Математика и математическое моделирование. 2018; : 1-16
Конечно-элементное моделирование необратимого процесса поляризации сегнетоэлектрических керамик
https://doi.org/10.24108/mathm.0518.0000145Аннотация
Для квазистатических процессов разработана конечно-элементная модель, описывающая необратимые процессы деформирования и поляризации, протекающие в поликристаллических сегнетоэлектрических средах, вследствие воздействия интенсивных электрических полей и механических нагрузок. Внешние параметры деформации и поляризации представлены в виде суммы остаточных и обратимых частей. С использованием инкрементальной теории, принципа возможной работы и определяющих соотношений для обратимых и необратимых составляющих, построена система линейных алгебраических уравнений относительно приращений при переходе от одного равновесного состояния к другому узловых значений основных переменных задачи: вектора перемещений и электрического потенциала. Построены определяющие соотношения, связывающие обратимые части деформации и поляризации с напряжениями и электрическим полем в виде линейных тензорных уравнений. Показано, что физические характеристики зависят от остаточных параметров так, что коэффициенты упругих податливостей и диэлектрические проницаемости линейно зависят от главных значений остаточной деформации, а пьезоэлектрические модули от модуля остаточной поляризации. Определяющие соотношения для приращений остаточных параметров определяются в виде элементных величин для каждого конечного элемента из уравнений в дифференциалах. В результате задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений, матрица и правые части которой зависят от остаточных параметров и определяются на каждом равновесном состоянии. В результате нелинейность задачи заменяется решением последовательности линейных задач до тех пор, пока внешние нагрузки не достигнут своих конечных значений.
Модель имплантирована в конечно-элементный комплекс, позволяющий находить поля распределения остаточных величин, физические характеристики частично поляризованного тела и локальную анизотропию для случая полной и частичной поляризации.
Список литературы
1. Lynch C.S. The effect of uniaxial stress on the electro-mechanical response of 8/65/35 PLZT // Acta Materialia. 1996. Vol. 44. No. 10. Pp. 4137-4148. DOI: 10.1016/S1359-6454(96)00062-6
2. Dayu Zhou, Kamlah M. Dielectric and piezoelectric performance of soft PZT piezoceramics under simultaneous alternating electromechanical loading // J. of the European Ceramic Society. 2005. Vol. 25. No. 12. Pp. 2415-2420. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2005.03.073
3. Белоконь А.В., Скалиух А.С. Математическое моделирование необратимых процессов поляризации. М.: Физматлит, 2010. 328 с.
4. Skaliukh A.S. About mathematical models of irreversible polarization processes of a ferroelectric and ferroelastic polycrystals // Ferroelectrics and their applications / Ed. by Husein Irzaman. IntechOpen, 2018. Ch. 4. Pp. 39-69. DOI: 10.5772/intechopen.78262
5. Huber J.E., Fleck N.A. Multi-axial electrical switching of a ferroelectric: theory versus experiment // J. of the Mechanics and Physics of Solids. 2001. Vol. 49. No. 4. Pp. 785-811. DOI: 10.1016/S0022-5096(00)00052-1
6. Kamlah M., Bohle U. Finite element analysis of piezoceramic components taking into account ferroelectric hysteresis behavior // Intern. J. of Solids and Structures. 2001. Vol. 38. No. 4. Pp. 605-633. DOI: 10.1016/S0020-7683(00)00055-X
7. McMeeking R.M., Landis C.M. A phenomenological multi-axial constitutive law for switching in polycrystalline ferroelectric ceramics // Intern. J. of Engineering Science. 2002. Vol. 40. No. 14. Pp. 1553-1577. DOI: 10.1016/S0020-7225(02)00033-2
8. Landis C.M. Fully coupled, multi-axial, symmetric constitutive laws for polycrystalline ferroelectric ceramics // J. of the Mechanics and Physics of Solids. 2002. Vol. 50. No. 1. Pp. 127-152. DOI: 10.1016/S0022-5096(01)00021-7
9. Haug A., Knoblauch V., McMeeking R.M. Combined isotropic and kinematic hardening in phenomenological switching models for ferroelectric ceramics // Intern. J. of Engineering Science. 2003. Vol. 41. No.8. Pp. 887-901. DOI: 10.1016/S0020-7225(02)00320-8
10. Huber J.E., Fleck N.A. Ferroelectric switching: a micromechanics model versus measured behaviour // Eur. J. of Mechanics A/Solids. 2004. Vol. 23. No. 2. Pp. 203–217. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2003.11.006
11. Kamlah M., Liskowsky A.C., McMeeking R.M., Balke H. Finite element simulation of a polycrystalline ferroelectric based on a multidomain single crystal switching model // Intern. J. of Solids and Structures. 2005. Vol. 42. No. 9-10. Pp. 2949-2964. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.09.045
