Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор)

Статья в Elpub

Математика и математическое моделирование. 2015; : 1-22

Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор)

Аннотация

В статье проводится хронологический обзор исследований операторов с разбегающимися возмущениями. Поясним, что понимается под разбегающимися возмущениями. Элементарным примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двумя финитными потенциалами, носители которых находятся на большом расстоянии друг от друга, то есть, "разбегаются". Изучением таких операторов занимались ещё с середины прошлого столетия в основном зарубежные учёные (см., например, работы Ahlrichs R., Aktosun T., Klaus M., Aventini P., Aventini P., Exner P., Davies E.B., Graffi V., Harrell II E.V, Silverstone H.J., Mebkhout M., Höegh-Krohn R., Hunziker W., Kostrykin V., Schrader R., Morgan J.D.(III), Pinchover Y., Reity O.K., Tamura H., Wang X., Wang Y., Kondej S., Simon B., Veselič I., Борисов Д.И., Головина А.М.). Главными объектами их исследований были асимптотические поведения собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённых операторов. Имеется также несколько работ, в которых исследовались резольвенты и собственные значения возмущённого оператора, возникающего из края существенного спектра. Основными результатами работ прошлого столетия являются первые поправки асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций, а также первые поправки асимптотик резольвент данных возмущённых операторов. Главными результатами работ последних пятнадцати лет являются полные асимптотические разложения для собственных значений и соответствующих им функций и явная формула для резольвенты возмущённого оператора.В настоящей работе также отмечается, что вплоть до 2004 года в качестве возмущающих операторов рассматривались лишь различного рода потенциалы, а невозмущёнными операторами были операторы Лапласа и Дирака. Лишь с 2004 года в работах по данной тематике начинают встречаются непотенциальные возмущающие операторы, а вместо операторов Лапласа и Дирака в качестве невозмущённого оператора с 2012 года начинает рассматриваться произвольный эллиптический дифференциальный оператор.В статье предложена классификация исследований операторов с разбегающимися возмущениями, основанная на спектральных свойствах рассматриваемых операторов:1. Исследования собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Лапласа с разбегающимися потенциалами. • в случае простого предельного собственного значения; • в случае кратного предельного собственного значения.2. Исследования резольвенты оператора Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами.3. Исследования асимптотического поведения собственных значений, возникающих из края существенного спектра невозмущённого оператора. В заключении сформулируем проблемы по данной тематике, которые так и остались нерешёнными:1. Как ведут себя собственные значения и соответствующие им собственные функции, возникающих из края существенного спектра? При каких условиях они возникают? Как выглядит их асимптотическое разложение?2. Как выглядят первые поправки возмущённых собственных значений в случае произвольного конечного числа разбегающихся возмущений?

DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859

Список литературы

1. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular Force series ( 1 / R - expansion) // Theoretica Chemica Acta. 1976. Vol. 41 , no. 1. P. 7-15. DOI: 10.1007/BF00558020

2. Aktosun T., Klaus M., van der Mee C. On the number of bound states for the one-dimensional Srödinger equation // Journal of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39, no. 9. P. 4249-4259. DOI:10.1063/1.532510

3. Aventini P., Seiler R. On the electronic spectrum of the diatomic molecular ion // Communications in Mathematical Physics. 1975. Vol. 41, no. 2. P. 119-134. DOI: 10.1007/BF01608753

4. Borisov D.I. Asymtotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2007. Vol. 10, no. 2. P. 155-196. DOI: 10.1007/s11040-007-9028-1

5. Borisov D.I. Distant perturbation of the Laplacian in a multi-dimensional space // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8, no. 7. P. 1371-1399. DOI: 10.1007/s00023-007-0338-4

6. Borisov D.I., Exner P. Exponential splitting of bound states in a waveguide with a pair of distant windows // Journal of Physics A: Mathematics and General. 2004. Vol. 37, no. 10. P. 3411-3428. DOI: 10.1088/0305-4470/37/10/007

7. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians // Communications in Mathematical Physics. 1982. Vol. 85, no. 3. P. 471-479. DOI: 10.1007/BF01208725

