Математика и математическое моделирование. 2018; : 22-51
Уточненный алгоритм аппроксимации граничного интегрального уравнения в вихревых методах моделирования обтекания профилей с криволинейной границей
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000158Аннотация
Рассматривается проблема повышения точности лагранжевых вихревых методов моделирования обтекания профилей плоскопараллельным потоком вязкой несжимаемой среды. Определяющим фактором является точность моделирования процесса генерации завихренности на границе профиля. В рассмотренной математической модели слой завихренности, генерируемой за шаг расчета по времени, представляется тонким вихревым слоем, расположенным на границе области течения – на поверхности обтекаемого профиля. Его интенсивность может быть найдена из граничного условия прилипания, выраженного в форме векторного граничного интегрального уравнения, при этом достаточно обеспечить его удовлетворение лишь для одной из компонент: нормальной либо касательной к границе профиля. Используемый математический аппарат основан на свойствах обобщенного разложения Гельмгольца для соленоидальных векторных полей. Получающиеся в результате скалярные интегральные уравнения имеют существенно различные свойства: в первом случае уравнение является сингулярным и интеграл в нем понимается в смысле главного значения по Коши, во втором – ядро уравнения ограничено для гладких участков границы. В работе рассмотрены оба подхода.
Для численного решения граничных интегральных уравнений в вихревых методах обычно используют так называемые панельные методы, в соответствии с которыми исходная кривая, задающая границу профиля, заменяется панелями, для которых записывают дискретный аналог исходного интегрального уравнения. В работе предложен подход к аппроксимации граничного интегрального уравнения, основанный на идеях разрывного метода Галеркина. При этом в качестве базисных и проекционных функций могут быть использованы дельта-функции Дирака, кусочно-константные и кусочно-линейные функции. Показано, что дискретизация профиля прямолинейными панелями может приводить к существенной погрешности приближенного решения, в особенности в случае существенно различных длин соседних панелей. Однако для такой дискретизации получены точные аналитические формулы для вычисления интегралов, выражающих коэффициенты системы линейных уравнений, аппроксимирующей интегральное уравнение в соответствии с подходом Галеркина.
Предложен подход, позволяющий явно учесть кривизну границы профиля. Для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, представляющей дискретный аналог интегрального уравнения, получены приближенные аналитические выражения в виде степенных разложений до слагаемых, пропорциональных третьей степени малого параметра – длины панели. Рассмотрен пример численного моделирования обтекания эллиптического профиля при существенно неравномерной дискретизации границы профиля. Полученный алгоритм имеет приемлемую вычислительную сложность и при этом позволяет получать верное качественно и более точное количественно решение по сравнению с ранее известными подходами.
Список литературы
1. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods: Theory and practice. Camb.; N.Y.: Camb. Univ. Press, 2000. 313 p.
2. Lewis R.I. Vortex element methods for fluid dynamic analysis of engineering systems. Camb.; N.Y.: Camb. Univ. Press, 2005. 566 p.
3. Lifanov I.K. Singular integral equations and discrete vortices. Utrecht: VSP, 1996. 475 p.
4. Lifanov I.K., Poltavskii L.N., Vainikko G.M. Hypersingular integral equations and their applications. Boca Raton; L.: Chapman & Hall: CRC Press, 2004. 396 p.
5. Ostrikov N.N., Zhmulin E.M. Vortex dynamics of viscous fluid flows: Pt.1: Two-dimensional flows // J. of Fluid Mechanics. 1994. Vol. 276. Pp. 81-111. DOI: 10.1017/S0022112094002478
6. Дынникова Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса // Докл. Российской акад. наук (РАН). 2004. Т. 399. № 1. С. 42-46.
7. Гувернюк С.В., Дынникова Г.Я. Моделирование обтекания колеблющегося профиля методом вязких вихревых доменов // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. № 1. С. 3-14.
