Математика и математическое моделирование. 2018; : 57-70
О бифуркациях особой точки типа "полуфокус" кусочно-гладкой динамической системы
https://doi.org/10.24108/mathm.0518.0000140Аннотация
Для процессов, описываемых динамическими системами, периодическим колебаниям соответствуют замкнутые траектории динамических систем. Поэтому значительный интерес представляет описание бифуркаций рождения замкнутых траекторий из положения равновесия при изменении параметров. В типичных однопараметрических и двухпараметрических семействах гладких динамических систем на плоскости замкнутые траектории могут рождаться только из положения равновесия – сложного фокуса. При математическом моделировании в теории автоматического управления, в механике и в других приложениях часто используются кусочно-гладкие динамические системы. Для них имеются и другие бифуркации рождения замкнутых траекторий из положений равновесия. Одна из них и описывается в данной статье. Рассматривается типичное семейство динамических систем, задаваемое кусочно-гладким векторным полем на двумерном многообразии, зависящим от двух малых параметров. Предполагается, что при нулевых значениях параметров векторное поле имеет особую точку О на линии разрыва поля, причем точка О устойчива, в одной полуокрестности точки О поле совпадает с гладким векторным полем, для которого точка О – сложный фокус с положительной (отрицательной) первой ляпуновской величиной, а в другой полуокрестности совпадаетс гладким векторным полем, направленным в точках линии разрыва внутрь первой из полуокрестностей. Описаны бифуркации в окрестности точки О при изменении параметров. В частности, указаны области параметров, при которых векторное поле имеет устойчивую замкнутую траекторию.
Список литературы
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
2. Piecewise-smooth dynamical systems: Theory and applications / M. di Bernardo a.o. L.: Springer, 2008. 481 p.
3. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157–2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
4. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov–Hopf bifurcations piecewise-smooth continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371. No. 3. Pp. 213–220. DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046
5. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016
6. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399–2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сшитого фокуса // Матем. методы в технике и технологиях – ММТТ. 2015. № 1(71). С. 27-31.
8. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естеств.-матем. и техн. науки. 2016. № 2(181). С. 34-38.
9. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля // Науч.-техн. вестник Поволжья. 2016. № 5. С. 30-33.
10. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естеств.-матем. и техн. науки. 2016. № 4(191). С. 53-59.
11. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Изв. высш. учеб. заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. науки. 2017. № 2(42). С. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2
12. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв» // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и технические науки. 2017. № 4 (211). С. 22-29.
13. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1966. 568 с.
14. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1967. 487 с.
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 57-70
On Singular "Semifocus" Type Point Bifurcations of Piecewise Smooth Dynamical System
https://doi.org/10.24108/mathm.0518.0000140Abstract
For the processes described by dynamical systems, closed trajectories of dynamical systems are in line with periodic oscillations. Therefore, there is a considerable interest in describing the bifurcations of the generation of closed trajectories from equilibrium when the parameters change. In typical one-parameter and two-parameter families of smooth dynamical systems on a plane, closed trajectories can be generated only from equilibrium – weak focus. In mathematical modeling in the theory of automatic control, in mechanics and in other applications, piecewise smooth dynamical systems are often used. For them, there are other bifurcations of the generation of closed trajectories from equilibrium. The paper describes one of them, which is a typical family of dynamical systems specified by a piecewise smooth vector field on a two-dimensional manifold depending on two small parameters. It is assumed that for zero values of the parameters the vector field has a singular point O on the line of discontinuity of the field, and the point O is stable; in one half-neighborhood of the point O the field coincides with a smooth vector field for which the point O is a weak focus with positive (negative) first Lyapunov value, and in the other half-neighborhood it coincides with a smooth vector field directed at the points of the line of discontinuity inside the first of the semi-neighborhoods. The paper describes bifurcations in the neighborhood of the point O as the parameters change, in particular, indicating the regions of the parameters for which the vector field has a stable closed trajectory.
References
1. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast'yu. M.: Nauka, 1985. 224 s.
2. Piecewise-smooth dynamical systems: Theory and applications / M. di Bernardo a.o. L.: Springer, 2008. 481 p.
3. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157–2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
4. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov–Hopf bifurcations piecewise-smooth continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371. No. 3. Pp. 213–220. DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046
5. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016
6. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399–2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
7. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh sshitogo fokusa // Matem. metody v tekhnike i tekhnologiyakh – MMTT. 2015. № 1(71). S. 27-31.
8. Roitenberg V.Sh. O rozhdenii periodicheskoi traektorii iz tochki peresecheniya linii razryva vektornogo polya // Vestnik Adygeiskogo gos. un-ta. Ser. 4: Estestv.-matem. i tekhn. nauki. 2016. № 2(181). S. 34-38.
9. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh v okrestnosti tochki styka linii razryva vektornogo polya // Nauch.-tekhn. vestnik Povolzh'ya. 2016. № 5. S. 30-33.
10. Roitenberg V.Sh. O rozhdenii strannogo attraktora iz tochki styka linii razryva vektornogo polya // Vestnik Adygeiskogo gos. un-ta. Ser. 4: Estestv.-matem. i tekhn. nauki. 2016. № 4(191). S. 53-59.
11. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh v okrestnosti osoboi tochki tipa «trekhkratnyi sshityi fokus» // Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Povolzhskii region. Fiz.-matem. nauki. 2017. № 2(42). S. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2
12. Roitenberg V.Sh. O bifurkatsiyakh osoboi tochki tipa «sshityi klyuv» // Vestnik Adygeiskogo gos. un-ta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki. 2017. № 4 (211). S. 22-29.
13. Kachestvennaya teoriya dinamicheskikh sistem vtorogo poryadka / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Maier. M.: Nauka, 1966. 568 s.
14. Teoriya bifurkatsii dinamicheskikh sistem na ploskosti / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Maier. M.: Nauka, 1967. 487 s.
