина Л.В. Клинические рекомендации по лечению первичных опухолей центральной нервной системы (утверждены на заседании Правления Ассоциации нейрохирургов России 20.09.2013 г.). Нижний Новгород, 2013. 40 с.
6. Kerbel R., Folkman J. Clinical translation of angiogenesis inhibitors // Nature Reviews Cancer. 2002. Vol. 2. Pp. 727-739. DOI: 10.1038/nrc905
7. Drexler D., Kovacs L., Sapi J., Harmati I., Benyo Z. Model-based analysis and synthesis of tumor growth under angiogenic inhibition: a case study // 18th IFAC World Congress (Milano, Italy, Aug. 18 – Sept. 2, 2011): Proc. IFAC Publ., 2011. Pp. 3753–3758. DOI: 10.3182/20110828-6-IT-1002.02107
8. Мухоморова О.Ю., Крищенко А.П. Анализ модели развития раковой опухоли и построение схем антиангиогенной терапии на начальной стадии // Математика и математическое моделирование. 2015. № 3. С. 39–58. DOI: 10.7463/mathm.0315.0790877
9. Zitelli G., Djouadi S.M., Day J.D. Combining robust state estimation with nonlinear model predictive control to regulate the acute inflammatory response to pathogen // Mathematical Biosciences and Engineering. 2015. Vol. 12. No. 5. Pp. 1127–1139. DOI: 10.3934/mbe.2015.12.1127
10. Bara O., Day J., Djouadi S.M. Nonlinear state estimation for complex immune responses // 52nd IEEE conf. on decision and control: CDC 2013 (Florence, Italy, December 10-13, 2013): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 3373–3378. DOI: 10.1109/CDC.2013.6760399
11. Smolinski E., Benkmann A., Drewelow W., Jeinsch T., Cappius H.-J., Westerhoff P. Observer-based controller design for the minimally invasive surgery // Current Directions in Biomedical Engineering. 2018. Vol. 4. No. 1. Pp. 41–44. DOI: 10.1515/cdbme-2018-0011
12. Gauthier J.P., Hammouri H., Othman S. A simple observer for nonlinear systems applications to bioreactors // IEEE Trans. on Automatic Control. 1992. Vol. 37. No. 6. Pp. 875–880. DOI: 10.1109/9.256352
13. Cacace F., Cusimano V., Di Paola L., Germani A. Observer-based techniques for the identification and analysis of a vascular tumor growth // Mathematical Biosciences. 2011. Vol. 234. No. 2. Pp. 147–153. DOI: 10.1016/j.mbs.2011.10.002
14. Mohd Ali J., Ha Hoang N., Hussain M.A., Dochain D. Review and classification of recent observers applied in chemical process systems // Computers & Chemical Engineering. 2015. Vol. 76. Pp. 27–41. DOI: 10.1016/j.compchemeng.2015.01.019
15. Yamalova D., Churilov A., Medvedev A. State estimation in a delayed impulsive model of testosterone regulation by a finite-dimensional hybrid observer // 14th European control conf.: ECC 2015 (Linz, Austria, July 15-17, 2015): Proc. N.Y.: IEEE, 2015. Art.no. 7330743. DOI: 10.1109/ECC.2015.7330743
16. Ямалова Д.Р. Преобразование Пуанкаре для уравнения наблюдателя состояния импульсной системы с запаздыванием // Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4(62). № 1. С. 64–77. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.109
17. Farza M., M’Saad M., Fall M.L., Pigeon E., Gehan O., Busawon K. Continuous-discrete time observers for a class of MIMO nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 2014. Vol. 59. No. 4. Pp. 1060–1065. DOI: 10.1109/TAC.2013.2283754
18. Bichara D., Cozic N., Iggidr A. On the estimation of sequestered infected erythrocytes in Plasmodium falciparum malaria patients // Mathematical Biosciences & Engineering. 2014. Vol. 11. No. 4. Pp. 741–759. DOI: 10.3934/mbe.2014.11.741
19. Cacace F., Cusimano V., Germani A., Palumbo P., Papa F. Closed-loop control of tumor growth by means of anti-angiogenic administration // Mathematical Biosciences & Engineering. 2018. Vol. 15. No. 4. Pp. 827–839. DOI: 10.3934/mbe.2018037
20. Garimella R., Garimella U., Liu W. A theoretic control approach in signal-controlled metabolic pathways // Mathematical Biosciences & Engineering. 2007. Vol. 4. No. 3. Pp. 471-488. DOI: 10.3934/mbe.2007.4.471
21. Tellez-Anguiano A.C., Astorga-Zaragoza C.M., Alcorta-Garcia E., Targui B., Quintero-Marmol E., Adam-Medina M., Olivares-Peregrino V.H. Nonlinear continuous-discrete observer application to distillation columns // Intern. J. of Innovative Computing, Information and Control. 2012. Vol. 8. No. 1(B). Pp. 763-778. Режим доступа: http://www.ijicic.org/ijicic-10-09060.pdf (дата обращения 12.12.2018).