12. Haug A., Onck P.R., Van der Giessen E. Development of inter- and intragranular stresses during switching of ferroelectric polycrystals // Intern. J. of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. No. 6. Pp. 2066–2078. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2006.07.024
13. Pane I., Fleck N.A., Chu D.P., Huber J.E. The influence of mechanical constraint upon the switching of a ferroelectric memory capacitor // Eur. J. of Mechanics A/Solids. 2009. Vol. 28. No. 2. Pp. 195–201. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2008.09.002
14. Jayabal K., Menzel A., Arockiarajan A., Srinivasan S.M. Micromechanical modelling of switching phenomena in polycrystalline piezoceramics: application of a polygonal finite element approach // Computational Mechanics. 2011. Vol. 48. No. 4. Pp. 421-435. DOI: 10.1007/s00466-011-0595-4
15. Daniel L., Hall D.A., Withers P.J. A multiscale model for reversible ferroelectric behaviour of polycrystalline ceramics // Mechanics of Materials. 2014. Vol. 71. Pp. 85–100. DOI: 10.1016/j.mechmat.2014.01.006
16. Осипова Н.Г., Семенов А.С. Моделирование нелинейного поведения пьезокерамики и тетрагональной структуры методами конечно-элементной гомогенизации // Науч.-техн. ведомости С.-Петербург. гос. политехн. ун-та. Физ.-матем. науки. 2011. № 4(134). С. 56-64.
17. Smith R.C., Zoubeida Ounaies. A domain wall model for hysteresis in piezoelectric materials // J. of Intelligent Material Systems and Structures. 2000. Vol. 11. No. 1. Pp. 62-79. DOI: 10.1106/HPHJ-UJ4D-E9D0-2MDY
18. Скалиух А.С. Моделирование необратимых процессов поляризации и деформации в керамике // 14-й Российско-СНГ-балтийско-японский симп. по сегнетоэлектричеству (С.-Петербург, Россия, 14-18 мая 2018): Тез. докл. СПб., 2018. С. 71.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 1-16
Finite-element Modeling Irreversible Polarization Process of Ferroelectric Ceramics
https://doi.org/10.24108/mathm.0518.0000145Abstract
A finite-element model developed for quasi-static processes describes irreversible processes of deformation and polarization occurring in polycrystalline ferroelectric media due to the effect of intense electric fields and mechanical loads. The paper presents external parameters such as strain and polarization as a sum of residual and reversible parts. Using the incremental theory, the virtual work law, and the constitutive relations for reversible and irreversible components, a system of linear algebraic equations was built for the increments of nodal values of the main variables, namely the displacement vector and the electric potential, during the transition from one equilibrium state to another.
The constructed constitutive relations connect the reversible parts of the strain and polarization with the stresses and the electric field in the form of linear tensor equations. It is shown that the physical characteristics depend on the residual parameters so that the coefficients of elastic compliance and dielectric constant linearly depend on the principal values of residual strain, and the piezoelectric modules depend linearly on the module of residual polarization. The constitutive relations for the increments of the residual parameters are determined as element values for each finite element from the equations in differentials. Ultimately, the task is reduced to a system of linear algebraic equations, the matrix and right sides of which depend on the residual parameters and are determined at each equilibrium state. As a result, the non-linearity of the problem is replaced by solving a sequence of linear problems until the external loads reach their final values.
The model is implanted into a finite-element complex, which allows us to determine the fields of residual strain and polarization, the physical characteristics of a partially polarized body, and local anisotropy for the case of complete and partial polarization.
References
1. Lynch C.S. The effect of uniaxial stress on the electro-mechanical response of 8/65/35 PLZT // Acta Materialia. 1996. Vol. 44. No. 10. Pp. 4137-4148. DOI: 10.1016/S1359-6454(96)00062-6
2. Dayu Zhou, Kamlah M. Dielectric and piezoelectric performance of soft PZT piezoceramics under simultaneous alternating electromechanical loading // J. of the European Ceramic Society. 2005. Vol. 25. No. 12. Pp. 2415-2420. DOI: 10.1016/j.jeurceramsoc.2005.03.073
3. Belokon' A.V., Skaliukh A.S. Matematicheskoe modelirovanie neobratimykh protsessov polyarizatsii. M.: Fizmatlit, 2010. 328 s.
