Математика и математическое моделирование. 2018; : 11-21
О вычислении первых интегралов систем ОДУ третьего порядка
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000123Аннотация
Поиск решений нелинейных стационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений бывает подчас весьма сложен. Далеко не всегда удаётся получить общее решение в аналитическом виде. В связи с этим получила развитие качественная теория нелинейных динамических систем, методы которой позволяют исследовать свойства решений без поиска общего решения. Широко применяются также численные методы исследования.
В случае, когда найти аналитически общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений не удаётся, иногда, тем не менее, возможно указать её первый интеграл. Известен ряд результатов, позволяющих получить первый интеграл для некоторых частных случаев.
Статья посвящена численному способу получения первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, основанному на факте интегрируемости инволютивного распределения.
Предлагаемый в настоящей статье способ позволяет в случае, когда известно векторное поле, порождающее вместе с векторным полем правой части заданной системы обыкновенных дифференциальных уравнений инволютивное распределение размерности 2 получить первый интеграл нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. При этом решение определённой последовательности задач Коши позволяет построить поверхность уровня функции первого интеграла, содержащую заданную точку пространства состояний системы. Используя метод наименьших квадратов, в ряде случаев можно также получить аналитическое выражение для первого интеграла.
В статье приведены примеры применения метода к двум системам.
Список литературы
1. Gonzalez-Gascon F. A global first integral for certain dynamical systems and related remarks // Lettere al Nuovo Cimento. 1977. Vol. 20. No. 2. Pp. 54-56. DOI: 10.1007/BF02790711
2. Gonzalez-Gascon F., Peralta-Salas D. Symmetries and first integrals of divergence-free R3 vector fields // Intern. J. of Non-Linear Mechanics. 2000. Vol. 35. No. 4. Pp. 589–596. DOI: 10.1016/S0020-7462(99)00043-8
3. Llibre J., Peralta-Salas D. A note on the first integrals of vector fields with integrating factors and normalizers // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2012. Vol. 8. Art.no. 035. Pp. 1-9. DOI: 10.3842/SIGMA.2012.035
4. Yanxia Hu, Keying Guan. Techniques for searching first integrals by Lie group and application to gyroscope system // Science in China Ser. A: Mathematics. 2005. Vol. 48. No. 8. Pp. 1135-1143. DOI: 10.1360/04ys0141
5. Strelcyn J.-M., Wojciechowski S. A method of finding integrals for three-dimensional dynamical systems // Physics Letters A. 1988. Vol. 133. No. 4-5. Pp. 207-212. DOI: 10.1016/0375-9601(88)91018-3
6. Wojciechowski S. A method of studying integrals of dynamical systems based on Frobenius’ integrability theorem // Symmetries in Science III. / Ed. by B. Gruber, F. Iachello. N.Y.: Plenum Press, 1989. Pp. 493-503. DOI: 10.1007/978-1-4613-0787-7_29
7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. 367 с.
8. Ollagnier J.M., Strelcyn J.-M. On first integrals of linear systems, Frobenius integrability theorem and linear representations of Lie algebras // Bifurcations of planar vector fields. Proceedings of a Meeting held in Luminy, France, Sept. 18–22, 1989. B.: Springer, 1990. Pp. 243-271. DOI: 10.1007/BFb0085396
9. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd ed. B.; N.Y.: Springer, 1995. 549 p.
10. Giacomini H., Neukirch S. Integrals of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model // Physics Letters A. 1997. Vol. 227. No. 5-6. Pp. 309-318. DOI: 10.1016/S0375-9601(97)00077-7
Mathematics and Mathematical Modeling. 2018; : 11-21
On Calculation of the First Integrals for Three-dimensional ODE Systems
https://doi.org/10.24108/mathm.0618.0000123Abstract
The search for solutions of nonlinear stationary systems of ordinary differential equations (ODE) is sometimes very complicated. It is not always possible to obtain a general solution in an analytical form. As a consequence, a qualitative theory of nonlinear dynamical systems has been developed. Its methods allow us to investigate the properties of solutions without finding a general solution. Numerical methods of investigation are also widely used.
In the case when it is impossible to find an analytically general solution of the ODE system, sometimes, nevertheless, it is possible to find its first integral. There is a number of known results that make it possible to obtain the first integral for certain special cases.
The article deals with the method for obtaining the first integrals of ODE systems of the third order, based on the fact of integrability of the involutive distribution.
The method proposed in the paper allows us to obtain the first integral of a nonlinear ODE system of the third order in the case when a vector field, which generates an involutive distribution of dimension 2 together with the vector field of the right-hand side of a given ODE system, is known. In this case, the solution of a certain sequence of Cauchy problems allows us to construct a level surface of the function of the first integral containing the given point of the state space of the system. Using the method of least squares, in a number of cases it is possible to obtain an analytic expression for the first integral.
The article gives examples of the method application to two ODE systems, namely to a simple nonlinear third-order system and to the Lorentz system with special parameter values. The article shows how the first integrals can be obtained analytically using the method developed for the two systems mentioned above.
References
1. Gonzalez-Gascon F. A global first integral for certain dynamical systems and related remarks // Lettere al Nuovo Cimento. 1977. Vol. 20. No. 2. Pp. 54-56. DOI: 10.1007/BF02790711
2. Gonzalez-Gascon F., Peralta-Salas D. Symmetries and first integrals of divergence-free R3 vector fields // Intern. J. of Non-Linear Mechanics. 2000. Vol. 35. No. 4. Pp. 589–596. DOI: 10.1016/S0020-7462(99)00043-8
3. Llibre J., Peralta-Salas D. A note on the first integrals of vector fields with integrating factors and normalizers // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2012. Vol. 8. Art.no. 035. Pp. 1-9. DOI: 10.3842/SIGMA.2012.035
4. Yanxia Hu, Keying Guan. Techniques for searching first integrals by Lie group and application to gyroscope system // Science in China Ser. A: Mathematics. 2005. Vol. 48. No. 8. Pp. 1135-1143. DOI: 10.1360/04ys0141
5. Strelcyn J.-M., Wojciechowski S. A method of finding integrals for three-dimensional dynamical systems // Physics Letters A. 1988. Vol. 133. No. 4-5. Pp. 207-212. DOI: 10.1016/0375-9601(88)91018-3
6. Wojciechowski S. A method of studying integrals of dynamical systems based on Frobenius’ integrability theorem // Symmetries in Science III. / Ed. by B. Gruber, F. Iachello. N.Y.: Plenum Press, 1989. Pp. 493-503. DOI: 10.1007/978-1-4613-0787-7_29
7. Arnol'd V.I. Obyknovennye differentsial'nye uravneniya. 4-e izd. Izhevsk: Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika, 2000. 367 s.
8. Ollagnier J.M., Strelcyn J.-M. On first integrals of linear systems, Frobenius integrability theorem and linear representations of Lie algebras // Bifurcations of planar vector fields. Proceedings of a Meeting held in Luminy, France, Sept. 18–22, 1989. B.: Springer, 1990. Pp. 243-271. DOI: 10.1007/BFb0085396
9. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd ed. B.; N.Y.: Springer, 1995. 549 p.
10. Giacomini H., Neukirch S. Integrals of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model // Physics Letters A. 1997. Vol. 227. No. 5-6. Pp. 309-318. DOI: 10.1016/S0375-9601(97)00077-7