22. Ngom D., Iggidr A., Guiro A., Ouahbi A. An observer for a nonlinear age-structured model of a harvested fish population // Mathematical Biosciences and Engineering. 2008. Vol. 5. No. 2. Pp. 337-354. DOI: 10.3934/mbe.2008.5.337
23. Виноградова М.С., Ткачев С.Б. Использование наблюдателя состояния при моделировании процесса антиангиогенной терапии // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 12. С. 264–278. DOI: 10.7463/1216.0852798
24. Gauthier J.P., Kupka I. Deterministic observation: theory and applications. Camb.; N.Y.:Camb. Univ. Press, 2001. 226 p.
25. Краснова С.А., Мысик Н.С. Каскадный синтез наблюдателя состояния с нелинейными корректирующими воздействиями // Автоматика и телемеханика. 2014. № 2. С. 106–128.
26. O’Reilly M.S., Holmgren L., Shing Y., Chen C., Rosenthal R.A., Moses M., Lane W.S., Cao Y., Sage E.H., Folkman J. Angiostatin: a novel angiogenesis inhibitor that mediates the suppression of metastases by a Lewis lung carcinoma // Cell. 1994. Vol. 79. No. 2. Pp. 315-328. DOI: 10.1016/0092-8674(94)90200-3
27. Hahnfeldt P., Panigrahy D., Folkman J., Hlatky L. Tumor development under angiogenic signaling: A dynamical theory of tumor growth, treatment response, and postvascular dormancy // Cancer Research. 1999. Vol. 59. No. 19. Pp. 4770–4775.
28. Степанова Е.В. Антиангиогенная терапия: новые возможности лечения злокачественных заболеваний // Практическая онкология. 2002. Т. 3. № 4 (12). С. 246-252.
29. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd ed. B.; N.Y.: Springer, 1995. 549 p. DOI: 10.1007/978-1-84628-615-5
30. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 367 с.
31. Дракунов С.В., Изосимов Д.Б., Лукьянов А.Г., Уткин В.А., Уткин В.И. Принцип блочного управления. I // Автоматика и телемеханика. 1990. № 5. С. 38–47.
32. Utkin V., Guldner J., Shi J. Sliding mode control in electromechanical systems. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2009. 503 p.
33. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: Управление при неопределенности. М.: Физматлит, 1997. 348 с.
34. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Адаптивное управление летательным аппаратом с идентификацией на скользящих режимах // Управление большими системами. 2009. № 26. С. 113-144.