8. Davies E.B. Spectral theory and differential operators. New York: Cambridge University Press, 1995. 182 p

9. Dobrokhotov S.Yu., Kolokoltsov V.N, Maslov V.P. Quantization of the Bellman Equation, Exponential Asymptotics and Tunneling // Advances in Soviet Mathematics. 1992. Vol. 13. P. 1-46

10. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 189, no. 3. P. 342-364

11. Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19, no. 2. P. 182-192

12. Graffi V., Grecchi V., Harrell II E.V., Silverstone H.J. The 1 / R expansion for H2+: analyticity, summability, and asymptotics // Annals of Physics. 1985. Vol. 165, no. 2. P. 441-483. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90305-7

13. Harrell E.M. Double Wells // Communications in Mathematical Physics. 1980. Vol. 75, no. 3. P. 239-261. DOI: 10.1007/BF01212711

14. Harrell E.M., Klaus M. On the double-well problem for Dirac operators // Annales de l’Institut Henri Poincaré. 1983. Vol. 38, no. 2. P. 153-166

15. Höegh-Krohn R., Mebkhout M. The 1 / r Expansion for the Critical Multiple Well Problem // Communications in Mathematical Physics. 1983. Vol. 91, no. 1. P. 65-73. DOI: 10.1007/BF01206050

16. Hunziker W. Cluster properties of multiparticle systems // Journal of Mathematical Physics. 1965. Vol. 6, no. 1. P. 6-10

17. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions // Annales de l’Institut Henri Poincaré. 1981. Vol. 34, no. 4. P. 405-417

18. Klaus M. On the bound state of Schrödinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108, no. 2. P. 288-300. DOI: 10.1016/0003-4916(77)90015-X

19. Klaus M., Simon B. Binding of Schrödinger particles through conspiracy of potential wells // Annales de l’Institut Henri Poincaré, section A. 1979. Vol. 30, no. 2. P. 83-87

20. Klaus M., Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Annals of Physics. 1980. Vol. 130, no. 2. P. 251-281. DOI: 10.1016/0003-4916(80)90338-3

21. Kondej S., Veselič I. Lower bound on the lowest spectral gap of singular potential Hamiltonians // Annales Henri Poincaré. 2007. Vol. 8, no. 1. P. 109-134. DOI: 10.1007/s00023-006-0302-8

22. Kostrykin V., Schrader R. Cluster properties of one particle Schrödinger operators // Reviews in Mathematical Physics. 1994. Vol. 6, no. 5. P. 833-853. DOI: 10.1142/S0129055X94000250

23. Kostrykin V., Schrader R. Scattering theory approach to random Schrödinger operators in one dimension // Reviews in Mathematical Physics. 1999. Vol. 11, no. 2. P. 187-242. DOI: 10.1142/S0129055X99000088

24. Morgan J.D. (III), Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations // International Journal of Quantum Chemistry. 1980. Vol. 17, no. 6. P. 1143-1166. DOI: 10.1002/qua.560170609

25. Pinchover Y. On the localization of binding for Srödinger operators and its extension to elliptic operators // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. 1995. Vol. 41, no. 6. P. 57-83

26. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center problem // Proceeding of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. Vol. 43, no. 2. P. 672-675

27. Tamura H. Existence of bound states for double well potentials and the Efimov effect // Functional-Analytic Methods for Partial Differential Equations. Springer Berlin Heidelberg, 1990. P. 173-186. (Ser. Lecture Notes in Mathematics; vol. 1450.). DOI:10.1007/BFb0084905

28. Wang X.P. On the existence of the N-body Efimov effect // Journal of Functional Analysis. 2004. Vol. 209, no. 1. P. 137-161. DOI: 10.1016/S0022-1236(03)00170-8

29. Wang X.P., Wang Y. Existence of two-cluster threshold resonances and the N -body Efimov effect // Journal of Mathematical Physics. 2005. Vol . 46, no . 11. P . 156-182. DOI: 10.1063/1.2118467

30. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 264 с

31. Борисов Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Математический сборник. 2006. T. 197, № 4. С. 3-32

32. Борисов Д.И., Головина А.М. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, № 2. С. 65-74

33. Гадыльшин Р.Р. О локальных возмущениях оператора Шредингера на оси // Теоретическая и математическая физика. 2002. T. 132, № 1. С. 97-104

34. Головина А.М. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями // Математические заметки. 2012. Т. 91, № 3. C. 464-466

35. Головина А.М. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора // Доклады АН. 2013. Т. 448 , № 3. C. 258-260

36. Головина А.М. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве // Алгебра и анализ. 2013. Т. 25 , № 5. C. 32-60

37. Доброхотов С.Ю., Колокольцов В.Н. Об амплитуде расщепления нижних энергетических уровней оператора Шрёдингера с двумя симметричными ямами // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94 , № 3. С. 426-434

38. Доброхотов С.Ю., Колокольцов В.Н, Маслов В.П. Расщепление нижних энергетических уровней уравнения Шрёдингера и асимптотика фундаментального решения уравнения hut=h2Δu/2-V(x)u // Теоретическая и математическая физика. 1991. Т. 87, № 3. С. 323-375

39. Като Т. Теория возмущений линейных операторов: пер. с англ. М.: Мир, 1972. 740 с

40. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость: пер. с англ. М.: Мир , 1978. 394 c

Mathematics and Mathematical Modeling. 2015; : 1-22

Investigations in the Spectral Properties of Operators with Distant Perturbations (survey)

Golovina A. M.

Abstract

We propose a chronological overview of researches on operators with distant perturbations. Let us explain what "distant perturbations" mean. An elementary example of the operator with distant perturbations is a differential operator of the second order with two finite potentials. Supports of these operators are at a great distance from each other, i.e. they are \distant".
The study of such operators has been performed since the middle of the last century, mostly by foreign researchers see eg. R. Ahlrichs, T. Aktosun, M. Klaus, P. Aventini, P. Exner, E.B. Davies, V. Graffi, E.V. Harrell II, H.J. Silverstone, M. Mebkhout, R. Hoegh-Krohn, W. Hun ziker, V. Kostrykin, R. Schrader, J.D. Morgan (III), Y. Pinchover, O.K. Reity, H. Tamura, X. Wang, Y. Wang, S. Kondej, B. Simon, I. Veselic, D.I. Borisov, A.M. Golovina). The main objects of their investigation were the asymptotic behaviors of eigenvalues and corresponding eigenfunctions of perturbed operators. In several papers the research was focused on resolvents and eigenvalues of perturbed operator arising from the edge of the essential spectrum. The main results of the past century are the first members of the asymptotics of perturbed eigenvalues and the corresponding eigenfunctions and the first members of the asymptotics of resolvents of the perturbed operators. The main results of the last fifteen years are full asymptotic expansions for the eigenvalues and their corresponding functions and an explicit formula for the resolvent of the perturbed operator.
In this paper, we also note that up to 2004 only different kind of potentials were considered as perturbing operators, and Laplace and Dirac operators were considered as unperturbed operators. Only since 2004, nonpotential perturbing operators appeared in the literature. Since 2012, an arbitrary elliptic differential operator is considered as an unperturbed operator.
We propose a classification of investigations on distant perturbations, based on the spectral properties of the operators:
1) investigations into the eigenvalues and the corresponding eigenfunctions of the Laplace
operator with distant potentials;
(a) in the case of a simple limit eigenvalue;
(b) in the case of a multiple limit eigenvalue;
2) investigations into the resolvent of the Laplace operator with several distant potentials;
3) investigations into asymptotic behavior of the eigenvalues arising from the edge of the essential spectrum of the unperturbed operator.
In conclusion, we formulate open problems in this theory:
1. What kind of behavior of the eigenvalues and the corresponding eigenfunctions arising from the edge of the essential spectrum? Under what conditions do they arise? What is their asymptotic expansion?
2. What are the first members of perturbed eigenvalues in the case of an arbitrary finite number of distant perturbations?

DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859

References