4. Skaliukh A.S. About mathematical models of irreversible polarization processes of a ferroelectric and ferroelastic polycrystals // Ferroelectrics and their applications / Ed. by Husein Irzaman. IntechOpen, 2018. Ch. 4. Pp. 39-69. DOI: 10.5772/intechopen.78262
5. Huber J.E., Fleck N.A. Multi-axial electrical switching of a ferroelectric: theory versus experiment // J. of the Mechanics and Physics of Solids. 2001. Vol. 49. No. 4. Pp. 785-811. DOI: 10.1016/S0022-5096(00)00052-1
6. Kamlah M., Bohle U. Finite element analysis of piezoceramic components taking into account ferroelectric hysteresis behavior // Intern. J. of Solids and Structures. 2001. Vol. 38. No. 4. Pp. 605-633. DOI: 10.1016/S0020-7683(00)00055-X
7. McMeeking R.M., Landis C.M. A phenomenological multi-axial constitutive law for switching in polycrystalline ferroelectric ceramics // Intern. J. of Engineering Science. 2002. Vol. 40. No. 14. Pp. 1553-1577. DOI: 10.1016/S0020-7225(02)00033-2
8. Landis C.M. Fully coupled, multi-axial, symmetric constitutive laws for polycrystalline ferroelectric ceramics // J. of the Mechanics and Physics of Solids. 2002. Vol. 50. No. 1. Pp. 127-152. DOI: 10.1016/S0022-5096(01)00021-7
9. Haug A., Knoblauch V., McMeeking R.M. Combined isotropic and kinematic hardening in phenomenological switching models for ferroelectric ceramics // Intern. J. of Engineering Science. 2003. Vol. 41. No.8. Pp. 887-901. DOI: 10.1016/S0020-7225(02)00320-8
10. Huber J.E., Fleck N.A. Ferroelectric switching: a micromechanics model versus measured behaviour // Eur. J. of Mechanics A/Solids. 2004. Vol. 23. No. 2. Pp. 203–217. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2003.11.006
11. Kamlah M., Liskowsky A.C., McMeeking R.M., Balke H. Finite element simulation of a polycrystalline ferroelectric based on a multidomain single crystal switching model // Intern. J. of Solids and Structures. 2005. Vol. 42. No. 9-10. Pp. 2949-2964. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.09.045
12. Haug A., Onck P.R., Van der Giessen E. Development of inter- and intragranular stresses during switching of ferroelectric polycrystals // Intern. J. of Solids and Structures. 2007. Vol. 44. No. 6. Pp. 2066–2078. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2006.07.024
13. Pane I., Fleck N.A., Chu D.P., Huber J.E. The influence of mechanical constraint upon the switching of a ferroelectric memory capacitor // Eur. J. of Mechanics A/Solids. 2009. Vol. 28. No. 2. Pp. 195–201. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2008.09.002
14. Jayabal K., Menzel A., Arockiarajan A., Srinivasan S.M. Micromechanical modelling of switching phenomena in polycrystalline piezoceramics: application of a polygonal finite element approach // Computational Mechanics. 2011. Vol. 48. No. 4. Pp. 421-435. DOI: 10.1007/s00466-011-0595-4
15. Daniel L., Hall D.A., Withers P.J. A multiscale model for reversible ferroelectric behaviour of polycrystalline ceramics // Mechanics of Materials. 2014. Vol. 71. Pp. 85–100. DOI: 10.1016/j.mechmat.2014.01.006
16. Osipova N.G., Semenov A.S. Modelirovanie nelineinogo povedeniya p'ezokeramiki i tetragonal'noi struktury metodami konechno-elementnoi gomogenizatsii // Nauch.-tekhn. vedomosti S.-Peterburg. gos. politekhn. un-ta. Fiz.-matem. nauki. 2011. № 4(134). S. 56-64.
17. Smith R.C., Zoubeida Ounaies. A domain wall model for hysteresis in piezoelectric materials // J. of Intelligent Material Systems and Structures. 2000. Vol. 11. No. 1. Pp. 62-79. DOI: 10.1106/HPHJ-UJ4D-E9D0-2MDY
18. Skaliukh A.S. Modelirovanie neobratimykh protsessov polyarizatsii i deformatsii v keramike // 14-i Rossiisko-SNG-baltiisko-yaponskii simp. po segnetoelektrichestvu (S.-Peterburg, Rossiya, 14-18 maya 2018): Tez. dokl. SPb., 2018. S. 71.