35. Drakunov S.V. Sliding-mode observers based on equivalent control method // 31st IEEE conf. on decision and control: CDC 1992 (Tucson, Arizona, USA, December 16-18, 1992): Proc. Vol. 2. N.Y.: IEEE, 1992. Pp. 2368-2369. DOI: 10.1109/CDC.1992.371368
36. Drakunov S.V., Utkin V. Sliding mode observers. Tutorial // 34th conf. on decision and control: CDC 1995 (New Orleans, LA, USA, December 13-15, 1995): Proc. Vol. 4. N.Y.: IEEE, 1996. Pp. 3376-3378. DOI: 10.1109/CDC.1995.479009
37. Дик В.В., Краснова С.А., Ткачев С.Б. Аналитическое резервирование измерительных систем летательного аппарата // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 6. С. 211-226. DOI: 10.7463/0613.0571439
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 52-71
Using an Observer in a Sliding Mode for Modeling Antiangiogenic Therapy
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000165Abstract
Currently, a slew of biomedical system models have been proposed, but in certain cases their real-world application is a challenge.
This is because in these models not all state variables can be measured. The task of restoring the state vector, which is to obtain estimates for its non-measurable components, can be solved by control theory methods, in which it is formulated as the task of constructing a state observer.
The article analyses Russian and foreign publications available in the field concerned to consider the problem of observer applications to biological systems. One of the types of state observers, an observer operating in a sliding mode in particular, is under consideration. The procedure to construct it for biological systems is shown by an example of a tumor growth model in which treatment is based on blocking the processes of angiogenesis.
For a nonlinear dynamic system describing the tumor growth in the process of antiangiogenic therapy, its normal form is shown and a nonlinear state observer in sliding modes is constructed. As the measurable system output, a variable appropriate to the tumor volume was selected. The estimate of the total vector of the system state, obtained by the observer, is used to build state feedback that stabilises the program trajectory. Mathematical modelling, which shows that, in principle, in sliding modes an observer can be used for control of biological systems, proves the theoretical principles.
References
1. Romanyukha A.A. Matematicheskie modeli v immunologii i epidemiologii infektsionnykh zabolevanii. M.: Binom. Laboratoriya znanii, 2012. 293 s.
2. Khaitov R.M. Immunologiya: struktura i funktsii immunnoi sistemy: ucheb. posobie. M.: GEOTAR-Media, 2013. 277 s.
3. Bolodurina I.P., Lugovskova Yu.P. Optimal'noe upravlenie dinamikoi vzaimodeistviya immunnoi sistemy cheloveka s infektsionnymi zabolevaniyami // Vestnik Samarskogo un-ta. Estestvennonauchnaya seriya. 2009. № 8(74). S. 138-153.
4. Rusakov S.V., Chirkov M.V. Matematicheskaya model' vliyaniya immunoterapii na dinamiku immunnogo otveta // Problemy upravleniya. 2012. № 6. S. 45–50.
5. Absalyamova O.V., Anikeeva O.Yu., Golanov A.V., Kobyakov G.L., Konovalov A.N., Kornienko V.N., Krivoshapkin A.L., Loshakov V.A., Olyushin V.E., Potapov A.A., Ryzhova M.V., Tanyashin S.V., Trunin Yu.Yu., Ulitin A.Yu., Shishkina L.V. Klinicheskie rekomendatsii po lecheniyu pervichnykh opukholei tsentral'noi nervnoi sistemy (utverzhdeny na zasedanii Pravleniya Assotsiatsii neirokhirurgov Rossii 20.09.2013 g.). Nizhnii Novgorod, 2013. 40 s.