8. Dynnikov Ya.A., Dynnikova G.Ya. Application of viscous vortex domains method for solving flow-structure problems // ECCOMAS Thematic conf. on multibody dynamics (Zagreb, Croatia, July 1-4, 2013): Proc. Zagreb, 2013. Pp. 877-882. DOI: 10.13140/2.1.2113.1207
9. Wu J.C., Thompson J.F. Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using an integro-differential formulation // Computers & Fluids. 1973. Vol. 1. No. 2. Pp. 197-215. DOI: 10.1016/0045-7930(73)90018-2
10. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области и операторах векторного анализа // Тр. МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/eng/book1108 (дата обращения 3.12.2018).
11. Kempka S.N., Glass M.W., Peery J.S., Strickland J.H., Ingber M.S. Accuracy considerations for implementing velocity boundary conditions in vorticity formulations // SANDIA Report. 1996. No. SAND96-0583 UC-700. DOI: 10.2172/242701
12. Rosenhead L. The formation of vortices from a surface of discontinuity // Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A: Math., Physical and Engineering Sciences. 1931. Vol. 134. No. 823. Pp. 170-192. DOI: 10.1098/rspa.1931.0189
13. Lighthill M.J. Introduction. Boundary layer theory // Laminar boundary layers / Ed. by L. Rosenhead. Oxf.: Clarendon Press, 1963. Ch. 2. Pp. 46-113.
14. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.; Л.: Гостехиздат, 1946. 448 с. [Muskhelishvili N.I. Singular integral equations. Groningen: P. Noordhoff, 1953. 447 p.].
15. Dynnikova G.Ya., Andronov P.R. Expressions of force and moment exerted on a body in a viscous flow via the flux of vorticity generated on its surface // Eur. J. of Mechanics – B/Fluids. 2018. Vol. 72. Pp. 293-300. DOI: 10.1016/j.euromechflu.2018.06.002
16. Dynnikova G.Ya. The integral formula for pressure field in the nonstationary barotropic flows of viscous fluid // J. of Mathematical Fluid Mechanics. 2014. Vol. 16. No. 1. Pp. 145-162. DOI: 10.1007/s00021-013-0148-z
17. Yoshifumi Ogami, Teruaki Akamatsu. Viscous flow simulation using the discrete vortex model – the diffusion velocity method // Computers & Fluids. 1991. Vol. 19. No. 3-4. Pp. 433-441. DOI: 10.1016/0045-7930(91)90068-S
18. Дынникова Г.Я. Движение вихрей в двумерных течениях вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2003. № 5. С. 11-19.
19. Moreva V.S., Marchevsky I.K. Vortex element method for 2D flow simulation with tangent velocity components on airfoil surface // 6th Eur. congress on computational methods in applied sciences and engineering: ECCOMAS 2012 (Vienna, Austria, September 10-14, 2012): Full papers. Vienna, 2012. Pp. 5952-5965. Режим доступа: http://eccomas.org/cvdata/cntr1/spc7/dtos/img/mdia/ECCOMAS-2012-e-book-Title-Content.pdf (дата обращения 3.12.2018).
20. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Milani D., Ryatina E.P. Accuracy comparison of different approaches for vortex sheet discretization on the airfoil in vortex particles method // Particles 2017: 5th Intern. conf. on particle-based methods – Fundamentals and applications (Hannover, Germany, September 26-28, 2017): Proc. 2017. Pp. 691-702. Режим доступа: http://www.eccomas.org/cvdata/cntr1/spc10/dtos/img/mdia/particles2017-ebook.pdf (дата обращения 3.12.2018).
21. Кузьмина К.С., Марчевский И.К., Морева В.С. Определение интенсивности вихревого слоя при моделировании вихревыми методами обтекания профиля потоком несжимаемой среды // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 10. С. 20-34.
22. Кузьмина К.С., Марчевский И.К., Морева В.С., Рятина Е.П. Расчетная схема вихревых методов второго порядка точности для моделирования обтекания профилей несжимаемым потоком // Изв. высших учебных заведений. Авиационная техника. 2017. № 3. С. 73-80.
