Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 37-49

Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями

Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Пугачёв О. В.

Аннотация

Композиты о своей структуре является неоднородным материалом (гетерогенным твердым телом), в котором принято выделять матрицу и включения. Матрица в композите выполняет роль связующего между включениями, свойства которых в основном и определяют область применения композита. Подбор характеристик матрицы и включений дает возможность удовлетворять требованиям к материалам, применяемым в различных областях техники. Наряду с широким использованием композитов в качестве конструкционного или теплозащитного материала они находят применение как функциональные материалы в разнообразных электротехнических устройствах и приборах, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита-диэлектрика одной из важнейших характеристик является относительная диэлектрическая проницаемость, определяемая прежде всего диэлектрическими свойствами матрицы и включений, а также формой и объемной концентрацией включений.Для композита с дисперсными включениями можно построить адекватные математические модели, дающие возможность достаточно достоверно прогнозировать зависимость его диэлектрической проницаемости от указанных определяющих параметров. Среди различных подходов к построению таких моделей можно выделить использованный в данной работе вариационный подход, позволяющий не только установить эту зависимость, но и получить гарантированные двусторонние границы области возможных значений диэлектрической проницаемости композита, используемой для оценки наибольшей возможной погрешности вычисляемых значений. Рассмотрен представительный элемент структуры композита с включениями шаровой формы, моделирующими форму дисперсных включений с размерами, близкими во всех направлениях. Для этого представительного элемента получено распределение электростатического потенциала, допустимое для минимизируемого функционала, входящего в вариационную форму математической модели, описывающей диэлектрическое свойства рассматриваемого композита. Из равенства значений этого функционала на полученном допустимом распределении в представительном элементе структуры композита и на распределении в равновеликом элементе однородной среды с искомой диэлектрической проницаемостью композита найдена зависимость этой величины от диэлектрических характеристик матрицы и включений и от объемной концентрацией включений.Количественный анализ полученной зависимости в широком интервале определяющих параметров показал, что все результаты расчетов расположены в области возможных значений, определяемой построенными двусторонними оценками. Это подтверждает адекватность использованного вариационного подхода и возможность его применения для прогноза диэлектрических характеристик композитов с дисперсными включениями.

DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

Список литературы

1. Физический энциклопедический словарь / гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с

3. Политехнический словарь / гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Советская энциклопедия, 1989. 656 с

4. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. С. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

5. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Моделирование диэлектрических характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 1. С. 49-64. DOI: 10.7463/0113.0531682

6. Можен Ж. Механика электромагнитных сред: пер. с англ. М.: Мир, 1991. 560 с. [ Maugin G . A . Continuum mechanics of electromagnetic solids . Amsterdam : North - Holland Publishing Co ., 1988.]

7. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с

8. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие. В 4 т. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 560 с

9. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики / под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 700 с

10. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление / под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 488 с

11. Зарубин В.С., Котович А.В., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями // Известия РАН. Энергетика. 2012. № 6. С. 118-126

12. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 7. С. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319

13. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 9. С . 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 37-49

A Variational Approach to the Estimate of the Permittivity of a Composite with Dispersed Inclusions

Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Pugachev O. V.

Abstract

Composites are inhomogeneous materials (heterogeneous solid body, which fall into the matrix and inclusions. The matrix in a composite is a binder between the inclusions. The properties of the inclusions mainly determine the application of composites. Selection of the characteristics of the matrix and inclusions enables us to meet the requirements for materials to be used in various fields of technology. Composites are widely used as structural or thermal protection material and as functional materials in various electrical devices, including dielectrics. One of the most important characteristics of the composite dielectric is the relative permittivity. The latter is primarily determined by the dielectric properties of the matrix and inclusions, as well as the shape and volume concentration of inclusions.
For a composite with dispersed inclusions we are able to construct adequate mathematical models which enable us to predict sufficiently reliably the dependence of its dielectric constant on these defining parameters. In this paper, among the various approaches to the construction of such models we emphasize a variational approach which allows us not only to determine this dependence, but also obtain guaranteed bilateral boundaries of the area of possible values of the dielectric constant of the composite used to estimate the highest accuracy of calculated values.
The representative element of the composite structure with inclusions of spherical shape modeling the form of dispersed inclusions with dimensions close to all directions is considered. For the representative element we obtained the electrostatic potential distribution that is permissible for the minimized functional. The latter is the part of the variational form of a mathematical model which describes the dielectric properties of the considered composite. From the equality of the values of this functional on the received permissible distribution in a representative element of the composite structure and on the distribution in the equal-element of homogeneous medium with the desired dielectric constant of the composite we determined the dependence of this value on the dielectric characteristics of the matrix and inclusions and on the volume concentration of inclusions.
Quantitative analysis of the obtained dependence in a wide range of defining parameters showed that all the results of the calculations are located in the area of possible values. This area is defined by constructed bilateral estimates. This confirms the appropriate use of the variational approach and the possibility of its application for the prediction of the dielectric characteristics of composites with dispersed inclusions.

DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

References

1. Fizicheskii entsiklopedicheskii slovar' / gl. red. A.M. Prokhorov. M.: Sovetskaya entsiklopediya, 1983. 928 s

2. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika. V 10 t. T. 8. Elektrodinamika sploshnykh sred. M.: Nauka, 1992. 664 s

3. Politekhnicheskii slovar' / gl. red. A.Yu. Ishlinskii. M.: Sovetskaya entsiklopediya, 1989. 656 s

4. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Matematicheskoe modelirovanie dielektricheskikh svoistv polimer-keramicheskikh kompozitsionnykh materialov metodom asimptoticheskogo osredneniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 10. S. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

5. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Modelirovanie dielektricheskikh kharakteristik kompozitsionnykh materialov na osnove metoda asimptoticheskogo osredneniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 1. S. 49-64. DOI: 10.7463/0113.0531682

6. Mozhen Zh. Mekhanika elektromagnitnykh sred: per. s angl. M.: Mir, 1991. 560 s. [ Maugin G . A . Continuum mechanics of electromagnetic solids . Amsterdam : North - Holland Publishing Co ., 1988.]

7. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2008. 512 s

8. Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoi sredy: ucheb. posobie. V 4 t. T. 2. Universal'nye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2011. 560 s

9. Vlasova E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblizhennye metody matematicheskoi fiziki / pod red. V.S. Zarubina, A.P. Krishchenko. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2004. 700 s

10. Van'ko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Variatsionnoe ischislenie i optimal'noe upravlenie / pod red. V.S. Zarubina, A.P. Krishchenko. M.: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 1999. 488 s

11. Zarubin V.S., Kotovich A.V., Kuvyrkin G.N. Otsenki effektivnogo koeffitsienta teploprovodnosti kompozita s anizotropnymi sharovymi vklyucheniyami // Izvestiya RAN. Energetika. 2012. № 6. S. 118-126

12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Sravnitel'nyi analiz otsenok koeffitsienta teploprovodnosti kompozita s anizotropnymi sharovymi vklyucheniyami // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 7. S. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319

13. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Otsenka effektivnoi teploprovodnosti kompozita s sharovymi vklyucheniyami metodom samosoglasovaniya // Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. Elektron. zhurn. 2013. № 9. S . 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512