6. Kerbel R., Folkman J. Clinical translation of angiogenesis inhibitors // Nature Reviews Cancer. 2002. Vol. 2. Pp. 727-739. DOI: 10.1038/nrc905
7. Drexler D., Kovacs L., Sapi J., Harmati I., Benyo Z. Model-based analysis and synthesis of tumor growth under angiogenic inhibition: a case study // 18th IFAC World Congress (Milano, Italy, Aug. 18 – Sept. 2, 2011): Proc. IFAC Publ., 2011. Pp. 3753–3758. DOI: 10.3182/20110828-6-IT-1002.02107
8. Mukhomorova O.Yu., Krishchenko A.P. Analiz modeli razvitiya rakovoi opukholi i postroenie skhem antiangiogennoi terapii na nachal'noi stadii // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 2015. № 3. S. 39–58. DOI: 10.7463/mathm.0315.0790877
9. Zitelli G., Djouadi S.M., Day J.D. Combining robust state estimation with nonlinear model predictive control to regulate the acute inflammatory response to pathogen // Mathematical Biosciences and Engineering. 2015. Vol. 12. No. 5. Pp. 1127–1139. DOI: 10.3934/mbe.2015.12.1127
10. Bara O., Day J., Djouadi S.M. Nonlinear state estimation for complex immune responses // 52nd IEEE conf. on decision and control: CDC 2013 (Florence, Italy, December 10-13, 2013): Proc. N.Y.: IEEE, 2013. Pp. 3373–3378. DOI: 10.1109/CDC.2013.6760399
11. Smolinski E., Benkmann A., Drewelow W., Jeinsch T., Cappius H.-J., Westerhoff P. Observer-based controller design for the minimally invasive surgery // Current Directions in Biomedical Engineering. 2018. Vol. 4. No. 1. Pp. 41–44. DOI: 10.1515/cdbme-2018-0011
12. Gauthier J.P., Hammouri H., Othman S. A simple observer for nonlinear systems applications to bioreactors // IEEE Trans. on Automatic Control. 1992. Vol. 37. No. 6. Pp. 875–880. DOI: 10.1109/9.256352
13. Cacace F., Cusimano V., Di Paola L., Germani A. Observer-based techniques for the identification and analysis of a vascular tumor growth // Mathematical Biosciences. 2011. Vol. 234. No. 2. Pp. 147–153. DOI: 10.1016/j.mbs.2011.10.002
14. Mohd Ali J., Ha Hoang N., Hussain M.A., Dochain D. Review and classification of recent observers applied in chemical process systems // Computers & Chemical Engineering. 2015. Vol. 76. Pp. 27–41. DOI: 10.1016/j.compchemeng.2015.01.019
15. Yamalova D., Churilov A., Medvedev A. State estimation in a delayed impulsive model of testosterone regulation by a finite-dimensional hybrid observer // 14th European control conf.: ECC 2015 (Linz, Austria, July 15-17, 2015): Proc. N.Y.: IEEE, 2015. Art.no. 7330743. DOI: 10.1109/ECC.2015.7330743
16. Yamalova D.R. Preobrazovanie Puankare dlya uravneniya nablyudatelya sostoyaniya impul'snoi sistemy s zapazdyvaniem // Vestnik Sankt-Peterburg. un-ta. Matematika. Mekhanika. Astronomiya. 2017. T. 4(62). № 1. S. 64–77. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.109
17. Farza M., M’Saad M., Fall M.L., Pigeon E., Gehan O., Busawon K. Continuous-discrete time observers for a class of MIMO nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 2014. Vol. 59. No. 4. Pp. 1060–1065. DOI: 10.1109/TAC.2013.2283754
18. Bichara D., Cozic N., Iggidr A. On the estimation of sequestered infected erythrocytes in Plasmodium falciparum malaria patients // Mathematical Biosciences & Engineering. 2014. Vol. 11. No. 4. Pp. 741–759. DOI: 10.3934/mbe.2014.11.741
19. Cacace F., Cusimano V., Germani A., Palumbo P., Papa F. Closed-loop control of tumor growth by means of anti-angiogenic administration // Mathematical Biosciences & Engineering. 2018. Vol. 15. No. 4. Pp. 827–839. DOI: 10.3934/mbe.2018037
20. Garimella R., Garimella U., Liu W. A theoretic control approach in signal-controlled metabolic pathways // Mathematical Biosciences & Engineering. 2007. Vol. 4. No. 3. Pp. 471-488. DOI: 10.3934/mbe.2007.4.471
21. Tellez-Anguiano A.C., Astorga-Zaragoza C.M., Alcorta-Garcia E., Targui B., Quintero-Marmol E., Adam-Medina M., Olivares-Peregrino V.H. Nonlinear continuous-discrete observer application to distillation columns // Intern. J. of Innovative Computing, Information and Control. 2012. Vol. 8. No. 1(B). Pp. 763-778. Rezhim dostupa: http://www.ijicic.org/ijicic-10-09060.pdf (data obrashcheniya 12.12.2018).