23. Katz J., Plotkin A. Low-speed aerodynamics: From wing theory to panel methods. N.Y.: McGraw-Hill, 1991. 632 p.
24. Cockburn B., Shu C.-W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems // J. of Scientific Computing. 2001. Vol. 16. No. 3. Pp. 173-261. DOI: 10.1023/A:1012873910884
25. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Ryatina E.P. Exact analytical formulae for linearly distributed vortex and source sheets in uence computation in 2D vortex methods // J. of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 918. Conf. 1. Article 012013. DOI: 10.1088/1742-6596/918/1/012013
26. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Ryatina E.P. Exact solutions of boundary integral equation arising in vortex methods for incompressible flow simulation around elliptical and Zhukovsky airfoils // J. of Physics: Conference Series. 2019 (в печати).
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 22-51
Improved Algorithm of Boundary Integral Equation Approximation in 2D Vortex Method for Flow Simulation Around Curvilinear Airfoil
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000158Abstract
References
1. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex methods: Theory and practice. Camb.; N.Y.: Camb. Univ. Press, 2000. 313 p.
2. Lewis R.I. Vortex element methods for fluid dynamic analysis of engineering systems. Camb.; N.Y.: Camb. Univ. Press, 2005. 566 p.
3. Lifanov I.K. Singular integral equations and discrete vortices. Utrecht: VSP, 1996. 475 p.
4. Lifanov I.K., Poltavskii L.N., Vainikko G.M. Hypersingular integral equations and their applications. Boca Raton; L.: Chapman & Hall: CRC Press, 2004. 396 p.
5. Ostrikov N.N., Zhmulin E.M. Vortex dynamics of viscous fluid flows: Pt.1: Two-dimensional flows // J. of Fluid Mechanics. 1994. Vol. 276. Pp. 81-111. DOI: 10.1017/S0022112094002478
6. Dynnikova G.Ya. Lagranzhev podkhod k resheniyu nestatsionarnykh uravnenii Nav'e-Stoksa // Dokl. Rossiiskoi akad. nauk (RAN). 2004. T. 399. № 1. S. 42-46.
7. Guvernyuk S.V., Dynnikova G.Ya. Modelirovanie obtekaniya koleblyushchegosya profilya metodom vyazkikh vikhrevykh domenov // Izv. RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2007. № 1. S. 3-14.
8. Dynnikov Ya.A., Dynnikova G.Ya. Application of viscous vortex domains method for solving flow-structure problems // ECCOMAS Thematic conf. on multibody dynamics (Zagreb, Croatia, July 1-4, 2013): Proc. Zagreb, 2013. Pp. 877-882. DOI: 10.13140/2.1.2113.1207
9. Wu J.C., Thompson J.F. Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using an integro-differential formulation // Computers & Fluids. 1973. Vol. 1. No. 2. Pp. 197-215. DOI: 10.1016/0045-7930(73)90018-2
10. Bykhovskii E.B., Smirnov N.V. Ob ortogonal'nom razlozhenii prostranstva vektor-funktsii, kvadratichno summiruemykh po zadannoi oblasti i operatorakh vektornogo analiza // Tr. MIAN SSSR. 1960. T. 59. S. 5-36. Rezhim dostupa: http://mi.mathnet.ru/eng/book1108 (data obrashcheniya 3.12.2018).
11. Kempka S.N., Glass M.W., Peery J.S., Strickland J.H., Ingber M.S. Accuracy considerations for implementing velocity boundary conditions in vorticity formulations // SANDIA Report. 1996. No. SAND96-0583 UC-700. DOI: 10.2172/242701
12. Rosenhead L. The formation of vortices from a surface of discontinuity // Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A: Math., Physical and Engineering Sciences. 1931. Vol. 134. No. 823. Pp. 170-192. DOI: 10.1098/rspa.1931.0189
13. Lighthill M.J. Introduction. Boundary layer theory // Laminar boundary layers / Ed. by L. Rosenhead. Oxf.: Clarendon Press, 1963. Ch. 2. Pp. 46-113.
14. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya. M.; L.: Gostekhizdat, 1946. 448 s. [Muskhelishvili N.I. Singular integral equations. Groningen: P. Noordhoff, 1953. 447 p.].
15. Dynnikova G.Ya., Andronov P.R. Expressions of force and moment exerted on a body in a viscous flow via the flux of vorticity generated on its surface // Eur. J. of Mechanics – B/Fluids. 2018. Vol. 72. Pp. 293-300. DOI: 10.1016/j.euromechflu.2018.06.002
16. Dynnikova G.Ya. The integral formula for pressure field in the nonstationary barotropic flows of viscous fluid // J. of Mathematical Fluid Mechanics. 2014. Vol. 16. No. 1. Pp. 145-162. DOI: 10.1007/s00021-013-0148-z
17. Yoshifumi Ogami, Teruaki Akamatsu. Viscous flow simulation using the discrete vortex model – the diffusion velocity method // Computers & Fluids. 1991. Vol. 19. No. 3-4. Pp. 433-441. DOI: 10.1016/0045-7930(91)90068-S
18. Dynnikova G.Ya. Dvizhenie vikhrei v dvumernykh techeniyakh vyazkoi zhidkosti // Izv. RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2003. № 5. S. 11-19.
19. Moreva V.S., Marchevsky I.K. Vortex element method for 2D flow simulation with tangent velocity components on airfoil surface // 6th Eur. congress on computational methods in applied sciences and engineering: ECCOMAS 2012 (Vienna, Austria, September 10-14, 2012): Full papers. Vienna, 2012. Pp. 5952-5965. Rezhim dostupa: http://eccomas.org/cvdata/cntr1/spc7/dtos/img/mdia/ECCOMAS-2012-e-book-Title-Content.pdf (data obrashcheniya 3.12.2018).
20. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Milani D., Ryatina E.P. Accuracy comparison of different approaches for vortex sheet discretization on the airfoil in vortex particles method // Particles 2017: 5th Intern. conf. on particle-based methods – Fundamentals and applications (Hannover, Germany, September 26-28, 2017): Proc. 2017. Pp. 691-702. Rezhim dostupa: http://www.eccomas.org/cvdata/cntr1/spc10/dtos/img/mdia/particles2017-ebook.pdf (data obrashcheniya 3.12.2018).
21. Kuz'mina K.S., Marchevskii I.K., Moreva V.S. Opredelenie intensivnosti vikhrevogo sloya pri modelirovanii vikhrevymi metodami obtekaniya profilya potokom neszhimaemoi sredy // Matematicheskoe modelirovanie. 2017. T. 29. № 10. S. 20-34.
22. Kuz'mina K.S., Marchevskii I.K., Moreva V.S., Ryatina E.P. Raschetnaya skhema vikhrevykh metodov vtorogo poryadka tochnosti dlya modelirovaniya obtekaniya profilei neszhimaemym potokom // Izv. vysshikh uchebnykh zavedenii. Aviatsionnaya tekhnika. 2017. № 3. S. 73-80.
23. Katz J., Plotkin A. Low-speed aerodynamics: From wing theory to panel methods. N.Y.: McGraw-Hill, 1991. 632 p.
24. Cockburn B., Shu C.-W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems // J. of Scientific Computing. 2001. Vol. 16. No. 3. Pp. 173-261. DOI: 10.1023/A:1012873910884
25. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Ryatina E.P. Exact analytical formulae for linearly distributed vortex and source sheets in uence computation in 2D vortex methods // J. of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 918. Conf. 1. Article 012013. DOI: 10.1088/1742-6596/918/1/012013
26. Kuzmina K.S., Marchevsky I.K., Ryatina E.P. Exact solutions of boundary integral equation arising in vortex methods for incompressible flow simulation around elliptical and Zhukovsky airfoils // J. of Physics: Conference Series. 2019 (v pechati).
