Математика и математическое моделирование. 2018; : 1-10
Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149Аннотация
В работе решается краевая задача о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости. Уравнение Лаврентьева – Бицадзе является уравнением смешанного (эллиптико – гиперболического) типа. Уравнения смешанного типа возникают при решении многих задач прикладного характера (например, при моделировании околозвуковых течений сжимаемой среды).
В работе областью эллиптичности является полуплоскость, а областью гиперболичности – примыкающая к ней полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная (в направлении, образующим острый угол с этой прямой), а на другой прямой – границе раздела полосы и полуплоскости – решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода. В полосе гиперболичности решение представлено формулой Даламбера, а в полуплоскости, где уравнение является эллиптическим, ограниченное решение представлено интегралом Пуассона с неизвестной плотностью. Для этой неизвестной плотности интеграла Пуассона получено сингулярное интегральное уравнение, которое сведено к краевой задаче Римана со сдвигом для голоморфных функций. Решение задачи Римана сведено к решению двух функциональных уравнений. Решения этих функциональных уравнений и формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши позволили найти неизвестную плотность интеграла Пуассона. А это позволило найти решение задачи о наклонной производной в виде суммы функционального ряда (с точностью до произвольного постоянного слагаемого).
Список литературы
1. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1953. Т. 41. С. 3–59. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/5d1c1eebdcdf52b9229df55c10eca823/tm1177.pdf (дата обращения 5.12.2018).
2. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 2. С. 325–338. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/a5e9d0e59c9822672ab22cd6b3760cca/de4197.pdf (дата обращения 5.12.2018).
3. Митюшев В.В. Решение одной задачи с нелокальными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1461–1463. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/912caa027706c9cda80905a0fc557eca/de7897.pdf (дата обращения 5.12.2018).
4. Моисеев Е.И., Зарубин А.Н. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1212–1215.
5. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2012. Т. 278. С. 242–249. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/d60b8ad0f959a6d3ec91478b0388fe8c/tm3402.pdf (дата обращения 6.12.2018).
6. Моисеев Е.И., Моисеев Т.Е., Вафодорова Г.О. Об интегральном представлении задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1070-1075. DOI: 10.1134/S0374064115080105
7. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2016. № 6. С. 61–72. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/ca57f1ed070d7a3e0f6093a516181123/ivm9124.pdf (дата обращения 6.12.2018).
8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуплоскости // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 2. С. 1–8. DOI: 10.7463/mathm.0216.0843737
9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд. М.: Наука, 1977. 640 с.
10. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 1-10
Oblique Derivative Problem Solution for the Lavrentyev-Bitsadze Equation in a Half-Plane
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000149Abstract
The paper solves the boundary value problem of an oblique derivative for the Lavrent'ev – Bitsadze equation in a half-plane. The Lavrent'ev – Bitsadze equation is an equation of mixed (elliptic-hyperbolic) type. Mixed-type equations arise when solving many applied problems (for example, when simulating transonic flows of a compressible medium).
In the paper, the domain of ellipticity is a half-plane, and that of hyperbolicity is its adjacent strip. On one of the straight lines bounding the strip, an oblique derivative is specified (in the direction that forms an acute angle with this straight line), and on the other straight line, which is the interface between the strip and the half-plane, the solutions are matched by boundary conditions of the fourth kind. In the hyperbolicity strip, the solution is represented by the d'Alembert formula, and in the half-plane, where the equation is elliptic, the bounded solution is represented by the Poisson integral with unknown density. For this unknown density of the Poisson integral, a singular integral equation is obtained, which is reduced to the Riemann boundary value problem with a shift for holomorphic functions. The solution of the Riemann problem is reduced to the solution of two functional equations. Solutions of these functional equations and the Sokhotsky formula for an integral of Cauchy type allowed us to find the unknown density of the Poisson integral. This allowed us to find a solution to the oblique derivative problem as the sum of a functional series (up to an arbitrary constant term).
References
1. Bitsadze A.V. K probleme uravnenii smeshannogo tipa // Tr. MIAN SSSR. 1953. T. 41. S. 3–59. Rezhim dostupa: http://www.mathnet.ru/links/5d1c1eebdcdf52b9229df55c10eca823/tm1177.pdf (data obrashcheniya 5.12.2018).
2. Moiseev E.I. O zadache Trikomi dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze // Differentsial'nye uravneniya. 1981. T. 17. № 2. S. 325–338. Rezhim dostupa: http://www.mathnet.ru/links/a5e9d0e59c9822672ab22cd6b3760cca/de4197.pdf (data obrashcheniya 5.12.2018).
3. Mityushev V.V. Reshenie odnoi zadachi s nelokal'nymi usloviyami dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze // Differentsial'nye uravneniya. 1992. T. 28. № 8. S. 1461–1463. Rezhim dostupa: http://www.mathnet.ru/links/912caa027706c9cda80905a0fc557eca/de7897.pdf (data obrashcheniya 5.12.2018).
4. Moiseev E.I., Zarubin A.N. Zadacha Trikomi dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze s zapazdyvayushchim argumentom // Differentsial'nye uravneniya. 2001. T. 37. № 9. S. 1212–1215.
5. Soldatov A.P. O zadachakh tipa Dirikhle dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze // Tr. Matem. in-ta im. V.A. Steklova RAN. 2012. T. 278. S. 242–249. Rezhim dostupa: http://www.mathnet.ru/links/d60b8ad0f959a6d3ec91478b0388fe8c/tm3402.pdf (data obrashcheniya 6.12.2018).
6. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Vafodorova G.O. Ob integral'nom predstavlenii zadachi Neimana-Trikomi dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze // Differentsial'nye uravneniya. 2015. T. 51. № 8. S. 1070-1075. DOI: 10.1134/S0374064115080105
7. Sabitov K.B., Novikova V.A. Nelokal'naya zadacha A.A. Dezina dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Matematika. 2016. № 6. S. 61–72. Rezhim dostupa: http://www.mathnet.ru/links/ca57f1ed070d7a3e0f6093a516181123/ivm9124.pdf (data obrashcheniya 6.12.2018).
8. Algazin O.D., Kopaev A.V. K zadache o naklonnoi proizvodnoi dlya uravneniya Lavrent'eva-Bitsadze v poluploskosti // Matematika i matematicheskoe modelirovanie. MGTU im. N. E. Baumana. Elektron. zhurn. 2016. № 2. S. 1–8. DOI: 10.7463/mathm.0216.0843737
9. Gakhov F.D. Kraevye zadachi. 3-e izd. M.: Nauka, 1977. 640 s.
10. Litvinchuk G.S. Kraevye zadachi i singulyarnye integral'nye uravneniya so sdvigom. M.: Nauka, 1977. 448 s.