22. Ngom D., Iggidr A., Guiro A., Ouahbi A. An observer for a nonlinear age-structured model of a harvested fish population // Mathematical Biosciences and Engineering. 2008. Vol. 5. No. 2. Pp. 337-354. DOI: 10.3934/mbe.2008.5.337
23. Vinogradova M.S., Tkachev S.B. Ispol'zovanie nablyudatelya sostoyaniya pri modelirovanii protsessa antiangiogennoi terapii // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2016. № 12. S. 264–278. DOI: 10.7463/1216.0852798
24. Gauthier J.P., Kupka I. Deterministic observation: theory and applications. Camb.; N.Y.:Camb. Univ. Press, 2001. 226 p.
25. Krasnova S.A., Mysik N.S. Kaskadnyi sintez nablyudatelya sostoyaniya s nelineinymi korrektiruyushchimi vozdeistviyami // Avtomatika i telemekhanika. 2014. № 2. S. 106–128.
26. O’Reilly M.S., Holmgren L., Shing Y., Chen C., Rosenthal R.A., Moses M., Lane W.S., Cao Y., Sage E.H., Folkman J. Angiostatin: a novel angiogenesis inhibitor that mediates the suppression of metastases by a Lewis lung carcinoma // Cell. 1994. Vol. 79. No. 2. Pp. 315-328. DOI: 10.1016/0092-8674(94)90200-3
27. Hahnfeldt P., Panigrahy D., Folkman J., Hlatky L. Tumor development under angiogenic signaling: A dynamical theory of tumor growth, treatment response, and postvascular dormancy // Cancer Research. 1999. Vol. 59. No. 19. Pp. 4770–4775.
28. Stepanova E.V. Antiangiogennaya terapiya: novye vozmozhnosti lecheniya zlokachestvennykh zabolevanii // Prakticheskaya onkologiya. 2002. T. 3. № 4 (12). S. 246-252.
29. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd ed. B.; N.Y.: Springer, 1995. 549 p. DOI: 10.1007/978-1-84628-615-5
30. Utkin V.I. Skol'zyashchie rezhimy v zadachakh optimizatsii i upravleniya. M.: Nauka, 1981. 367 s.
31. Drakunov S.V., Izosimov D.B., Luk'yanov A.G., Utkin V.A., Utkin V.I. Printsip blochnogo upravleniya. I // Avtomatika i telemekhanika. 1990. № 5. S. 38–47.
32. Utkin V., Guldner J., Shi J. Sliding mode control in electromechanical systems. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2009. 503 p.
33. Emel'yanov S.V., Korovin S.K. Novye tipy obratnoi svyazi: Upravlenie pri neopredelennosti. M.: Fizmatlit, 1997. 348 s.
34. Andrievskii B.R., Fradkov A.L. Adaptivnoe upravlenie letatel'nym apparatom s identifikatsiei na skol'zyashchikh rezhimakh // Upravlenie bol'shimi sistemami. 2009. № 26. S. 113-144.
35. Drakunov S.V. Sliding-mode observers based on equivalent control method // 31st IEEE conf. on decision and control: CDC 1992 (Tucson, Arizona, USA, December 16-18, 1992): Proc. Vol. 2. N.Y.: IEEE, 1992. Pp. 2368-2369. DOI: 10.1109/CDC.1992.371368
36. Drakunov S.V., Utkin V. Sliding mode observers. Tutorial // 34th conf. on decision and control: CDC 1995 (New Orleans, LA, USA, December 13-15, 1995): Proc. Vol. 4. N.Y.: IEEE, 1996. Pp. 3376-3378. DOI: 10.1109/CDC.1995.479009
37. Dik V.V., Krasnova S.A., Tkachev S.B. Analiticheskoe rezervirovanie izmeritel'nykh sistem letatel'nogo apparata // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 6. S. 211-226. DOI: 10.7463/0613.0571439
